11 例析直线方程中的五个易错点-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

解题黄全易结题归类朝析中学生教理化 高二数学2025年10月 例析直线方程中的五个易错点 ■广东省汕头市澄海凤翔中学 徐春生 易错点1.忽视直线位置关系成立的条 1,解得k= 件致错 3,于是所求直线的方程为y一3 例1若直线l1:ax十2y一2=0与直 3(x-1),即4x-3y+5=0。 线l2:x十(a一1)y十(a2十1)=0平行，则实 错因剖析：因为OA|=√+3=√10> 数a的值为( )。 1,结合图形可知所求直线应该有两条，所以 A.-1 B.2 上述解法不完全正确。究其原因，是未考虑 C.-2或1 D.2或-1 直线的斜率不存在的情况，另一条直线的斜 错解：因为直线l1:ax十2y一2=0与直 率恰巧不存在，无法用点斜式方程来表示。 线l2:x+(a一1)y十(a2+1)=0平行，所以 正解：①当所求直线的斜率不存在时，所 =2 1=a-,即a2-a-2=0,解得a=2或 求直线的方程为x=1,符合已知条件。 ②当所求直线的斜率存在时，由点斜式 一1。故选D 可设所求直线方程为y一3=k(x一1)，即 错因剖析：上述解法中，当a=一1时，直 kx一y一k十3=0。因为原点O到所求直线 线l1的方程为一x十2y一2=0，即x一2y十2 =0,直线l2的方程为x一2y十2=0，此时l1 的距离等于1，所以一十3 =1,解得k= √R+1 与，重合，造成错解的原因在于判断两条直 3,于是所求直线的方程为y一3= 线的位置关系时忽视了平行成立的条件。 3(x 正解：因为直线l1:a.x十2y一2=0与直线 1),即4x-3y+5=0。 l2:x+(a-1)y+(a2+1)=0平行，所以a(a 综上，所求直线方程为x=1或4x一 -1)=2,即a2-a-2=0,解得a=2或-1。 3y+5=0。 当a=一1时，直线l1的方程为一x十2y 易错点3.忽视直线方程（截距式）成立 一2=0，即x一2y十2=0，直线l2的方程为 的条件致错 x一2y+2=0,此时11与l2重合，不符合题 例3经过点P(2,3),且在x轴上的 意，舍去。 截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为 当a=2时，直线l1的方程为2x十2y 2=0,即x十y一1=0，直线l2的方程为x十 错解：所求直线在x轴上的截距是在y y十5=0，此时l1与l2平行。 轴上的截距的2倍，可设所求直线的方程为 综上所述，a的值为2。选B。 易错点2.忽视直线的斜率不存在致错 云十名-1。因为所求直线经过点P(2,3, 例2直线经过点A(1,3),原点O到 所以2+3=1，解得a=4,于是所求直线的 2a a 直线的距离等于1，则此直线的方程为一。 错解：由点斜式可设所求直线方程为y 方程为名十￥-1，即x十2y一8=0。 3=k(x一1)，即kx一y一k十3=0。因为原点 错因剖析：上述解法中，设直线的截距式 0到所求直线的距离等于1，所以一6+3 方程是有前提条件的，即截距不能为0，否则 √k2+1 无意义。实际上本题中的截距可以为0，这 27 中学生表理化然氨学早类 时截距式方程就不适用了，造成错解的原因 是没有深刻理解直线方程（截距式）成立的前 正解：直线x二3y一1=0的斜率为， 提条件。 所以直线x一√5y一1=0的倾斜角为30°。 正解：①当所求直线在两坐标轴上的截 因为直线l的倾斜角是直线x一√5y一1=0 距均为0时，设所求直线的方程为y=kx。 的倾斜角的2倍，所以直线！的倾斜角为 因为所求直线经过点P(2,3),所以2k=3, 60°，故直线l的斜率为tan60°=√3。直线l 3 3 解得k=2,所求直线的方程为y=三x,即 的方程为y一√=√(x-2),即5x一y 3x-2y=0。 √3=0。故选D。 ②当所求直线在两坐标轴上的截距不为 易错点5.忽视特殊位置致错 0时，因为所求直线在x轴上的截距是在y 例5过点P(0,1),且与点A(3,3)和 轴上的截距的2倍，所以设所求直线的方程 B(5,一1)的距离相等的直线方程是()。 为品十名-1.因为所求直线经过点P(2,3), A.y=1 B.2x+y-1=0 厨以21，解得a=4,于是所求直线的 C.y=1或2x十y-1=0 D.2x+y-1=0或2x+y+1=0 方程为专十￥=1，即x十2y一8=0。 错解：由题意知，所求直线与直线AB平 综上，所求直线方程为3.x一2y=0或 行。因为直线AB的斜率为 =一2，所以 x+2y-8=0。 易错点4.混淆斜率与倾斜角的定义及 所求直线的斜率为一2。所求直线的方程为 其关系致错 y-1=-2(x-0),即2x十y-1=0。故 选B。 例4已知直线1的倾斜角是直线 错因剖析：所求直线和点A,B等距离， x一√3y一1=0的倾斜角的2倍，且过点 需要考虑A,B两点在所求直线的同侧和异 (2,√3)，则直线1的方程为( )。 侧两种情况。上述解法只考虑A,B两点在 A.2x-√3y-1=0 所求直线的同侧，即所求直线与直线AB平 B.2x+3y+1=0 行，未考虑A,B两点在所求直线的异侧，导 C.√5x-y+5=0 致漏解。事实上，当所求直线过点P和AB D.5x-y-V5=0 的中点M(4,1)时，也符合题意，由两点式可 得所求直线的方程为y=1。 错解：直线x一√y一1=0的斜率为 3 正解：①当A,B两点在所求直线的同侧 因为直线l的倾斜角是直线x一√3y一1=0 时，由题意知，所求直线与直线AB平行。因 为直线AB的斜率为士一2，所以所求直 的倾斜角的2倍，所以直线1的斜率为3。 3-5 线的斜率为一2，于是直线的方程为y一1= 于是直线1的方程为y一5=23(x一2. 2(x-0),即2x+y-1=0。 3 ②当A,B两点在所求直线的异侧时，所 即2x一√3y-1=0。故选A。 求直线过点P和AB的中点M(4,1),由两 错因剖析：上述解法中，误认为“直线( 点式可得所求直线的方程为y=1。 的倾斜角是直线x一√3y一1=0的倾斜角的 综上所述，所求直线的方程为y=1或 2倍”意味着“直线l的斜率是直线x一√y 2x+y-1=0。故选C。 一1=0的斜率的2倍”，混淆了斜率与倾斜 (责任编辑徐利杰) 角这两个概念。 28