5 直线方程的多种形式及应用-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

如识镇￥新高考名师护芦中学生教理化 高二数学2025年10月 发直线纺程的多种形式及应用 ■湖北省襄阳市第三中学 秦正辉 直线方程作为解析几何的根基，在高考y轴上的截距为一2，则直线的斜截式方程为 中很少单独考查，经常与圆、椭圆、双曲线和 y=3x-2。 抛物线等其他曲线结合，通过交点问题，位置 点评：斜截式适用于已知直线的斜率和与 关系的判断等形式呈现。解决这类问题的核 y轴的交点，但是斜截式同样要求斜率k存 心在于依据题目所给条件，选用最合适的直 在，当直线垂直于x轴时无法使用。同时斜截 线方程。下面将着重梳理高中数学范围内所 式是点斜式的特殊情况，斜截式的形式更直 学的直线方程的几种基本形式，通过例题展 观，常用于判断两条直线的平行（斜率相等且 示各种形式的适用范围，希望对同学们的学 截距不相等)或垂直（斜率之积为一1）关系。 习有所帮助。 三、两点式 一、点斜式 若直线l经过两点P(x1y1)和P2(x2, 若直线l经过点P。(xo,yo),且斜率为 y,)(x1≠x,y1卡y2),则直线l的方程为 k,则直线L的方程为y一yo=k(x一x)。 y1=xx 例1若直线1经过点(2,0)且与直线 y2-y1x2-x1 y=x垂直，则直线1的方程为( 例3已知直线1：y=2x一1过点 )。 A(一2，b),若直线l2过点B(6,3)及点A关 A.2x+y-4=0 于坐标原点的对称点，则直线，的方程为 B.2x-y-4=0 ()。 C.x-2y-2=0 A.x+2y-12=0 D.x+2y-2=0 B.x+2y+12=0 解析：因为直线1与直线y=号x垂直， C.x-2y=0 D.2x-y=0 所以直线1的斜率为一2，它的方程为y= 解析：已知直线1过点A(一2，b),代入 -2(x-2),即2x十y-4=0。故选A。 直线方程得b=一5，即A(-2,一5)，则点A 点评：点斜式适用于已知直线经过一点， 关于坐标原点的对称点为A'(2,5)。因为直 ,点的坐标和直线的斜率已知或可求。需要注 线L2过B,A'两点，所以直线l2的方程为 意的是当直线垂直于x轴时，直线的斜率不 存在，此时无法使用点斜式。 号日即x十2y-12-0.故选A 二、斜截式 点评：两点式适用于已知直线上两个不 若直线！的斜率为k,且与y轴交于点 同点的坐标，且两点的横坐标、纵坐标均不相 (0,b)(其中b为纵截距)，则直线1的方程为 等。但是当直线垂直于x轴(x1=x2)或垂 y=kx十b。 直于y轴(y1=y2)时，两点式不适用，需要直 例2直线1的方向向量为(1,3)，且 接写为x=x1或y=y1。 在y轴上的截距为一2，则直线l的斜截式方 四、截距式 程为一。 若直线与x轴交于点(a,0)(横截距为 解析：由题意知，直线的斜率k一3，在 a),与y轴交于点(0，b)(纵截距为b),且 13 中学生表理化熙氨学新费护 a≠0，b≠0，则直线1的方程为二十头=1。 l2不重合，故选项B错误。 a b 例4已知A(3,0),B(0,4),直线AB 对于选项C,当a= 号时，h+3y 上有一个动点P(x,y),求xy的最大值。 3:-含x+4y=-16。因为1×（号）十 4 解析：直线AB的方程为言十兰=1，动 1 3×4=0,所以4⊥12，故选项C正确。 点P(x,y)在直线上，则x=3一 4y。 对于选项D,当a=0时，l1:x十y=2, 所以y=(6-)y=3y-是y l2:4y=-16,即12：y=-4。 x+y=2 由 得=6， y=-4, y=-4。 所以1与l2 3 (y一2)+3≤3，即当点P的坐标为 交于点(6，一4)，故选项D正确。 (径，2)时xy取得最大值3。 故选B。 点评：直线的一般式方程是直线方程中 点评：截距式方程的适用条件是a≠0， 较为常用的表达式，它适用于任何一条直线。 b卡0，即直线1在两条坐标轴上的截距非零， 在高考中，直线与圆、椭圆等曲线的综合 所以截距式方程不能表示过原点的直线，也 问题，往往需要先根据条件确定直线方程的 不能表示垂直（平行）于坐标轴的直线。 形式，再通过联立方程，利用判别式或韦达定 五、一般式 理求解。熟练掌握各种形式的适用场景，才 对于任意直线，均可表示为Ax十By十 能在解题中高效转化，为复杂问题的突破莫 C=0,其中A、B不能同时为0(A2十B≠ 定基础。直线方程作为解析几何的“敲门 0)。当B≠0时，方程Ax十By十C=0可以 砖”，其重要性不仅在于自身的形式，更在于 写成y= 合x一合它表示斜率为一合在 AC 它连接代数运算与几何性质的桥梁作用 这正是解析几何的核心思想。 y轴上的截距为一 的直线。特别地，当 练一练： C 1.已知直线l1:x十3y十1=0和l2: A=0时，y=一方，它表示垂直于y轴的直 x+(m+2)y+2m-1=0。 线；当B=0时，x=一 方，它表示垂直于x轴 (1)若l1∥l2,求实数m的值； (2)若不经过坐标原点的直线，在两个 的直线。 坐标轴上的截距相等，求实数m的值。 例5已知直线l1:x+(1+a)y=2+ 参考答案：(1)实数m的值为一3。 a与直线l2:2a.x十4y=一16，则下列说法不 (2)实数m的值为一1。 正确的是()。 2.已知直线l:(a-1)y=(2a-3)x十1。 A.当a=1时，l1∥l2 (1)求直线（所过定点的坐标： B.当a=-2时，l1与l2重合 (2)若直线l不经过第四象限，求实数a C.当a=- 时山山山 的取值范围； (3)若直线（与两坐标轴的正半轴围成 D.当a=0时，l1与l2交于点(6，一4) 三角形的面积最小，求直线（的方程。 解析：对于选项A,当a=1时，l1:x十2y 参考答案：(1)直线1过定点(1,2)。 =3,l2:2x+4y=-16,即l2:x+2y=-8, 则l1∥2，故选项A正确。 (2)实数a的取值范围是[，十) 对于选项B,当a=一2时，l1:x一y=0, (3)直线l的方程为2x十y一4=0。 l2:-4x+4y=一16，即l2:x一y=4,则l1与 (责任编辑徐利杰) 14