10 应用圆锥曲线的定义解题-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

中学生款理化餐整盘学经典翠破方清 应用圆锥曲线的定义解题 ■安徽省霍邱县第一中学 余其权（特级教师）廖 强 在圆锥曲线的解题中，回归定义往往能 故点M的轨迹是以O为圆心，3为半径的 化繁为简、化难为易，让解题过程事半功倍。 圆的一段优弧，该优弧以点(-65,35)和 下面通过具体例题，从轨迹求解、焦点三角形 5,5 分析、离心率计算、最值探究四个维度，展现 .】 5 端点（不包括这两个端点）。 圆锥曲线定义在实战中的巧妙应用，感受 “追本溯源”的解题智慧。 因此M的轨迹为x2+y2= 一、应用定义求轨迹方程 9(-5<r≤) 例1已知双曲线号-号-1的左、 评析：本题借助双曲线的定义与角平分 右焦点为F1、F2,Q是双曲线右支上的动点， 线的几何性质，将动点M的轨迹问题转化为 过F1作∠F1QF,的平分线的垂线，垂足为 与已知线段长度相关的问题，关键在于利用 M,求点M的轨迹方程。 双曲线的定义找到|TF,|的长度，进而通过 解析：延长QF2交FM的延长线于T, 中位线定理确定点M到原点的距离。易错 则由角平分线的性质可得|QF|=|QT|,M 点在于忽略Q在双曲线的右支上运动对M 为FT的中点。由双曲线的定义知QF|一 的轨迹范围有限制。在解决此类问题时，同 1QF2=2a=6,故|TF2=|QT|-QF2|=6。 学们要善于挖掘图形中的隐含条件，灵活运 连接OM(O为原点)，则OM是 用几何关系，将复杂的轨迹问题转化为简单 的几何量计算。 △F,F:T的中位线，故OM-2TF,= 例2动圆过定点（台，0）(p>0),且 3,因此点M在以O为圆心，3为半径的圆 上，圆的方程为x2十y2=9。 与直线x=一 相切，求动圆圆心M的轨迹 当Q趋近于无穷远时，M趋近于渐近线 方程。 与圆的交点，此时kw=士 解析：设圆心M(x,y),定点F(多，0)， 又QM⊥FM,故ks,M=士2。因为 F(35o,所以直线FM的方程为y 则点M到直线x=一 的距离为x+台 ±2(+39). 由题意得MF=x+,即动点M 到定点F与定直线x=一 将直线F1M的方程与圆x2+y2=9联 的距离相等，符 2 立，解得x=一 y±36 6√5 合抛物线的定义。 59 故圆心M的轨迹方程为y=2px(p>0)。 24 轻题破方清中学生表理化 评析：本题紧扣抛物线的定义，将动圆的 在△ABF2中，|AB|=3a,|BF2|=3a, 几何性质转化为点M到定点和定直线的距 |AF,|=4a,由余弦定理得cos∠F1BF,= 离关系。在解题过程中，对抛物线定义的准 (3a)2+(3a)2-(4a) -,化简得cOs∠F1BF,= 确理解和对圆的性质的运用是关键。同学们 2·3a·3a 要清晰把握抛物线定义中“定点不在定直线 1 9。 上”这一条件，避免因条件遗漏而导致错误。 评析：本题通过设未知数，先依据双曲线 对于此类轨迹方程的求解，同学们应培养从 的定义逐步确定焦点三角形的各边长度，再运 条件中敏锐捕捉符合圆锥曲线定义特征的能 用余弦定理求解角的余弦值。难点在于对双 力，快速确定曲线类型，进而得出方程。 曲线定义的多次应用及边与边关系的梳理。 二、应用定义求解焦点三角形问题 同学们易在定义的使用上产生混淆，要准确把 例3椭圆十多=1(a≥b≥o)的 握双曲线的定义。解决此类问题，先明确双曲 线定义中各量的含义，再根据题目条件准确列 左、右焦点为F1、F2,椭圆上一点P满足 出等式，然后利用三角形中的余弦定理建立与 PF⊥PF,且△PF1Fg的面积为9，求b的 所求量的联系，体现了圆锥曲线定义在解决焦 值。 点三角形问题中的有效作用。 解析：由椭圆的定义知|PF1十|PF, 三、应用定义求解离心率 =2a。因PF1⊥PF,,故|PF112+|PF2|2= |F1F212=4c2。 例5已知倾斜角为60°的直线过椭圆 由完全平方公式得(PF1|+|PF,|)= =1(a>b>0)的左焦点F1,交椭圆于 PF+PF:+2 PF PF:1,4a2= A,B两点，且2|BF1|=AF1|,求离心率e。 4c2+21PF1I|PF2|,解得|PF1|PF2|=2b. 解析：设BF1|=m,则|AF1|=2m。记 故△PF,F:的面积S=之×2b=b= 椭圆的右焦点为F2,则由椭圆的定义得 |AF2|=2a-2m,lBF2|=2a-m。 9,解得b=3。 在△AF1F,中，∠AFF2=60°，由余弦 评析：本题综合运用椭圆的定义与勾股定 定理得(2a一2m)2=(2m)2十(2c)2-2· 理，通过对焦点三角形三边关系的代数转化求 2m·2c·cos60°，化简得4a2-4c2=8ma 解b的值。核心思路是利用椭圆的定义构建 4mc。 等式，结合直角三角形的性质进行化简。同学 在△BF1Fg中，∠BF1Fg=120°，由余弦 们在解题时易在平方运算和等式变形过程中 定理得(2a-m)2=m2十(2c)2一2·m· 出错，应熟练掌握完全平方公式及椭圆中Q, 2c·cos120°，化简得4a2-4c2=4ma十2mc。 b,c的关系。此类问题常通过设而不求的方 故8ma-4mc=4ma十2mc,化简得c= 法，将焦点三角形的边长关系转化为与a,b,c 3a,因此e=￡=2 相关的等式，进而求解未知量，体现了圆锥曲 a 3 线问题中定义与代数运算紧密结合的特点。 评析：本题借助椭圆的定义与余弦定理， 例4双曲线C的左、右焦点为F、F2,过 通过设线段长度，建立关于a,c的等式求解 F,的直线交双曲线左支于A,B两点，若AF, 离心率。关键在于根据直线的倾斜角确定焦 =2F1B,AB|=BF2,求cos∠FBF2。 点三角形的内角，准确运用余弦定理。在化 解析：设|F1B|=m,则|AF1|=2m, 简过程中，计算量较大，同学们容易出错，需 |AB|=|BF2|=3m。由双曲线的定义得 仔细运算。此类问题通常将椭圆的定义、几 |BF2|-|BF1|=2a→3m-m=2a,即m= 何图形中的角度关系与余弦定理相结合，通 a。又1AF2-AF1=2a,则|AF2|=2a+ 过消元得到只含a,c的方程，从而求解离心 2m=4a。 率，考查同学们综合运用知识的能力。 25 中学生款理化解塑学0典翠破方清 例6已知双曲线若-芳-1(a>0. y 4+①3 2 当且仅当M为直线AC与椭圆的 b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1的 交点时取等号 直线与圆x2十y=a2相切，交双曲线左、右支 故|MB|+|MCI的取值范围为 于A、B两点，若AB|=|BF2|,求离心率e。 4 ，4+ 解析：由|AB|=|BF,I得|AF1I= 2 2 1BF11-|AB|=|BF1I-1BF2|=2a,由双 评析：本题巧妙利用椭圆的定义将|MB 曲线的定义得|AF2|=AF1|十2a=4a。 +|MC|进行转化，再结合三角形三边关系求 因直线与圆x2十y2=a2相切，故原点O 取值范固。核心在于理解椭圆的定义，并灵 到直线的距离为a,则sin∠AF,0=名，故 活运用三角形不等式。同学们在解决此类问 题时，容易忽视等号成立的条件，即M为直 c0s∠AFO-名：在△AD,R:中，由余弦定 线AC与椭圆的交点。对于椭圆上点到两焦 点及其他定点距离和差的最值问题，常通过 理得cos∠AF,0=(2a)'十(2c)-(4a) 2·2a·2c 定义转化为已知线段长度关系，借助几何图 形的直观性确定最值，体现了数形结合思想 名，化简得c-3a2=2b 在圆锥曲线最值问题中的重要应用。 又因为=c2-ae=合，整理得e 例8点A(-√5,0)，B是圆x2+(y 10e2+13=0,解得e=√/5+2√3。 一5)=1上的点，M是双曲线x2-=1 4 评析：本题综合运用双曲线的定义、直线 右支上的点，求|MA|十|MB|的最小值。 与圆相切的性质及余弦定理来求解离心率。 解析：双曲线的右焦点为D(√5,0)，由 解题的突破口在于利用双曲线的定义确定线 双曲线的定义得|MA|一|MD|=2a=2→ 段长度关系，结合直线与圆相切得到角度的 |MA「=|MD|+2。故|MA|+|MB[= 三角函数值，进而在焦点三角形中运用余弦 MD|+1MB|+2≥|BD|+2. 定理。同学们需对各知识点有清晰的理解和 因为B是圆x2十(y一√5)2=1上的点， 熟练的运用能力，尤其是在等式变形和求解 其圆心为C(0,√5)，半径r=1,故|BD|≥ 过程中，要注意运算的准确性。这类问题将 |CD|-r=√10-1。 多个几何条件融合，突出了圆锥曲线定义在 综合问题中的纽带作用，要求同学们具备较 因此「MA|+「MB≥√I0-1+2= 强的逻辑推理和运算求解能力。 √I0十1，当点M,B在线段CD上时取等号。 四、应用定义求解最值问题 故|MA|+MB|的最小值为√10十1。 贷例7已知糌回片+苦-1的左，右焦 评析：本题通过双曲线的定义将|MA|进 行转化，把问题转化为双曲线上一点到双曲线 点为A,B,点C(,1),求MB+MC的 右焦点及圆上一点距离之和的最小值问题。 关键在于准确找到双曲线的焦点，先利用定义 取值范围(M为椭圆上的点)。 进行距离的转化，再结合圆的性质和两点间距 解析：由椭圆的定义得|MA|十|MB|=2a 离公式求解。同学们在思考过程中，可能难以 =4,故|MB|+|MC=4-(MA|-IMC1). 想到通过双曲线的定义将问题进行有效转化。 由题意知A(-1,0),则1AC1=区 解决此类问题的关键是对圆锥曲线定义的深 2 刻理解，以及对几何图形中各元素关系的敏锐 由三角形不等式得|IMA一|MCI≤ 观察，将复杂的距离最值问题逐步简化为可求 ,故4-≤IMB1+MC≤ AC1=13 解的几何量关系。 （责任编辑赵倩) 2 26