13 解析几何中圆的切线问题-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

解题篇课本习题探究 高二数学2025年10月 中学生教理化 解析几何中圆的切线问题 ■河南省洛阳市第一高级中学 闫雍恒 圆的切线问题是衔接几何与代数的桥 切，所以方程组 y-1=k(x-2), 只有一组 梁。从几何层面看，切线是圆的基本几何元 {x2+y2=1, 素，涉及圆的半径、圆心距等几何性质（如切 解。消去y得(k2十1)x2十(2k-4k2)x十 线垂直于过切点的半径、切线长定理等)，是 4k2一4k=0。因为方程只有一个解，所以 平面几何知识的延伸。从代数层面看，通过 △=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0. 解析几何工具（如直线的方程，圆的标准方 解得女=0或营。所求切线1的方程为y=】 程、一般方程)，将切线问题转化为代数运算 (如判别式法、点到直线的距离公式)，体现 或4x-3y-5=0。 2.第93页练习第2题：已知直线4x十 “以数解形”的思想。 一、教材中涉及圆的切线的内容 3y一35=0与圆心在原点的圆C相切，求圆 C的方程。 在人教A版《数学选择性必修第一册》 3.第102页复习参考题2综合运用第16 第二章直线和圆的方程中，有四处涉及圆的 题：求圆心在直线y=一2x上，并且经过点 切线问题。 A(2,一1)，与直线x十y=1相切的圆的方程。 1.第92页例2：过点P(2,1)作圆O: 4.第102页复习参考题2拓广探索第19 x2十y2=1的切线1，求切线l的方程。 题：一条光线从点A(一2,3)射出，经x轴反 分析：由题意知，点P(2,1)在圆O:x2十 射后，与圆C:(x一3)十（y一2)=1相切， y=1外，经过圆外一点有两条直线与这个 求反射后光线所在直线的方程。 圆相切。可设切线方程为y一1=k(x一2)， 这几道例题、练习题既有由直线与圆相切 由直线与圆相切可以求出斜率k的值。 求切线方程或求圆的方程这类基础题，也有与 求k时，可以从几何角度处理，依据圆心 直线与圆相切相关的对称性等综合应用题，可 到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆 见圆的切线问题在高中数学知识体系中占据 的位置关系，直线与圆相切台圆心到直线的 重要地位，它既是几何与代数结合的典型范 距离等于圆的半径。 例，也是考查综合思维能力的关键载体。 解法1：设切线l的斜率为k,则切线l的 在此基础上，我们可以尝试对直线与圆 方程为y一1=k(x一2)，即kx一y十1一2k= 相切的问题进行一些深入探讨与拓展。 0。由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半 二、两组重要结论的推导 径1，得一2火=1，解得k=0或号。因此， 1.圆C:(x-a)2十(y-b)=r2在点 √k+I A(x。,yo)处的切线方程。 所求切线l的方程为y=1或4x一3y一5=0。 (1)圆心在原点，过圆O:x2十y2=r2上 也可以从代数角度处理，将判断直线与 一点A(xo,y)处的切线方程。 圆的位置关系转化为判断它们的方程组成的 推导方法一：假设切线的斜率存在且不 方程组有无实数解、有几个实数解，直线与圆 为0，可设其为k,则k·ko4=一1。 相切一方程组仅有一组解。 解法2：设切线（的斜率为k,则切线（的 由k=少，得k=一 yo 方程为y一1=k(x一2)。因为直线l与圆相 因此，经过点A的切线方程为： 33 中学生数理化 解题篇课本习题探究 高二数学2025年10月 (x一xo）d 除了上面的基本方法，还可以考虑通过 y一yo= yo 求轨迹方程或向量的方法推导。 整理得xox十yoy=x号十y。 推导方法三：求切线的方程即求切线上 因为点A在圆上，所以x8十y=r2 任意一点P满足的关系式，可设直线上异于 所求直线的方程为xox十yoy=r2。 点A(xo,yo)的点P(x,y)。 当切线的斜率不存在或为0，即点A在 因为OA⊥AP,所以|OA|2十|AP2= 坐标轴上时，上面的方程同样适用。 OP|2,即x8十y8+(x-xo)2+(y-yo)2= 点评：这种推导方法是结合圆的几何性 x2+y2。 质，利用圆心与切点的连线垂直于切线，两条 整理得xox十yy=x十y。 直线的斜率之积等于一1，求出切线的斜率，然 因为点A在圆上，所以x十y=r。 后用点斜式写出切线方程并化简整理。需要 所求直线的方程为xx十yoy=r2。 注意对两条直线斜率的存在性分情况讨论。 当点P与点A重合时，上面的方程同样 推导方法二：当直线的斜率存在时，设为 适用。 k,则直线方程为y一yo=k(x一x),即kx一 点评：在推导方法三中，条件“OA⊥AP” y+y。一kxo=0。① 也可以用向量法处理，OA⊥A户，OA=(x0, 联立 (kx一y十y。一k.xo=0, 消去y得 y),A庐=(x-x,y-y),则OA·A卫= x2+y2=r2, 0,即x。(x一xo)十yo（y一yo)=0,整理得 (1+k2)x2十2k(y0-kx。)x+y8十k2x8 xx十yoy=x号十y。这种方法的优点在于 2ky6x0-r2=0。 不用考虑直线斜率的存在性问题。 由△=4k2(y。-k.x。)2-4(1十k2)(y8+ 上面研究了圆心在原点时的情况，那么 b2x一2kyox。-r2)=0,整理得(r2-x)k 当圆心不在原点时，是否能用同样的方法处 +2xoy6k+r2-y8=0。② 理呢？ 因为x号十y=r,所以②式可化为yk (2)圆心不在原点，过圆C:(x一a)2十 十2xoy6k十x=0。 (y一b)=r2上一点A(xo,y。)处的切线方程。 解得k=一。代入①式并整理得xx 显然上面几种推导方法对于圆心不在原 yo 点处时，也是可以使用的，下面我们选择其中 +yoy=xo+yio 一种方法来证明。 因为点A在圆上，所以x十y=r2。 推导方法一：因为A(xo,y。)在圆C: 所求直线的方程为xx十yoy=r。 (x-a)2十(y-b)=r2上，所以(x。-a)2+ 当切线的斜率不存在时，上面的方程同 (y。一b)=r2成立。 样适用。 当点A(x。,y。)处的切线斜率存在时，易 点评：这个推导方法更倾向于代数方法， 但运算比较烦琐。 得切线方程为y=一。公一，。 在用代数方法设直线的方程并整理为一 即(yo一b)(y-yo)+(x。-a)(x-xo) 般式后，我们可以考虑结合圆的几何性质，直 =0。 线与圆相切一圆心到直线的距离等于圆的半 可整理得(y。一b)(y一b+b一yo)+ 径。圆心O(0,0)到直线的距离等于半径r, (x。-a)(x-a十a-xo)=0。 即y一kxo (yo-b)(y-b)+(x。-a)(x-a)- =r,化简整理得(r2一x)k2十 √1十k2 (x。-a)-(y0-b)2=0。 2 Eoyok十r2-y=0。因为x6十y8=r2,所 将(x。一a)十(y。一b)2=r2代入上式并 整理，可得(y。一b)(y-b)十(x。一a)(x一a) 以yk2十2x0yok十x8=0,解得k= yo =r2。 34 學索解资中学生款理化 即过圆C:(x-a)+(y-b)2=r2上一 D,x1十E2y1十F2=0都成立，两式相诚得 点A(x,y)的切线方程为(x一a)(x一a) (D1-D2)x1+(E1-E2)y1十F1-F2=0。 +(y0-b)(y-b)=r2。 同理可得(D1一D,)x2十(E1一E,)y2十 我们还可以尝试通过坐标变换的方法， F1一F,=0。故圆C1与圆C,的公共弦所在 将圆心不在原点的圆通过平移化归为圆心在 直线方程为(D1一D,)x十(E,一E2)y十F1 原点时的情形，直接利用(1)的结论。 F,=0,显然此方程可以通过圆C1与圆C 推导方法二：将坐标系中的任意点(x, 的方程相减得到。 y)按向量（一a,一b)平移至点(x',y'),则 预备知识2：端点圆方程。 x一a=x ,'即r=x'+a, 已知两点M(x1,y1),N(x2,y2),以线 y-b=y',y=y'+b。 段MN为直径的圆的方程可以利用向量垂 圆C:(x一a)+(y一b)2=r2平移后得 直的知识得到(x一x1)(x一x2)十(y一y1)· 到圆C‘的方程为x2十y2=r2。 (y一y2)=0,这个方程被称为端点圆方程。 点A(xo,yo)平移为A'(x。一a,yo一b), 预备知识3：切点弦。 利用(1)的结论可得平移后切线方程为(x。一 过圆C:(x一a)2+(y一b)2=r2外一点 a)x'+(yo-b)y'=r2。 A(x。,yo)作圆C的两条切线，设切点分别为 则平移前的切线方程是(x。一a)(x一a) M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN常称为切 +(y。一b)(y-b)=r2,即为所求。 点弦。 (3)过圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D 接下来我们探讨切点弦所在直线方程， +E2一4F>0)上一点A(xo,y)的切线方程。 先从圆心位于原点处的情况探讨。 当已知圆C的一般方程x2十y2十Dx十 (1)过圆C:x2十y2=r2外一点A(x0, Ey十F=0(D十E2一4F>0),我们可以自 yo)作圆C的切线，切点分别为M(x1,y1), 主探索过圆上一点A(x。,yo)的切线方程，最 N(x2,y2),求切点弦MN所在直线的方程。 推导方法一：点M(x1,y1)处切线方程 终结果是xx十yy十D·十 2 十E· 为x1x十y1y=r,点N(x2,y2)处切线方程 y。十y+F=0。 为x2x十y2y=r。 2 因为两切线均经过点A,所以x1x。十 2.过圆C:(x一a)十(y一b)2=r2外一 y1yo=r2,x2x。十y2y%=r2均成立。 点A(x。,y。)的切点弦所在直线方程。 显然(x1,y1),(x2,y2)均为方程xox十 当点A(x。,y)在圆外时，求过点A且 yy=r2的解。 与圆C:(x一a)2十(y一b)2=r2相切的切线， 故xx十yoy=r2就是直线MN的方程。 显然有两条，当直线斜率存在时，我们可以通 点评：这种推导方法一方面利用了圆上 过设出直线的点斜式方程，利用“直线与圆相 某点处切线方程的结论，另一方面用到了设 切台圆心到直线的距离等于半径”列出关于 而不求的思想。 斜率k的方程求其值，注意不要遗漏直线斜 推导方法二：因为∠AMO=∠ANO= 率不存在的情况。 90°，所以M,N均在以OA为直径的圆上。 下面我们了解三个预备知识。 以OA为直径的圆的方程为： 预备知识1：两圆的公共弦所在直线方程。 (x-x。)(x-0)+(y-yo)(y-0)=0。 已知圆C1:x2十y2+D1x十E1y+F=0 整理得x2-xox十y2一yoy=0。① 与圆C2:x2十y2十D2x十Ey十F2=0相交， 又M,N在圆O上，故x2十y2=r2。② 交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2)。由点 ②一①得xx十yoy=r2,即圆O与以 M(x1,y1)既在圆C1上又在圆C2上，得x OA为直径的圆的公共弦所在直线方程，亦即 +y+Dix+Ey+F=0+y+ 直线MN的方程。 35 中学生款理化解贺学态习翠探月 点评：这种方法用到已知圆的一条直径 动点。过点P作圆M的切线PA,PB,切点 的两端点的坐标求圆的方程、两圆公共弦所 为A,B,当|PM|·「AB|的值最小时，直线 在直线的方程，将圆的几何性质和圆的方程 AB的方程为()。 的知识灵活使用。 A.2x-y-1=0 B.2x十y-1=0 在此基础上，我们不难推广得到更一般 C.2x-y+1=0 D.2.x+y+1=0 的情况。 分析：由已知结合四边形面积公式及三 (2)过圆C:(x一a)2+(y-b)2=r2外 角形面积公式可得|PM|·|AB|= 一点A(x。,y。)作圆C的切线，则切点弦所 4√TPM-4,说明要使|PM|·|AB|最 在直线的方程为(x。一a)(x一a)十(yo一b)· 小，则需|PM|的值最小，此时PM与直线l (y-b)=r2。 垂直。写出PM所在直线方程，与直线l的 (3)过圆C:x2+y2十Dx+Ey十F=0 方程联立，求得点P坐标，然后写出以PM (D2+E一4F>0)外一点A(x0,yo)作圆C 为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立， 的切线，则切点弦所在直线的方程为x。x十 可得AB所在直线的方程。 yy+D.十+E.y十y+F=0 解：圆M的方程可化为(x一1)2十(y 2 2 1)2=4,圆心M(1,1),半径r=2。 通过以上探讨我们得到了圆的切线的几 个结论，一方面探讨过程是对直线与圆位置 SaaB=子PM1·1AB=2SAM 关系知识的巩固和拓展，另一方面也能为我 |PA|·|AM|=2|PA|=2√TPM-4。 们灵活、便捷地解决与圆的切线有关的问题 要使|PM·|AB|的值最小，则需 提供理论依据和方法借鉴。 |PM|的值最小，此时PM与直线L垂直。 三、圆的切线典型例题分析 1 直线PM的方程为y一1=2(x-1),即 例1圆C1:(x一1)2+y2=1与圆 1 C2:(x一5)2+(y一3)2=36的公切线的方程 y= 2x+2 为一 分析：根据题意，先判断两圆位置关系， 联立 y一 1 2x十2'解得P(-1,0)。 可得两圆内切，然后将圆C1,C2化为一般式， 2x+y+2=0, 两式相减可得结果。 则以PM为直径的圆的方程为x?+ 解：根据题意，圆C1:(x一1)2十y2=1与 (-2》-即+y-y-1=0. 圆C2:(x-5)2十(y-3)=36,圆C1的圆心 (x2+y2-2x-2y-2=0, 为(1,0)，半径为1，圆C2的圆心为(5,3)，半 联立 相减可 x2+y2-y-1=0, 径为6。 得直线AB的方程为2x十y十1=0。 因为|C1C2=√(5-1)+(3-0)z=5 故选D。 =6一1，所以两圆内切，只有一条公切线。 切线方程体现了直线和圆的位置关系， 将圆C1,C2化为一般式得C1:x十y2 综合运用了距离公式与斜率条件：切点弦方 2x=0,C2:x2+y2-10x-6y-2=0。 程则揭示了几何变换规律、直线与圆的内在 两式相减得8x十6y十2=0，即4x十 联系。高考中这类问题常作为中档题出现， 3y+1=0。 考查数形转换能力，既训练代数运算的严谨 所以圆C1,C2的公切线的方程为4x+ 性，又为后续解析几何问题奠定基础，是衔接 3y+1=0。 几何直观与代数推理的重要枢纽。我们可以 例2已知圆M:x2十y2-2x-2y一2 在后面的学习中进行进一步的探索和研究。 =0,直线l:2x+y十2=0，P为直线l上的 (责任编辑徐利杰) 36