15 角度不变 圆来相伴-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

中学生款理化提题續学自细染视肝 角度不变 圆来相伴 多视角求解一道轨迹为圆的选择题 ■成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋 1.试题呈现 已知点A(0,1),B(2√3,1)，动点P(x, 两个公共点，得1<6<4-1，而只有号∈ 3 y)(y≥1)满足∠APB=120°，若点P的轨迹 -1）,故选C。 与直线y= 写x十b有两个公共点，则b的值 ,点评：方法1充分利用线段的不变与对 可以是( ）。 应角在运动中的不变性，联想到在圆中同弦 所对应的圆周角的关系，建立动点的轨迹，从 A.+1 3 &一 而获得解答。 方法2（利用正弦定理） c. D.4-1 3 设△ABP的外接圆半径为r,圆心为C, 2.试题分析与解答 则2x= AB23 sin120° 3 =4,所以r=2。因 分析：此题易得|AB|为定值，所对的 ∠APB为定角，易联想到在同一圆中，同弦 所对的圆周角相等，故可设点P在以C为圆 AB的中点D(3,1),故CD|=1,点C(3, 心的圆周角为120°的劣弧上运动(A,B两点 0),因此点P的轨迹方程为(x一√3)+y2= 除外)，取AB的中点D,连接CD,AC,先求 4(y≥1)。下同方法1。 出点P的轨迹方程，再求出直线与圆相切时 点评：方法2在方法1的基础之上进一 b的值，然后结合图形可求得结果。 步优化，即求三角形的外接圆，利用已知三角 方法1（利用外接圆） 形的对边与对角联想到正弦定理，解得外接 由|AB|=2√5及∠APB=120°，得点 圆的半径，进一步求得圆心，从而获得解答。 方法3（利用斜率关系） P(x,y)(y≥1)在以C为圆心的圆周角为 设直线AP的倾斜角为α，则直线BP的 120°的劣弧上运动(A,B 两点除外)，∠ACB= 倾斜角为a十120°。由A(0,1),B(25,1), 120°。如图1，取AB的中 p(z,y),得tana=y-1,tan(a十120)= 点D,连接CD,AC,则CD ⊥AB,IAD|=√3，∠ACD y,消去a得点P的轨迹方程为(x 图1 x-25 =60°，所以AC=2, √3)2十y=4(y≥1)。下同方法1。 CD|=1。因此点C(3,0),点P的轨迹方 ,点评：方法3利用斜率关系建立等式，挖 程为(x-√5)2十y2=4(y≥1)。由 掘题目中的隐含关系，即探究两条直线的斜 3 3 ×3+b 率关系。此方法来源于两条直线的垂直关 2,解得6=±43 当 系，从而探究出圆。 3 一1。 1+3 方法4（利用余弦定理） 因为A(0,1),B(2√3,1)，P(x,y),所 直线y= 3x十b过点A(0,1)时，b=1。结 以在△ABP中，由余弦定理可得cos120°= 合图1，由点P的轨迹与直线y= x2+(y-1)2+(x-25)2+(y-1)2-12 3x十b有 2√x2+(y-1)F·√(x-2√3)2+(y-1) 40 额概膏中学生表理化 整理得[(y-1)2+x(x一2√3)]=4(y 直线l2恒过定点B(5,3)。因为a×1十1× 1),即(y-1)2+x(x-23)=±2(y-1)。 (一a)=0,所以l1⊥l2,即PA⊥PB,则点P 故点P的轨迹方程为(x一√3)2+y=4(y≥ 在以AB为直径的圆上。若a=0,则l1为y =5,l2为x=5,此时点P(5,5);若a≠0，则l1 1)或(x一√3)2十(y一2)2=4（结合图形舍 去)。下同方法1。 的斜率=-a<0:的斜率：=>0，此 ,点评：方法4利用余弦定理建立等式，是 时点P(x,y)满足x>3,y<5。已知A(3,5), 一种通性通法，但运算量较大，考查同学们的 B(5,3),则AB的中点C(4,4),|AB|= 运算能力。注意产生了增解，这一增解从何 √(5一3)+(3-5)严=2√2，因此点P的轨迹 而来？发现是在第二步将式子两边平方与原 方程为(x-4)十(y-4)2=2(x>3,y≤5)。 式不是恒等变形，应选取圆心在直线AB的 已知圆x2十y=2的圆心O(0,0),半径为√2， 下方才满足题意。 小结：通过一题多解发现，对于此类定边 则|OC1=√(4-0)+(4-0)产=42。因此 定对角试题，方法1、2、4是通解，其中方法2 |PQ的最大值为两圆心距离加两圆半径，即 是优解。对于方法3，如果点A、B的连线不 |PQ|mx=42十√2十√2=6√2。由于点P的 垂直于坐标轴，那么利用斜率不容易解答，有 轨迹不包含点(3,3)，故不存在最小值，选A。 兴趣的读者可以进行变式试一试。 变式3.已知A(0,1),B(2,1),F(1,0),动 3.变式练习 点P满足P·P克=0，若PM=号P京，则直 变式1.已知点A(2,4),B(4,4),动点P 满足PA⊥PB,则OP|(O为坐标原点)的最 线OM(O为原点)斜率的最大值为()。 小值为()。 A.1 B.专C D.2 A.3B.4C.5D.6 解：因为PA⊥PB,所以点P在以AB 解：设M(x,y),由P成=P京，F(1 为直径的圆上，圆的方程为(x一3)十(y一 0),得点M为PF的中点，P(2x一1,2y)。 4)=1,因此|OP|的最小值为圆心到原点的 又A(0,1),B(2,1),则PA=(1-2x,1一 距离减去半径，即5一1=4。故选B。 2y),PB=(3-2x,1-2y),因此PA·PB 变式2.已知直线l1:a2x十y-3a2一5 =(1-2x)(3-2x)+(1-2y)(1-2y)= 0与L2:x-a2y十3a2一5=0相交于点P,点 4(x-1)2+(1-2y)2-1=0,即(x-1)2+ Q在圆x2十y2=2上，则( )。 (-)广-，故点M在以N1,)为圆 A.|PQ有最大值6√2 B.|PQ|有最大值5√2 心，2为半径的圆上。设直线OM(0为原 C.|PQ有最小值3√2 点)的斜率为k,则当直线OM与圆N相切 D.|PQ|有最小值2√2 时，直线OM的斜率取得最大值，此时OM: 解：直线l1:a2x十y一3a2-5=0可变形 kx一y=0,且圆心N(1,)到直线OM的距 为4(x-3)十0y-5)=0,令K-3=0'解得 y-5=0. x=3, 离等于半径 y=5, 所以直线1恒过定点A(3,5)。直线 ,即 √k+1 =解得= 或k=0(舍去)，所以直线OM(O为原点)斜 l2:x一a2y十3a2一5=0可变形为(x一5) a2(y-3)=0,令-5= 0解得区=5所以 率的最大值为子。故选B。 y-3=0, y=3, (责任编辑赵倩) 41