1.2 空间向量基本定理讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，系统梳理基底的定义与性质，构建从概念辨析到用基底表示向量、求参数、结合数量积及平行垂直判定的完整学习支架，衔接平面向量到空间向量的知识拓展。 资料通过7类题型分层设计，结合四面体、平行六面体等几何模型，培养学生空间观念与几何直观的数学眼光，提升推理能力与运算能力的数学思维。典型例题与巩固练习匹配，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，强化用向量语言表达空间关系的数学语言应用。

1.2 空间向量基本定理 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 基底 （1）定义：如果三个向量，___ 不共面__________，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个______ 基底_______，都叫做___基向量__________． （2）性质：空间任意三个___不共面__________的向量都可以构成空间的一个基底． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 基底的概念辨析 基础知识 核心知识 空间向量基本定理如果三个向量不共面 那么对空间任意一个向量存在唯一的有序实数组使得 不共面的三个向量叫做空间的一组基底 基底中的三个向量不能共面基底内向量不为零向量 一个基底包含三个向量基底选定后空间任意向量都可以由它线性表示 方法技巧 判断能否作为基底核心判定条件是三个向量不共面 三个向量中只要存在两个向量共线则三向量一定共面不可作为基底 零向量与任意两个向量一定共面含零向量的向量组不能作为基底 区分基底（一组三个向量）和基向量（基底里面单个向量） 辨析命题时可以借助几何体模型辅助判断共面关系 典型例题 【例题 1】（25-26高一下·海南海口·阶段检测）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理将向量表示成关于的线性组合，结合题设得到方程组，求解即得关于基底的表达式. 【详解】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 【例题2】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可． 【详解】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确； 对于选项B，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误； 对于选项C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误； 对于选项D，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． 【巩固练习2】（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在实数使得 ， 又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解， 所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确； 对于D，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故D错误. 【巩固练习3】（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 【题型2】 用基底表示向量 基础知识 核心知识 选定一组不共面的基底 空间任意向量都能唯一写成的形式 几何体中向量可以拆解为基向量的线性组合 线性运算规则适用于基底形式的向量化简 方法技巧 在几何体中利用向量加减法则拆分目标向量 优先选用从同一点出发的三条棱向量作为基底 逐步把目标向量转化为基底向量的加减数乘组合 化简过程保持基底向量不拆分 最后整理成标准形式 典型例题 【例题1】（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 【例题2】（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在三棱柱中，由，得，由点是的中点，得， 所以 . 【巩固练习2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可得，结合向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： ， 所以. 【巩固练习3】（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】， 【题型3】 由空间向量基本定理求参数 基础知识 核心知识 同一组基底之下向量的分解表达式唯一 若 且为基底则对应系数相等 利用系数相等建立方程组求解参数 方法技巧 将等式两侧全部整理为同一组基底的标准线性形式 根据基底分解唯一性对应基向量系数分别相等 列出多元一次方程组求解参数 求解完成后代回原式检验等式是否成立 注意前提条件三个向量必须构成基底才能使用系数对应相等 典型例题 【例题1】（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 【例题2】（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 【巩固练习2】（25-26高二下·江苏苏州·期中）点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求，进而可得，即可得结果. 【详解】在四面体中，，，， 则， 可得 ， 因为，则，所以. 【巩固练习3】（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将用平行六面体的棱向量表示，可由线性表示，建立向量等式，根据向量相等时对应系数相等，列方程求解. 【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，， 是中点，，因此， 是中点，，因此， 因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，， 即：， 代入，整理得：， ，解得，代入得，即. 【题型4】 单位正交基底 基础知识 核心知识 三个向量两两垂直且模长都等于1称为单位正交基底 常用表示单位正交基底 空间直角坐标系就是依托单位正交基底建立 单位正交基底中任意两个向量数量积等于0 方法技巧 单位正交基底可以直接对应空间直角坐标 向量用表示时系数就是向量的坐标 做数量积运算时不同基向量之间乘积直接为0 简化向量运算减少交叉项计算 区分正交基底和单位正交基底正交基底只要求两两垂直模不一定为1 典型例题 【例题1】（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用、表示，根据系数可得坐标. 【详解】由题意可知，，则， 则用基底表示向量的坐标是. 故选：D 【例题2】（23-24高二上·陕西榆林·阶段检测）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是．则向量在基底下的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意，由空间向量下基底坐标的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量在基底下的坐标是， 所以， 所以向量在基底下的坐标是. 故答案为： 巩固练习 题型 【巩固练习1】是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量． 【答案】 【分析】设，然后整理解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 【巩固练习2】（24-25高二上·河南鹤壁·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与夹角为，利用空间向量数量积坐标表示从而求解. 【详解】由题意得是空间的一个单位正交基底， 所以=，， 设与的夹角为，， 所以，故D项正确. 故选：D. 【巩固练习3】（24-25高二上·湖北武汉·阶段检测）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【详解】 设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 【题型5】 空间向量基本定理与数量积 基础知识 核心知识 基底表示的向量做数量积运算按照多项式展开计算 同一基底内向量的数量积需要单独计算 单位正交基底能大幅简化数量积运算 展开后共9项 方法技巧 先把两个向量全部写成同一基底的线性表达式 展开数量积式子逐项计算基向量之间的数量积 提前写出基底向量两两之间的模与夹角方便代入 正交基底中非同一基向量数量积直接取0 计算完成后合并同类项化简结果 典型例题 【例题1】（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 【例题2】（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)， (2)因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【详解】（1）， ； （2）略 （3）由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·黑龙江·期末）如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）用向量的线性运算即可求解； （2）用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由于，，所以，因此， 又因为为的中点，，因此. （2）由（1）可知，， 所以. 因为， 所以. 【巩固练习2】（25-26高二下·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 【答案】 【分析】用基底表示出，再根据向量数量积运算律计算. 【详解】如图所示，记，以为基底. 由题意，. . . . 【巩固练习3】（2026·江苏盐城·模拟预测）（多选）平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，由可判断，对于B，由空间向量基本定理可判断，对于C，通过可判断，对于D，通过向量夹角公式可判断. 【详解】设，，， 由题意得：，三个向量两两夹角为， 因此两两点积， 选项A， ，则 ， 因此，A正确； 选项B ，平行六面体中，对比得， ，B错误； 选项C  ，， 因此，C错误； 选项D ， ， ； 即； 因此，D正确. 【题型6】 空间向量基本定理与平行垂直共面 基础知识 核心知识 基底形式下两向量平行一个向量等于另一个向量的数乘 两向量垂直等价于数量积等于0 三个向量共面则不能构成空间基底 四点共面可以转化为向量共面条件结合基底表达式分析 方法技巧 平行问题列出数乘等式对比基底系数建立方程 垂直问题写出数量积表达式并令结果等于0 判断三个向量能否作为基底本质判断是否共面 共面判定可以结合空间向量基本定理逆向分析 区分向量共面与点共面的表述差异 典型例题 【例题1】（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设，利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，由可知，即可求出，进而得出线段的长度. 【详解】由题意，因为点为棱的中点， 所以， 又因为点为棱的中点，点在棱上， 设， 所以， 因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 所以，解得， 因为，所以. 【例题2】（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）已知，，，且不共面，共面，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理的推论求解. 【详解】由共面，且不共面， 存在实数使得， 即 ， 则，解得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可求解； （2）利用空间向量基本定理结合向量的数量积即可求解. 【详解】（1）因为 ，又， 所以， 所以； （2）因为， ， 所以，. 【巩固练习2】（25-26高二下·河北邢台·开学考试）在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，平面AEF与棱CD交于点G，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理，结合四点共面的性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 设， ， ， 显然不是共线向量. 因为平面AEF与棱CD交于点G，所以四点共面， 因此有 ， 因为彼此两两不互相共线， 所以有， 所以. 【巩固练习3】（2026高二·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将分解为即可； （2）利用向量垂直的充要条件，建立关于 的方程求解即可. 【详解】（1）． （2）假设存在点，使， 设， 显然， 因为，所以， 即， 所以 ． 设， 又，， 所以， 即， 解得， 所以当时，． 【题型7】 空间向量基本定理的综合应用 基础知识 核心知识 可以不建立坐标系直接选取几何体中不共面棱向量作为基底 结合线性运算数量积平行垂直判定解决立体几何问题 空间向量基本定理是空间直角坐标法的理论基础 方法技巧 优先观察几何体选择一组计算简便的基底 将题目所有相关向量统一用该组基底表达 综合题分步处理先表示向量再做运算或者位置判定 对比基底法和坐标法灵活选择解题路径 计算结束后结合几何体验证结论是否符合几何直观 典型例题 【例题1】（25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）（多选）在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】依托三棱柱棱长与夹角条件得到基底向量数量积，分别对四个选项：A通过向量分解求出系数求和判断对错；B利用空间四点共面向量充要条件推导；C展开数量积化简消去参数得定值；D结合点到直线距离与均值不等式求三角形面积最小值． 【详解】 对于A，当点为棱的中点时， ， 所以，，，，A错误； 对于B，当时，， 所以，即， 所以四点共面，B正确； 对于C，当时， ， 所以， 所以 ，C正确； 对于D，当时， ， ， 所以点到的距离， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为，D正确． 【例题2】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）（多选）已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则点四点共面 C．点可能共线 D．，则 【答案】ABD 【分析】根据空间向量加法规则、共面向量定理、共线向量定理、空间向量基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A，根据空间向量加法规则可知，A正确； 对于B，因为点满足，且，所以根据共面向量定理得点四点共面，B正确； 对于C，因为， ， 与不共线，故不共线，因此不可能共线，C错误； 对于D，因为 因为，所以，则，D正确. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·河南·阶段检测）（多选）在棱长为2的正方体中，，则（   ） A．若，则 B．若，且，，则直线与所成角的最小角为 C．若，则点所在的平面截正方体所得的截面面积为 D．若，则直线和直线所成角可能为 【答案】AC 【分析】对于A，根据得到点四点共面，又平面，再根据线面垂直的定义得到；对于B，求出点的轨迹，将与所成的角转化为直线和所成的角，结合图象即可判断；对于C，先证明截面为，再求面积即可；对于D，先证明点的轨迹为平面，直线和所成角的最小角即为直线和平面所成的角，即，求出即可进行判断. 【详解】对A，若，则点四点共面，如图1， 因为是正方体， 所以平面平面，所以，所以A正确； 对B，若，且，则点的轨迹为线段， 又因为，所以与所成的角转化为直线和所成的角， 由图2可知，直线和所成的角的范围为，所以选项B错误； 对C，若，则过点的平面截正方体所得的截面为，如图3所示， 其中点分别为，的中点． 证明如下：因为， 因为点在平面内，所以， 又因为分别为的中点，所以，，， 所以， 又因为，所以， 所以，即所得的截面为， 因为正方体的棱长为2，所以是边长为的正三角形， 所以的面积为：，所以选项C正确； 对D，若，则点的轨迹为平面．证明如下：如图4所示， 在平面内任取一点为，连接，与平面的交点为， 连接，分别与平面和平面的交点为，连接， 因为平面平面，所以．因为，所以， 则．设，则， 所以， 又因为，所以， 则，即点的轨迹为平面． 直线和所成角的最小角即为直线和平面所成的角．连接， 则即为直线和平面所成的角，且，， 所以，又因为，所以，所以选项D错误． 故选：AC． 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北武汉·期中）（多选）在长方体中，，，为的中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（   ） A．点P一定在平面内 B．当时，点P轨迹的长为 C．当，，三点共线时， D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对A，利用及共面向量基本定理即可判断；对B，取的中点，即可得出，计算长度即可；对C，由向量共线的性质得解；对D，利用基底表示，运算得解. 【详解】对于A，由， 所以， 所以共面，即故点在平面内，故A正确； 对于B，取的中点，连接，则，又， 所以，则四边形为平行四边形， 当时，，， 可知此时点的轨迹为线段，其长度为，故B正确； 对于C，由及三点共线，故，故C错误； 对于D，由题为一组基底，所以， 所以 ， 当且仅当时，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 【巩固练习3】（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）在长方体中，，，M为BC的中点．动点P满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在平面内 B．当时，点P的轨迹长度为 C．当，P，M三点共线时， D．当时，的最大值为 【答案】BC 【分析】A利用及平面向量基本定理即可；B取的中点N，即可得出，计算长度即可；C由共线性质即可；D利用基底化简得出，再化简得出，当，时，取最大值，但此时不满足. 【详解】对于A选项，易得，故，则共面，又有公共点，故点P在平面内，故A错误； 对于B选项，取的中点N，连接， 则，，则，， 则四边形为平行四边形， 则当时，，， 可知此时点P的轨迹为线段AN，其长度为， 故B正确； 对于C选项，由，与三点共线，可知，故C正确； 对于D选项，显然为一组正交基底， 而， 故 ， 而 ， 故 ， 因，，故当，时，最大为， 此时不满足，故的最大值不为，故D错误． 故选：BC． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可得， . 2．（25-26高一下·重庆·期末）如图，空间四边形中，，，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式. 【详解】由已知， . 3．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 所以，，. 又因为， 所以 ，故， 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知在四面体中，，，.点在棱上，满足，点在棱上，满足.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减、数乘运算化简即可. 【详解】由题意得，， 所以， 故，则. 故选：B 5．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 6．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正四面体OABC中，为的重心，为AB的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，由的重心得为中点，及数量关系，由中位线得，然后由向量的加减法求得结果. 【详解】延长交于点， 为的重心，∴为中点，且， ∵为AB的中点，∴， ∴ ， . 故选：A. 二、多选题 7．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是钝角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】ACD 【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，正确； 对于B，若，则是钝角或是，错误； 对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，假设共面，则存在不全为零的实数使得，整理得，因为是空间中的一组基底，所以线性无关，故，解得，所以假设不成立，也是空间的一个基底，正确； 对于D，因为，且，所以P，A，B，C四点共面，正确． 8．（25-26高二上·浙江丽水·期末）在四棱锥中，，，，点分别满足，，．平面与棱交于点，，则以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．, C．若，则 D．若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 【答案】ACD 【分析】求证平面即可由线面平行性质定理求解判断A；取CD中点H，求证平面且在平面外即可判断B；用基底表示，利用共面定理即可求解判断C；求出，由，，得到，求出从而得到，由，得到，建立 的等式求出的值可判断D. 【详解】对于选项A，由题，若，则，即重合， 因为，在平面外，平面， 所以平面，因为平面平面，平面， 所以，故A正确； 对于选项B，取CD中点H，连接BH，则由题可知，所以四边形为平行四边形， 连接，则I为BD中点， 因为，，， 所以，， 所以，连接PI，则，又平面， 所以平面，因为平面，在平面外， 所以对，不成立，故B错误；    对于选项C，若，则， ， 因为四点共面，所以存在实数使得， 则，故C正确； 对于选项D，设的体积为，点到平面的距离为， ，，为梯形， ，设， 则， ， ， ，， ， 到平面的距离就是到平面的距离， ，， ， ， ，， ， 且要使， ，， 在上，， ，， ， ， ， ， ，， 故若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    【答案】 【分析】利用两边进行完全平方，转化为，从而求解 【详解】在平行六面体中， ， 则， 因为， 则,,, 所以， 故. 10．（2026高三上·全国·专题练习）已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 【答案】3 【分析】由三角形重心的向量性质以及向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是的重心，所以，设为中点， 所以，因为， 因为，，所以，即 ，将代入可得，， 因为，所以，因为是平面ABC外的一点， 且为非零向量，所以. 11．（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 【答案】 【分析】根据空间向量的基本定理、向量的线性运算及向量相等求解即可. 【详解】由题意可知. 设， 所以，解得，则， 则以为基底时的坐标是． 12．（25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱，，交于点，，，若，以为空间的一个基底，则__________.    【答案】 【分析】设，由空间向量的线性运算得出，，结合空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出答案. 【详解】设，则． 因为A，E，F，G四点共面，且不共线， 所以. 由，解得，所以. 故答案为： 13．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【答案】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 14．（25-26高二上·广东茂名·期末）在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 【答案】 【分析】设中点为R，，连接，则有，且，从而得，解得，可得，由重心性质可得，设 ，且 ，从而可得，最后由D，E，F，G四点共面，即可求得答案. 【详解】如图所示：设中点为R，，连接， 由P，R，C，Q，S，G共面， 可知与平面的交点即与的交点D. 因为，，， 设 ， 则， 设 ， 则， 故， 故， 解得，代入， 可得，即. 由重心性质可得， 设 ， 又 ， 则， 故，解得， 故， 则， 由D，E，F，G四点共面， 可知：（其中）， 所以， 则. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． (1)求证：四点共面； (2)求的长度． 【答案】(1) 在平行六面体中，令，则是空间的一个基底， 由，得，， 因此，而点直线，则，所以四点共面. (2)6. 【分析】（1）取空间的一个基底，利用空间向量的线性运算及向量共线推理得证. （2）由（1）中基底表示，再利用空间向量数量积及运算律求解. 【详解】（1）略 （2）依题意，， 而， 则， 因此 ， 所以的长度为6. 16．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得； （2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得. 【详解】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 17．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 【答案】(1) (2)由题意知，， 因为，所以， 所以，， ， 不妨设， 即，解得.即 ， 根据共面向量定理，共面，即四点共面. 【分析】（1）将作为基底， 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可. （2）由共面向量定理证明即可. 【详解】（1）设，且，分别为，的中点. 所以. 则 ， 所以. （2）略 18．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面 交于点求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将 分解为基底向量的线性组合；根据向量的模结合数量积定义可计算长度. （2）设，利用点在平面 上，根据共面向量定理，利用 且 的条件，建立方程组求解 . 【详解】（1）由题意， ， 因为 为 的中点， 所以 . 所以 . 因为 ，且 － ， 所以 ， 所以 ，即线段的长度为. （2）设 ， 因为点在平面 上， 所以关于基底 的系数之和为1， 即 ，解得 . 所以 . $1.2 空间向量基本定理 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 基底 （1）定义：如果三个向量，___ 不共面__________，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个______ 基底_______，都叫做___基向量__________． （2）性质：空间任意三个___不共面__________的向量都可以构成空间的一个基底． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 基底的概念辨析 基础知识 核心知识 空间向量基本定理如果三个向量不共面 那么对空间任意一个向量存在唯一的有序实数组使得 不共面的三个向量叫做空间的一组基底 基底中的三个向量不能共面基底内向量不为零向量 一个基底包含三个向量基底选定后空间任意向量都可以由它线性表示 方法技巧 判断能否作为基底核心判定条件是三个向量不共面 三个向量中只要存在两个向量共线则三向量一定共面不可作为基底 零向量与任意两个向量一定共面含零向量的向量组不能作为基底 区分基底（一组三个向量）和基向量（基底里面单个向量） 辨析命题时可以借助几何体模型辅助判断共面关系 典型例题 【例题 1】（25-26高一下·海南海口·阶段检测）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习2】（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】 用基底表示向量 基础知识 核心知识 选定一组不共面的基底 空间任意向量都能唯一写成的形式 几何体中向量可以拆解为基向量的线性组合 线性运算规则适用于基底形式的向量化简 方法技巧 在几何体中利用向量加减法则拆分目标向量 优先选用从同一点出发的三条棱向量作为基底 逐步把目标向量转化为基底向量的加减数乘组合 化简过程保持基底向量不拆分 最后整理成标准形式 典型例题 【例题1】（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 【题型3】 由空间向量基本定理求参数 基础知识 核心知识 同一组基底之下向量的分解表达式唯一 若 且为基底则对应系数相等 利用系数相等建立方程组求解参数 方法技巧 将等式两侧全部整理为同一组基底的标准线性形式 根据基底分解唯一性对应基向量系数分别相等 列出多元一次方程组求解参数 求解完成后代回原式检验等式是否成立 注意前提条件三个向量必须构成基底才能使用系数对应相等 典型例题 【例题1】（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【例题2】（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 【巩固练习2】（25-26高二下·江苏苏州·期中）点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（   ） A． B． C． D．1 【巩固练习3】（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型4】 单位正交基底 基础知识 核心知识 三个向量两两垂直且模长都等于1称为单位正交基底 常用表示单位正交基底 空间直角坐标系就是依托单位正交基底建立 单位正交基底中任意两个向量数量积等于0 方法技巧 单位正交基底可以直接对应空间直角坐标 向量用表示时系数就是向量的坐标 做数量积运算时不同基向量之间乘积直接为0 简化向量运算减少交叉项计算 区分正交基底和单位正交基底正交基底只要求两两垂直模不一定为1 典型例题 【例题1】（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量的坐标是（  ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二上·陕西榆林·阶段检测）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是．则向量在基底下的坐标是______． 巩固练习 题型 【巩固练习1】是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量． 【巩固练习2】（24-25高二上·河南鹤壁·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高二上·湖北武汉·阶段检测）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型5】 空间向量基本定理与数量积 基础知识 核心知识 基底表示的向量做数量积运算按照多项式展开计算 同一基底内向量的数量积需要单独计算 单位正交基底能大幅简化数量积运算 展开后共9项 方法技巧 先把两个向量全部写成同一基底的线性表达式 展开数量积式子逐项计算基向量之间的数量积 提前写出基底向量两两之间的模与夹角方便代入 正交基底中非同一基向量数量积直接取0 计算完成后合并同类项化简结果 典型例题 【例题1】（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一下·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·黑龙江·期末）如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 【巩固练习2】（25-26高二下·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 【巩固练习3】（2026·江苏盐城·模拟预测）（多选）平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【题型6】 空间向量基本定理与平行垂直共面 基础知识 核心知识 基底形式下两向量平行一个向量等于另一个向量的数乘 两向量垂直等价于数量积等于0 三个向量共面则不能构成空间基底 四点共面可以转化为向量共面条件结合基底表达式分析 方法技巧 平行问题列出数乘等式对比基底系数建立方程 垂直问题写出数量积表达式并令结果等于0 判断三个向量能否作为基底本质判断是否共面 共面判定可以结合空间向量基本定理逆向分析 区分向量共面与点共面的表述差异 典型例题 【例题1】（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 【例题2】（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）已知，，，且不共面，共面，则（    ） A． B． C．0 D．1 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值. (2)若，且，，求的长. 【巩固练习2】（25-26高二下·河北邢台·开学考试）在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，平面AEF与棱CD交于点G，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026高二·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【题型7】 空间向量基本定理的综合应用 基础知识 核心知识 可以不建立坐标系直接选取几何体中不共面棱向量作为基底 结合线性运算数量积平行垂直判定解决立体几何问题 空间向量基本定理是空间直角坐标法的理论基础 方法技巧 优先观察几何体选择一组计算简便的基底 将题目所有相关向量统一用该组基底表达 综合题分步处理先表示向量再做运算或者位置判定 对比基底法和坐标法灵活选择解题路径 计算结束后结合几何体验证结论是否符合几何直观 典型例题 【例题1】（25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）（多选）在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 【例题2】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）（多选）已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则点四点共面 C．点可能共线 D．，则 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三上·河南·阶段检测）（多选）在棱长为2的正方体中，，则（   ） A．若，则 B．若，且，，则直线与所成角的最小角为 C．若，则点所在的平面截正方体所得的截面面积为 D．若，则直线和直线所成角可能为 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北武汉·期中）（多选）在长方体中，，，为的中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（   ） A．点P一定在平面内 B．当时，点P轨迹的长为 C．当，，三点共线时， D．的最小值为 【巩固练习3】（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）在长方体中，，，M为BC的中点．动点P满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在平面内 B．当时，点P的轨迹长度为 C．当，P，M三点共线时， D．当时，的最大值为 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆·期末）如图，空间四边形中，，，，，，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知在四面体中，，，.点在棱上，满足，点在棱上，满足.若，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 6．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正四面体OABC中，为的重心，为AB的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是钝角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 8．（25-26高二上·浙江丽水·期末）在四棱锥中，，，，点分别满足，，．平面与棱交于点，，则以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．, C．若，则 D．若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 三、填空题 9．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________．    10．（2026高三上·全国·专题练习）已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______. 11．（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 12．（25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱，，交于点，，，若，以为空间的一个基底，则__________.    13．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 14．（25-26高二上·广东茂名·期末）在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 四、解答题 15．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． (1)求证：四点共面； (2)求的长度． 16．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 17．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 18．（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面 交于点求的值 $