7 利用圆的定义构造隐圆来解题-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

整薇学奥题夹酸方清中学生款理化 利用圆的定义构造隐圆来解题 ■江苏省张家港市凤凰高级中学 刘显伟 有些数学问题将圆隐藏在已知条件里， 解析：由题意知这两个点同在圆C和圆 隐晦地考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置 x2十y2=50上，所以需要满足条件10√2 关系。同学们解题时，需要先通过分析与探 5√2<√(a-0)+(a-0)<10√2+5√2， 索，发现这些隐藏的圆（简称隐圆），再利用与 即5<|a|<15。 圆有关的一些知识进行求解。利用圆的定义 所以圆心C到直线3x十4y=0的距离 (到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐 圆，这是常见的解题思路，下面举例说明 d=-17al ∈(7,21)。 √9+16 例1若直线m:x+√y十t=0上存 例2在平面直角坐标系xOy中，已知 在点Q,过点Q作圆C:(x一3)2十y2=8的 圆C:x十y2-6x十5=0，点A,B在圆C上， 两条切线，切点分别为E,F,且∠EQF= 且AB=2√3，则OA+O庐|的最大值是 90°，则实数t的取值范围为。 解析：如图2，取AB的中点D,连接 OD,于是OA+OB=2O元，|OA+OB|= 2OD|,问题转化为求OD|的最大值，因此 弄清点D的轨迹方程是求解的关键。 图1 解析：圆C的圆心为C(3,0),半径为 22。如图1，连接CE,CF,由∠EQF=90°， 图2 QE与QF是圆C的两条切线，易得四边形 圆C:(x一3)2+y=4,圆心为C(3,0),半 EQFC是正方形，于是|CQ|=√E|CE|=4。 径为2。连接CD,结合垂径定理和勾股定理可 此时注意到动点Q与定点C的距离等于定 得1CD|=√TCB'-BD平=√22-(3)=1。 长4，所以点Q在以(3,0)为圆心，半径为4 动点D在以C(3,0)为圆心，1为半径的 的圆上运动，记为圆C(图中的虚线圆)，圆 圆上运动，此圆的方程为(x一3)2十y2=1。 C‘的方程为(x-3)+y2=16。因为点Q既 于是即求圆(x一3)2十y2=1上一动点 在圆C'上，又在直线m上，所以直线m与圆 D到定点O距离的最大值，此最大值为OC C‘有公共点，即圆心C‘(3,0)到直线m的距 +1=4,故OA+OB1的最大值是8。 离d= 13+t二≤4，解得一11≤t≤5。 反思：解题过程中多关注定点C并说明 1+(5) CD|是定值，从而求出动点D的轨迹方程 于是t的取值范围为[一11,5]。 是解决本题的关键。 变式1：若圆C:(x一a)十(y-a)”= 变式2：在平面直角坐标系xOy中，已知 200上总存在两个点到原点的距离为5√2， 圆O:x2十y2=16,点P(1,2),M,N为圆O 则圆心C到直线3.x十4y=0的距离d的取 上的不同的两点，且PM·PN=0。若P反 值范围是一。 =PM+P不，则P反|的最小值为一。 17 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2025年10月 解析：如图3，取MN 要使sin∠PBQ最大，结合图5及函数 的中点A,连接OA,ON, y=sinx的单调性，可知当BP与半圆Q相 则P衣=PM+PN= 切时，sin∠PBQ最大。 2PA,P点=21PA1, 问题转化为求|PA|的最 小值。 点P是定点，求解 本题的关键在于弄清点 图3 图5 A的轨迹方程。 因为BQ=3 2,所以sin∠PBQ的最大 设A(x,y),因为A为MN的中点，所 以OA⊥MN,则|AN12=|ON12一1OA|2= 值为9P1 BQ=3。选A 16-(x2+y)。 反思：将空间问题转化为平面问题是求 又因为PM·PN=0,所以|PA|= 解本题的关键。 |AN|,则(x-1)2+(y-2)2=16-(x2+ 变式3：在棱长为2的正方体ABCD- )整理得()广十(0-1-头。 A1BC1D1中，点P为正方体表面上的一个 动点，使直线AP与平面ABCD所成的角为 故点A在以B(侵，1)为圆心，半径R 45°的点P的轨迹总长度为。 35 解析：假设点P在平面DCC1D:或平面 2 的圆上运动。 BCC1B1内，因为∠B1AB=45°，∠D1AD= 又定点P(1,2)在此圆内，因而求|PA 45°，所以这种假设不成立。 的最小值即求定点P与圆B上一点距离的 若点P在平面ADD1A1内，则点P的 最小值。 轨迹为线段AD1,长度为2√2。 易知此最小慎为 -BP1=33_5 若点P在平面ABB1A1内，则点P的轨 2 21 迹为线段AB1,长度为2√2 故P反的最小值为3√一√5。 若点P在平面AB,C1D1内，作PM⊥平 例3已知矩形ABCD,AB=3,AD 面ABCD,如图6所示。因为∠PAM=45°，所 =√5，M为边DC上一点且DM=1,AM与 以PM=AM。又PM=BB1,故AM=2。 BD交于点Q,将△ADM沿着AM折到点P 的位置，则sin∠PBQ的最大值是( )。 A.吉 R号 c号 D.v10 10 解析：如图4，由题意可 D 知AM⊥BD于点Q。 将△ADM沿着AM折 图6 到点P的过程，相当于在平 又A1P=AM,故A1P=2,即在平面 面BPD中，点P绕着点Q A1B1C1D1内，点P的轨迹是以A1为圆心， 旋转的过程。此时QP= ，即动点P到定点Q的距 √ 2为半径的四分之一圆，其长度为}×2x×2 图4 =π。 离等于定长QP。因此，点P的轨迹是以Q 综上，点P的轨迹总长度为π十4√2。 为圆心，|QP为半径的半个圆。 (责任编辑徐利杰) 18