14 重视教材习题 总结解题规律-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

解题篇课本习题探究 高二数学2025年10月 中学生数理化 ←重视教材习题 总结韶题规律 教材中道习题的拓展 延伸及应用 1 ■河北省邢台市第五中学 王春燕 ■河北省南宫中学 霍忠林 在平时学习中，很多同学对教材的使用 点的曲线（该曲线不包含曲线C2)。 有这样一个“误区”，认为教材上的习题比较 下面我们采用该结论来处理教材上的几 简单，因此不重视教材习题的学习，殊不知这 道习题。 是一种本末倒置的做法。教材是数学学习和 题型一求过两条直线的交点的直线方程 高考命题的根源，教材中的每个习题都是专 例1（教材第72页练习第3题）直线 家精挑细选出来的，非常典型且具有代表性。 1经过原点，且经过直线2x一2y-1=0与直 教材中很多习题是可以拓展延伸的，甚至一 线6x一4y十1=0的交点，求直线l的方程。 些习题是具有关联性的，徜若在学习中能把 解析：注意到直线6x一4y十1=0不过 这些相似题目“穿成串”，总结解题规律，就会 原点，所以可设所求的直线方程为2x一2y 达到“解一题，会一类，通一片”的效果。下面 1+入(6x一4y+1)=0(入∈R),将原点坐标代 对教材上的一道习题进行拓展延伸，得到一 入得-1十入=0，即入=1。 般化的结论，再利用该结论解决教材上七种 故直线l的方程为2x一2y一1+(6x一 类型的题目。 4y十1)=0，即4x-3y=0。 人教A版《数学选择性必修第一册》（以 例2（教材第79页习题2.3第2题） 下简称：教材)第80页拓广探索第16题： 已知入为任意实数，当入变化时，方程 求满足下列条件的直线方程： (3x+4y-2)+A(2x十y+2)=0表示什么 (1)经过两条直线2x一3y十10=0和 图形？图形有何特点？ 3x十4y一2=0的交点，且垂直于直线3x一 解析：因为方程可化为(2入十3)x十（入十 2y十4=0； 4)y十2入一2=0，入为任意实数，所以方程表 (2)经过两条直线2x十y一8=0和x 示直线。 2y+1=0的交点，且平行于直线4x一3y一 3x+4y-2=0, 得=2， 7=0。 由 而不管 2x十y+2=0, y=2。 解析：(1)注意到直线3.x十4y一2=0与 入取何值，方程(3x十4y一2)十入(2x十y十2) 直线3x一2y十4=0不垂直，所以可设所求 =0都不可能表示直线2x十y+2=0。 直线的方程为2x一3y+10+入(3x+4y一2) 因此方程(3x十4y一2)十入(2x十y十2) =0(入∈R),即(2+3入)x十(4入-3)y+10 =0表示的图形是：过直线3x十4y一2=0和 2入=0。因直线与3x一2y十4=0垂直，故 直线2x+y+2=0的交点（一2,2）的直线 3(2十3λ)一2(4入一3)=0，解得入=一12。 (不包含直线2x十y十2=0)。 故所求直线的方程为2x一3y十10 评析：将上述方程中的两直线方程分别用 12(3x+4y-2)=0,即2x+3y-2=0 曲线C1:F1(x,y)=0和曲线C2:F2(x,y)=0 (2)注意到直线x一2y十1=0与直线 代替，不难得到一般化的结论。设曲线C1: 4x一3y一7=0不平行，所以可设所求直线的 F1(x,y)=0和曲线C2:F2(x,y)=0是有公 方程为2x+y-8+入(x-2y+1)=0(入∈ 共点的两条曲线，则F(x,y)十入F2(x,y)=0 R),即(2+入)x+(1-2入)y十入-8=0。因直 (入为常数)表示经过曲线C1和曲线C,的交 线与4x-3y-7=0平行，故4(1-2入)= 37 中学生教理化离数学蝶202年0月 解题篇课本习题探究 3(2十入)，解得入=2。 心坐标为（子》小将其代入x 3 故所求直线的方程为2x十y一8+ 2(x-2y+1)=0,即4x-3y-6=0。 y一4=0得入=-7。 评析：过两条直线l1:A1x十B1y十C1 故所求圆的方程为x十y”十6x一4一 0和l2:A2x十B2y十C2=0的交点的直线均 7(x2十y2+6y-28)=0,即x2十y2-x+ 可设为A1x+B1y+C:+入(A2x+B2y+ 7y-32=0. C2)=0(入∈R,该直线不包含直线A2x十 评析：过圆C1:x2十y2十D1x十E1y十 B2y+C2=0)。 F1=0和圆C2:x2十y2十D2x十E2y十F2=0 题型二求过直线与圆的交点的圆的方程 的交点的圆均可设为x2十y2十D1x十E1y十 例3（教材第98页习题2.5第3题 F1十A(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(A∈R 改编)圆C过点M(1,1),且经过直线3x 且入≠一1，该圆不包含圆C,)。 y-6=0与圆x2+y2一2x一4y=0的交点， 特别地，当入=一1时，若两圆相交，则方 求圆C的方程。 程表示两圆公共弦所在的直线方程；若两圆 解析：设圆C的方程为x2十y2一2x 相切，则方程表示两圆有公共切点的公切线 4y+A(3x-y-6)=0(入∈R),将M(1,1)代 方程。比如2022年新高考I卷第14题：写 入得一4-4入=0，即入=-1。 出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)=16 故圆C的方程为x十y2一2x一4y 都相切的一条直线方程。易得两圆外切，所 (3x-y-6)=0,即x2+y2-5.x-3y+6=0。 以两个方程相诚得3x十4y一5=0，这样就可 评析：过直线Ax十By+C=0和圆x2+ 以快速得到答案。 y十Dx十Ey十F=0的交点的圆均可设为 题型四求与圆相切于圆上一定点的圆 的方程 x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0 (λ∈R)。 例6（教材第98页习题2.5第10题） 题型三求过圆与圆的交点的圆的方程 求经过点M(3,一1)，且与圆C:x2+y2十2x 例4（教材第98页习题2.5第7题） 6y十5=0相切于点N(1,2)的圆的方程。 求经过点M(2,一2)及圆x2十y2一6x=0与 解析：注意到M(3,一1)不在圆C:x2十 圆x2十y2=4的交点的圆的方程。 y2+2x一6y十5=0上，将点N(1,2)改写为 解析：注意到M(2,一2)不在圆x2十y 圆(x一1)2十(y一2)”=0，所以可设所求圆的 =4上，所以可设所求圆的方程为x十y2 方程为(x一1)”十(y一2)2十入(x2十y2+ 6x+入(x2+y2一4)=0（入∈R且λ≠-1），将 2x-6y+5)=0(入∈R且入≠-1)，将M(3, M(2,-2)代入得-4+4入=0，即1=1。 一1)代人得13+27入=0，解得入= 27 故所求圆的方程为x2十y2一6x十(x2+ 故所求圆的方程为(x一1)2十(y一2)一 y2-4)=0,即x2十y2-3x-2=0。 例5（教材第98页习题2.5第8题） 号(+y+2x-6y+5=0,即2+2 求圆心在直线x一y一4=0上，并且经过圆 4015 7x-7y+5=0 x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28= 0的交点的圆的方程。 评析：本题型可看作题型三中两圆相交 解析：注意到圆x2十y2十6y一28=0的 得到的弦长“缩为一个点”，此时可将点 圆心(0，一3)不在直线x一y一4=0上，所以 P(xo,yo)看作特殊的曲线“点圆”，即(x一 可设所求圆的方程为x2十y十6x一4+ x0)+(y一yo)2=0,而点P(xo,y)在圆C: λ(x2+y2+6y-28)=0(入∈R且λ≠-1)， x2+y2十Dx十Ey十F=0上，则与圆C相切 6入4十28入 于点P的圆的方程可设为(x一x。)2十 即x+y+1千x+千y 6 1+λ =0,圆 (y-yo)2+(x2+y2+Dx+Ey+F)=0 38 解题篇课本习题探究 高二数学2025年10月 中学生数理化 (入∈R且入≠一1)。 x十2y十入(x一y+1)=0,则点C'坐标为 题型五求与直线相切于直线上一定点 的圆的方程 2,)而点c坐标为（合-所 例7（教材第103页复习参考题2第 以线段CC'的中点M的坐标为 16题)求圆心在直线y=一2x上，并且经过 (-冬-1+) 因点M在直线l上，故 点A(2,一1)，与直线x十y=1相切的圆的 方程。 (-)-（-1+冬)+1=0，解得入=5. 解析：注意到A(2,一1)在直线x十y=1 故所求圆的方程为x2十y”一x+2y十 上，所以A(2,一1)是切点。将点A(2,一1) 5(x-y+1)=0,即x2+y2+4x-3y+5=0。 视为点圆，其方程为(x一2)2十(y十1)2=0， 题型七求点关于直线对称的点的坐标 所以可设所求圆的方程为(x一2)2十(y十1)2 例9（教材第103页复习参考题2第 +A(x十y-1)=0(入∈R),即x2+y2+(入 15题改编)求点C(-2,6)关于直线l:3x 4)x十（入+2）y十5一入=0，圆心坐标为 4y+5=0对称的点C的坐标。 (2,)将其代入y=一2x得入 解析：设以C(一2,6)为圆心，R为半径 的圆的方程为C:(x十2)2十(y一6)2=R,则 2。 圆C关于直线1对称的圆C'的方程可设为 故所求圆的方程为x2+y2一2x十4y十3 (x+2)2+(y-6)2-R2+入(3.x-4y+5)= =0。 评析：点P(x。,yo)在直线l:Ax十By十 0,故点C'坐标为(-4+3弘，2x+6),所以线 2 C=0上，则与直线l相切于点P的圆的方程 可设为(x-xo)2十(y一yo)2+入(Ax十By+ 段CC的中点M的坐标为(-2-兰A十6) C)=0(入∈R)。 因点M在直线1上，故3(-？-歌) -4(入十 题型六求圆关于直线对称的圆的方程 若题型二中直线l:Ax十By十C=0和 6)十5=0，解得入=一4。 圆T:x2十y十Dx十Ey十F=0无公共点， 所以点C的坐标为(4，一2)。 则所设的圆的方程：x2十y2+Dx十Ey十 评析：从上述解题过程可以看出，半径R F十入(Ax十By十C)=0(A∈R)有何意义呢？ 只是起到了辅助作用，不管R取何正实数均 由题意知直线l:Ax十By十C=0的一个 满足题意，这说明了不管直线l:Ax十By十C 方向向量为m=(一B,A),圆的圆心坐标为 =0和圆D:x2十y2十Dx十Ey十F=0是否 r(-D+AAE+AB) 有公共点，圆x2十y+Dx十Ey十F+ ,圆卫的圆心坐标为 2 2 A(Ax十By十C)=0的圆心均在过点 P(吕)，所以向量示= (-号，-)且与1垂直的直线上。 (兰，受)清足m·示-0，即两圆的圆 综上所述，教材是学习的法宝，任何时候 都不能丢，教材上的习题看似“其貌不扬”，但 心连线与直线！垂直，故方程下表示圆心在过 是经过挖掘可以得到很多有用的解题规律， 点Γ且与垂直的直线上的圆，抓住这点可以 这些规律“源于教材而又高于教材”，这正是 快速求出圆关于直线对称的圆的方程。 高考备考中要“回归教材”的一个重要原因， 例8（教材第98页习题2.5第5题） 因此同学们要重视对教材的学习和研究，这 求与圆C:x2十y2一x十2y=0关于直线l:x 样才能实现知识、方法的迁移，从而提高解题 -y十1=0对称的圆的方程。 效率。 解析：设所求圆的方程为C:x2十y一 (责任编辑赵倩) 39