重难点培优12 导数中的整数解及8类“距离”问题（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦导数中的整数解及8类距离问题，涵盖一点一曲、一直一曲等核心考点，按知识重构、题型精研、实战检测的逻辑架构，通过考点梳理、技巧通法指导、分层真题训练，帮助学生构建系统知识网络，突破导数应用难点。 讲义以题型分类为特色，针对距离问题提炼几何规律与导数方法，如利用切线平行求一直一曲距离最值，培养数学思维与几何直观。设置重难巩固、创新提升分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准指导。

重难点培优12 导数中的整数解及8类“距离”问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 导数背景下不等式整数解问题（★★★★★） 4 题型02 一点一曲：定点到曲线上动点距离最值（★★★★） 5 题型03 一直一曲：曲线上动点到定直线距离最值（★★★★★） 6 题型04 两曲之间：两条曲线上动点距离最值（★★★★★） 7 题型05 竖直截距距离：竖直线截取两曲线的距离最值（★★★★） 8 题型06 截距距离：水平线截取两曲线的距离最值（★★★★） 9 题型07 反函数型距离：互为反函数图像上两点距离（★★★★） 9 题型08 切线相关距离（★★★★） 10 题型09 曼哈顿距离导数综合（★★★★） 11 03 实战检测·分层突破验成效 13 重难知识巩固 13 创新能力提升 15 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 导数型不等式整数解问题 1.整数解问题 导数背景下不等式整数解个数问题，解题思路为数形结合。我们需要把不等式问题转化为两个函数图像的位置关系，找出所有满足题干条件的整数自变量，再利用解集中整数与相邻不满足条件的整数建立不等式组，以此求解参数的取值范围。 （1）常见变形转化方法： ①完全分离参数 将不等式变形为一侧只含有参数，另一侧为关于的函数。例如等价于。此时问题转化为水平直线与曲线的位置关系，统计出满足条件的整数，再根据临界位置列出不等式。 ②不完全分离参数 当参数存在于一次式当中，很难完全拆分出来时使用。典型形式为，不等式一侧为曲线，另一侧是恒过定点的动直线。我们可以通过旋转这条动直线，观察图像，锁定整数解对应的临界位置。 （2）解题步骤： ①对题干给出的不等式做等价变形，合理构造函数；对构造出来的函数求导，完整分析函数的定义域、单调性、极值、特殊整数点对应的函数取值。 ②结合函数性质画出草图，从图像上甄别出全部满足不等式条件的整数解。 ③抓住临界条件：假设满足条件的整数解为，那么所有解集中的整数代入原不等式必须成立；而和这些整数紧紧相邻、不在解集内的整数代入原不等式必须不成立。依靠这两组条件列出对应的不等式组，求解参数范围。 易错提醒：端点能否取到，一定要看图像，严格区分 “” 和 “”；区分正整数解、非负整数解、无整数解、恰有个整数解。 （3）常见易错点 ①处理对数、分式类型函数，第一步优先写出函数定义域，很多错误来自忽略定义域对整数的限制。 ②不完全分离参数得到的动直线一般带有定点，做题时要关注这个定点是否落在函数定义域之内。 ③“无整数解” 题型有双重要求：第一，原不等式本身要有解，解集不能是空集；第二，所有的整数自变量全部都不在不等式的解集当中，两个条件缺一不可。 知识点02 导数背景下几类距离 1.欧氏距离基础公式 已知两点，，两点之间欧氏距离： 求的最值，等价于求距离的平方的最值。求出平方的最值之后，再做开根号处理，以此简化计算。 （1）定点到曲线上动点，一点一曲模型 设定点，动点在曲线上。 构造新函数，通过求导找到函数极值点，进一步得到距离的最值。 几何重要结论：当取得最小值的时候，线段与曲线在点处的切线互相垂直。也就是连线斜率与切线斜率乘积等于，。这个条件可以用来检验或者直接求解切点。 （2）曲线上动点到定直线，一直一曲模型 已知定直线，曲线上动点，根据点到直线距离公式： 分母是固定常数，所以距离取得最值等价于取得对应最值。 几何重要结论：如果曲线上存在切点使得距离最小，那么曲线在该切点处的切线和已知定直线互相平行，满足。 （3）两条曲线之间动点距离，两曲模型 动点在曲线上，动点在曲线上，求的最小值。 ①如果两条曲线存在公共交点，那么两点最小距离直接为。 ②如果两条曲线没有交点，最小距离出现在两条曲线互相平行的两条切线上。求出两条平行切线，两条平行线之间的距离，就是两条曲线上动点的最小距离。 （4）竖直距离 用一条竖直直线同时截取两条曲线，得到交点与。竖直距离就是同一个横坐标之下两个点纵坐标差值的绝对值：。构造函数，去掉绝对值之后借助导数求解函数最值。 （5）水平距离 用一条水平直线同时截取两条曲线，得到交点与。水平距离就是同一个纵坐标之下两个点横坐标差值的绝对值：。需要从曲线方程当中反解出横坐标，构造关于的函数，利用导数求最值。 （6）反函数距离性质 函数和它的反函数，两个函数图像关于直线轴对称。 取点在上，点在上。若原函数存在切线与直线平行，则的最小值等于曲线上的点到直线最小距离的2倍。实际做题时，先求切点到直线的最小距离，再乘以就得到两点最小距离。 注意：如果原函数不存在和平行的切线，这个二倍结论不能直接使用，必须直接构造距离平方函数求解。 （7）切线相关距离 1.两条互相平行的切线：两个切点处导数值相等，先求出两条切线的直线方程，再使用平行线之间距离公式计算距离。 2.切点弦：从曲线外部某一个定点向曲线作两条切线，两个切点连成的直线叫做切点弦。很多题型当中切点弦直线会恒过某个定点。定点到动切点弦直线距离的最大值，等于这个定点到动直线所过定点之间线段的长度。几何原理：点到一条动直线的距离，不会超过该点到直线上任意一点的线段长度。 知识点03 曼哈顿距离 平面内两点的直线距离公式：若，则这两点之间的直线距离为，我们也称直线距离为欧几里得距离，或简称欧氏距离。但是，在有些实际问题中，欧氏距离并不适用，比如在纽约的曼哈顿地区，街道布局横平竖直，如果我们从如图所示的点出发，沿着街道行至目的点，则我们走过的路程长度为，我们称这样的距离为两点的折线距离，也称为曼哈顿距离（或距离，出租车距离等） 结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则 结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 导数背景下不等式整数解问题 【技巧通法·提分快招】 1.拿到题目优先尝试分离参数，把问题转化为水平直线和函数曲线的位置关系。如果不等式整理之后含参部分是倾斜的动直线，并且直线恒过定点，就选择不完全分离参数的方法。 2.对构造出来的函数求导，完整分析函数单调性、极值点，把解集附近所有整数点对应的函数值全部计算出来。 3.根据图像圈定全部满足条件的整数解。把 “解集中的整数代入不等式成立，相邻不在解集的整数代入不等式不成立” 转换成不等式组。 4.重点核对不等号类型，严格不等号和非严格不等号会直接影响参数端点是否可取，做完之后回代检验端点。 1.（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数，关于的不等式有且只有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025-2026·河北秦皇岛·模拟预测）设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东·开学考试）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）若函数（其中），存在唯一整数，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型02 一点一曲：定点到曲线上动点距离最值 【技巧通法·提分快招】 已知一个定点，动点在曲线上，求两点距离最值，有两种处理路径。 方法一，代数构造法：写出距离的平方表达式，对直接求导，寻找函数的极值点。 方法二，几何条件法：距离取得最小值时，定点与动点连成的直线和曲线在动点处切线互相垂直，满足，利用垂直关系列方程求解切点横坐标。 无论哪种方法，求出驻点之后，如果题目给的是闭区间，必须把驻点函数值和区间端点函数值放在一起对比，选出最终最大或者最小距离。 1．（25-26高三上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 2.（25-26高三下·湖北·月考）已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C．2 D．3 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数在上有零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知点M在圆上，点N在曲线上，则线段的长度的最小值为______． 5．（2025-2026·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为________. 题型03 一直一曲：曲线上动点到定直线距离最值 【技巧通法·提分快招】 1.几何规律：如果曲线上某切点到定直线距离最小，那么曲线在该切点的切线和已知定直线互相平行，满足。 2.解方程得到切点横坐标，写出切点坐标，把切点代入点到直线距离公式，直接得到最小距离。 3.如果自变量限定在闭区间内，就算求出切点，也不能直接当作答案，要同时计算区间两个端点到定直线的距离，三者对比选出最值。 4.注意一种特殊情况：令导函数等于直线斜率之后方程无解，代表曲线不存在和已知直线平行的切线，此时距离的最值只能出现在区间端点。 1．（25-26高二下·江西景德镇·期末）点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·湖北武汉·期中）曲线上的点到直线的最短距离是（  ） A． B． C． D．0 3．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）曲线上的点到直线的最短距离为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·四川成都·期中）点为曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏扬州·期中）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知直线与函数的图象交于点，与直线交于点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·重庆江津·阶段检测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型04 两曲之间：两条曲线上动点距离最值 【技巧通法·提分快招】 动点在上，动点在上，求两点最小值。 ①第一步优先判断两条曲线有没有交点，如果图像存在交点，那么两点最小距离直接等于。 ②如果两条曲线没有交点，最小距离对应两条曲线互相平行的切线。分别求出两条曲线的切线，令切线斜率相等，解出两个切点，再计算这两条平行切线之间的距离，即为两曲线动点最小距离。 ③通用方法：写出距离平方，对双变量求导。高考真题当中主要考察平行切线这个模型。 1.（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（    ）． A．d的最大值为 B．d的最大值为 C．d的最小值为 D．d的最小值为 2.（2026·福建莆田·三模）已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点在曲线上，点在曲线上，设、两点间距离为，则的最小值为______． 4．（25-26高三下·河南周口·开学考试）记曲线关于直线的对称曲线为，则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为________． 5．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段检测）已知函数，圆C：，点P、Q分别在函数图像与圆C上，则的最小值为___. 6.（25-26高二下·上海奉贤·期末）已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是 . 7．（2026·广东佛山·一模）若分别是曲线与圆上的点，则的最小值为__________. 题型05 双竖直截距距离：竖直线截取两曲线的距离最值 【技巧通法·提分快招】 用一条竖直动直线，同时交两条不同曲线，得到上下两个交点。两个点横坐标完全一样，只有纵坐标不同，两点之间线段长度就是竖直距离。 1.写出两个交点坐标，，竖直距离表达式。 2.处理绝对值：分区间去掉绝对值符号，得到不带绝对值的函数。 3.对函数求导，分析单调性，求出极值点。同时对比区间端点函数值，得到竖直距离的最大或者最小值。 高考当中考察频率很高，经常以动竖线截取两条曲线求线段最小值的形式出题。 1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知垂直于轴的直线分别与曲线和相交于两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高二下·广东广州·期末）设直线与函数，的图象分别交于点，则达到最小时的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南周口·期中）已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知函数，，岩直线与和的图象分别交于点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高二下·上海·期中）若动直线与函数，的图象分别交于点，当两点距离最近时，的值为__________. 6．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知直线分别与函数，的图象交于两点，则当长度达到最小时，t的值为________． 题型06 水平截距距离：水平线截取两曲线的距离最值 【技巧通法·提分快招】 用一条水平动直线，同时截取两条曲线，得到左右两个交点。两个点纵坐标完全一样，横坐标不相同，两点线段长度就是水平距离。 1.分别从两条曲线方程当中，把横坐标反解出来，得到两个横坐标关于的表达式与。 2.写出水平距离。 3.根据绝对值内部正负划分区间，去掉绝对值符号，构造普通函数，对变量求导，研究单调性，对比极值点、端点，得到水平距离最值。 1．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）设已知函数，，在同一直角坐标系中，直线分别与函数和的图象相交于A点和B点，则A点与B点的坐标距离的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（25-26高二·江苏徐州·阶段检测）已知函数，的图象分别与直线交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·黑龙江鸡西·阶段检测）设直线与函数，的图像分别交于点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期中）已知直线分别与曲线和曲线交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高二下·广东深圳·期中）直线与曲线和的交点分别为P，Q，当m变化时，的最小值为____. 6．（25-26高二下·福建福州·期末）若直线分别与曲线，交于，两点，则线段长度的最小值为_____________． 题型07 双反函数型距离：互为反函数图像上两点距离 【技巧通法·提分快招】 原函数和反函数图像关于直线对称。设点在原函数图像上，点在反函数图像上。 如果原函数存在切线和对称轴平行，就可以使用二倍距离的结论。 解题步骤： 1.令原函数导数值等于，也就是，解方程求出切点横坐标。 2.计算这个切点到对称轴直线的距离。 3.两个图像上动点最小距离等于。 重要提醒：如果解方程无解，代表原函数不存在切线平行直线，这个二倍结论就不能直接套用。此时只能直接设两点坐标，构造距离平方函数，求导求解。 1．（25-26高三上·江苏苏州·期末）已知点，，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为________. 4．（2025-2026·河南开封·二模）已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时，________，最小值为________． 5．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线与函数，的图象分别交于A，B两点，则最小值为______，此时______． 题型08 切线相关距离 【技巧通法·提分快招】 本大类包含平行切线距离、切点弦两类高频考点。 1.两条互相平行的切线：两个切点位置导函数的函数值相等。先解方程求出切点，写出两条切线直线方程，再使用平行线距离公式计算两条切线之间距离。 2.切点弦题型：从曲线外部一点向曲线引两条切线，两个切点连成的直线叫做切点弦。很多题目当中切点弦是一条动直线，但是会恒经过某个定点。 定点到动切点弦直线距离最大值：依据几何性质，一个定点到一条动直线的距离，不会超过这个定点到动直线上面任意一点的线段长度。如果动直线恒过定点，那么已知定点到动直线距离最大值，就等于两点之间线段的长度。 1．（2026·山西·三模）已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 3．（多选）（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知函数f（x）= lnx-ax，直线 则下列说法正确的是（    ） A．若f（x）的极大值点为1，则a=1 B．若f（x）=-2在定义域上有唯一解，则a≤0 C．当a=2时，曲线y=f（x）恒在直线l的下方 D．若点 P 是曲线y=f（x）上任意一点，点Q 是直线l上任意一点.设点 P，Q间的距离为d，则当a=2时，d的最小值为 4．（2026·江苏盐城·模拟预测）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为__________. 5．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，的面积的取值范围是________. 6.（25-26高三上·全国·阶段检测）已知函数的图象与函数的图象关于原点对称，动直线与函数的图象分别交于点，函数的图象在处的切线与函数的图象在处的切线相交于点，则面积的最小值是___________． 题型09 曼哈顿距离导数综合 【技巧通法·提分快招】 曼哈顿距离公式，表达式里面带有绝对值符号，不能直接求导。 解题步骤： 1.将动点、定点坐标代入定义式，完整写出曼哈顿距离表达式。 2.根据绝对值内部代数式等于零划分分界点，分段讨论，去掉所有绝对值符号，每一段得到普通不含绝对值的函数。 3.针对每一段的函数分别求导，求解每一段定义域内部的极值。 4.将每一段的极值点函数值，以及分段分界点的函数值全部放在一起对比，选出全局最大或者最小值。 1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）曼哈顿距离（或出租车几何）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创的术语，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在平面上，点和点的曼哈顿距离为.若点为圆上一动点，为直线上一动点，设为两点的曼哈顿距离的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(多选）（25-26高二上·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，直线，则 C．若是圆上的一个动点，且，则 D．若为坐标原点，动点满足，则的轨迹与曲线围成的区域面积是 3．(多选）（25-26高二上·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，定义 为两点 的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（    ） A． B．则 C．O为坐标原点，动点R满足，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆 D．已知点，直线，则 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义两点，的“M距离”为.若动点P满足，则P点轨迹围成的图形面积为________；已知点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为________． 5．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）定义和两点间的曼哈顿距离为.已知点，P为抛物线上任意一点，为直线上任意一点. （1）当时，则点的坐标为______； （2）的最小值为______. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高二下·重庆江津·阶段检测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知曲线，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·贵州·期中）已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江西吉安·期中）函数图象上一点到直线的最短距离为（   ） A． B． C．1 D．. 5．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）曲线上的点到直线的最短距离为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知垂直于轴的直线分别与曲线和相交于两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．（25-26高二下·广东广州·期末）设直线与函数，的图象分别交于点，则达到最小时的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 9．（25-26高三上·河南漯河·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为.那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10.（25-26高三上·湖北·开学考试）已知定义在上的函数，若满足不等式的整数解的个数恰好为2个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·福建福州·期末）若直线分别与曲线，交于，两点，则线段长度的最小值为_____________． 12．（25-26高二下·山西运城·期中）已知函数，点A是的图象上任意一点，过点A且垂直于轴的直线交函数的图象于点，过点A且垂直于轴的直线交函数的图象于点，则的面积的最小值是_____________. 13．（25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________. 14．（2026·安徽·一模）已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为__________. 15．（25-26高二下·广东广州·期中）若实数、、、满足，则的最小值为__________ 16．（25-26高三上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）设点在曲线上，点在曲线上，若，则的取值范围是___________. 17．（2026·广东东莞·模拟预测）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____. 18．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点在曲线上，点在曲线上，设、两点间距离为，则的最小值为______． 若，则的取值范围是___________. 19．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线与函数，的图象分别交于A，B两点，则最小值为______，此时______． 20．（25-26高三下·浙江湖州·阶段检测）已知曲线方程，，，点为曲线右支上一点，且与不重合，直线，分别与直线交于，两点，则以，为直径的圆面积的最小值是________． 21．（2026·四川广安·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点的“曼哈顿距离”定义为．满足的动点的轨迹围成的图形面积为___________；已知点在直线上，点在函数的图象上，的最小值为___________． 创新能力提升 1．（25-26高二下·陕西安康·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知函数，，岩直线与和的图象分别交于点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东深圳·期中）直线与曲线和的交点分别为P，Q，当m变化时，的最小值为____. 5．（25-26高二上·浙江丽水·期末）已知曲线和，点分别在曲线上，记点Q的横坐标为，则的最小值是_______. 6．（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 7．（25-26高二上·吉林·期末）若，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_____. 8．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点 定义为“曼哈顿距离”.若，则点P 的轨迹所围成图形的面积为____；圆上一点与直线上一点的“曼哈顿距离”的最小值是________________ 9．（25-26高二上·安徽·阶段检测）“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：若是平面直角坐标系中的两点，则之间的曼哈顿距离为；若是空间直角坐标系中的两点，则之间的曼哈顿距离为． (1)在平面直角坐标系中，为坐标原点，是线段上的动点，求； (2)在空间直角坐标系中，为坐标原点，动点满足，求动点的轨迹围成的几何体的体积； (3)已知不同的三点都在椭圆上，轴，点满足，若直线与的交点在轴上，求的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优13 导数中的整数解及8类“距离”问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 导数背景下不等式整数解问题（★★★★★） 4 题型02 一点一曲：定点到曲线上动点距离最值（★★★★） 9 题型03 一直一曲：曲线上动点到定直线距离最值（★★★★★） 12 题型04 两曲之间：两条曲线上动点距离最值（★★★★★） 15 题型05 竖直截距距离：竖直线截取两曲线的距离最值（★★★★） 20 题型06 截距距离：水平线截取两曲线的距离最值（★★★★） 24 题型07 反函数型距离：互为反函数图像上两点距离（★★★★） 27 题型08 切线相关距离（★★★★） 31 题型09 曼哈顿距离导数综合（★★★★） 38 03 实战检测·分层突破验成效 43 重难知识巩固 43 创新能力提升 57 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 导数型不等式整数解问题 1.整数解问题 导数背景下不等式整数解个数问题，解题思路为数形结合。我们需要把不等式问题转化为两个函数图像的位置关系，找出所有满足题干条件的整数自变量，再利用解集中整数与相邻不满足条件的整数建立不等式组，以此求解参数的取值范围。 （1）常见变形转化方法： ①完全分离参数 将不等式变形为一侧只含有参数，另一侧为关于的函数。例如等价于。此时问题转化为水平直线与曲线的位置关系，统计出满足条件的整数，再根据临界位置列出不等式。 ②不完全分离参数 当参数存在于一次式当中，很难完全拆分出来时使用。典型形式为，不等式一侧为曲线，另一侧是恒过定点的动直线。我们可以通过旋转这条动直线，观察图像，锁定整数解对应的临界位置。 （2）解题步骤： ①对题干给出的不等式做等价变形，合理构造函数；对构造出来的函数求导，完整分析函数的定义域、单调性、极值、特殊整数点对应的函数取值。 ②结合函数性质画出草图，从图像上甄别出全部满足不等式条件的整数解。 ③抓住临界条件：假设满足条件的整数解为，那么所有解集中的整数代入原不等式必须成立；而和这些整数紧紧相邻、不在解集内的整数代入原不等式必须不成立。依靠这两组条件列出对应的不等式组，求解参数范围。 易错提醒：端点能否取到，一定要看图像，严格区分 “” 和 “”；区分正整数解、非负整数解、无整数解、恰有个整数解。 （3）常见易错点 ①处理对数、分式类型函数，第一步优先写出函数定义域，很多错误来自忽略定义域对整数的限制。 ②不完全分离参数得到的动直线一般带有定点，做题时要关注这个定点是否落在函数定义域之内。 ③“无整数解” 题型有双重要求：第一，原不等式本身要有解，解集不能是空集；第二，所有的整数自变量全部都不在不等式的解集当中，两个条件缺一不可。 知识点02 导数背景下几类距离 1.欧氏距离基础公式 已知两点，，两点之间欧氏距离： 求的最值，等价于求距离的平方的最值。求出平方的最值之后，再做开根号处理，以此简化计算。 （1）定点到曲线上动点，一点一曲模型 设定点，动点在曲线上。 构造新函数，通过求导找到函数极值点，进一步得到距离的最值。 几何重要结论：当取得最小值的时候，线段与曲线在点处的切线互相垂直。也就是连线斜率与切线斜率乘积等于，。这个条件可以用来检验或者直接求解切点。 （2）曲线上动点到定直线，一直一曲模型 已知定直线，曲线上动点，根据点到直线距离公式： 分母是固定常数，所以距离取得最值等价于取得对应最值。 几何重要结论：如果曲线上存在切点使得距离最小，那么曲线在该切点处的切线和已知定直线互相平行，满足。 （3）两条曲线之间动点距离，两曲模型 动点在曲线上，动点在曲线上，求的最小值。 ①如果两条曲线存在公共交点，那么两点最小距离直接为。 ②如果两条曲线没有交点，最小距离出现在两条曲线互相平行的两条切线上。求出两条平行切线，两条平行线之间的距离，就是两条曲线上动点的最小距离。 （4）竖直距离 用一条竖直直线同时截取两条曲线，得到交点与。竖直距离就是同一个横坐标之下两个点纵坐标差值的绝对值：。构造函数，去掉绝对值之后借助导数求解函数最值。 （5）水平距离 用一条水平直线同时截取两条曲线，得到交点与。水平距离就是同一个纵坐标之下两个点横坐标差值的绝对值：。需要从曲线方程当中反解出横坐标，构造关于的函数，利用导数求最值。 （6）反函数距离性质 函数和它的反函数，两个函数图像关于直线轴对称。 取点在上，点在上。若原函数存在切线与直线平行，则的最小值等于曲线上的点到直线最小距离的2倍。实际做题时，先求切点到直线的最小距离，再乘以就得到两点最小距离。 注意：如果原函数不存在和平行的切线，这个二倍结论不能直接使用，必须直接构造距离平方函数求解。 （7）切线相关距离 1.两条互相平行的切线：两个切点处导数值相等，先求出两条切线的直线方程，再使用平行线之间距离公式计算距离。 2.切点弦：从曲线外部某一个定点向曲线作两条切线，两个切点连成的直线叫做切点弦。很多题型当中切点弦直线会恒过某个定点。定点到动切点弦直线距离的最大值，等于这个定点到动直线所过定点之间线段的长度。几何原理：点到一条动直线的距离，不会超过该点到直线上任意一点的线段长度。 知识点03 曼哈顿距离 平面内两点的直线距离公式：若，则这两点之间的直线距离为，我们也称直线距离为欧几里得距离，或简称欧氏距离。但是，在有些实际问题中，欧氏距离并不适用，比如在纽约的曼哈顿地区，街道布局横平竖直，如果我们从如图所示的点出发，沿着街道行至目的点，则我们走过的路程长度为，我们称这样的距离为两点的折线距离，也称为曼哈顿距离（或距离，出租车距离等） 结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则 结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 导数背景下不等式整数解问题 【技巧通法·提分快招】 1.拿到题目优先尝试分离参数，把问题转化为水平直线和函数曲线的位置关系。如果不等式整理之后含参部分是倾斜的动直线，并且直线恒过定点，就选择不完全分离参数的方法。 2.对构造出来的函数求导，完整分析函数单调性、极值点，把解集附近所有整数点对应的函数值全部计算出来。 3.根据图像圈定全部满足条件的整数解。把 “解集中的整数代入不等式成立，相邻不在解集的整数代入不等式不成立” 转换成不等式组。 4.重点核对不等号类型，严格不等号和非严格不等号会直接影响参数端点是否可取，做完之后回代检验端点。 1.（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数，关于的不等式有且只有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导判断函数的单调性,再计算正整数点的函数值,满足有且只有两个正整数解，根据正整数解的个数推导a的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 求导：， 所以当时，，故，函数在上单调递增， 当时，，故，函数在上单调递减， 所以在处取得最大值， . 因为时单调递减，所以所有正整数点的函数值满足： ， 代入计算得： ，，， 因为有且只有两个正整数解,结合时单调递减， 可知这两个正整数解只能是和，因此需要满足： ， 所以. 2．（2025-2026·河北秦皇岛·模拟预测）设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先构造新函数，分析它的单调性，然后画出图象，要求的最大值，即求直线斜率的最大值. 【详解】， 令，则， 当时，，所以在上是单调减函数； 当时，，所以在上是单调增函数. 由可得， 根据题意，存在2个整数解使得， 则函数与直线的图象有2个横坐标为整数的交点，直线必过点， 函数在处的导数，则切线方程为且经过点， 即此时直线与相切，此时，又因为， 分析图象可知，另一个交点只能在处，且此时直线斜率能取最大， 即可以取最大值，，当直线过点时，则，解得. 故选：C. 3．（25-26高三上·山东·开学考试）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得只有1个整数解，利用导数分析函数的单调性，令，则的图象是一条过定点的直线，画出函数图象，结合图象分析即可求解. 【详解】因为，，所以， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，，且， 令，则的图象是一条过定点的直线， 当时，不符合题意； 则，如图，当的图象经过时， 直线的斜率分别为， 不等式只有1个整数解，    由图可知. 故选：. 4．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）若函数（其中），存在唯一整数，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为，令，，判断函数的奇偶性，利用导数判断单调性，作出函数与的大致图象，结合图象可得答案. 【详解】，即，令，， 由，， 所以函数是偶函数， 当时，，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 且，，，，， 如图，作出函数与的大致图象，又，， 且直线，当时，， 结合图象可得，得. 故选：B. 5．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先对不等式进行变形，构造函数，通过分析函数的单调性，结合不等式有且仅有3个整数解可得实数的取值范围. 【详解】由已知有意义，所以， 将不等式化简，，即，整理得， 若时，则，且，令， 所以，令，则， 所以，所以在单调递增，所以，即， 所以在单调递减，当，， 此时不等式有无穷多个整数解 ，不符合题意； 当，则，且，令， 所以，令，则， 所以，所以在单调递增，所以，即， 所以在单调递增， 因为，，，， 且不等式有且仅有3个整数解， 结合单调性可知这三个整数解为1,2,3，所以， 所以实数的取值范围为. 题型02 一点一曲：定点到曲线上动点距离最值 【技巧通法·提分快招】 已知一个定点，动点在曲线上，求两点距离最值，有两种处理路径。 方法一，代数构造法：写出距离的平方表达式，对直接求导，寻找函数的极值点。 方法二，几何条件法：距离取得最小值时，定点与动点连成的直线和曲线在动点处切线互相垂直，满足，利用垂直关系列方程求解切点横坐标。 无论哪种方法，求出驻点之后，如果题目给的是闭区间，必须把驻点函数值和区间端点函数值放在一起对比，选出最终最大或者最小距离。 1．（25-26高三上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，将问题转化为曲线在处的切线垂直于，求出点坐标，进而求出. 【详解】依题意，当曲线在处的切线垂直于时，取得最小值， 设，求导得，则， 整理得，而函数在上单调递增， 又，因此，点，所以. 故选：D 2.（25-26高三下·湖北·月考）已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设出点的坐标，利用导数的几何意义求出切线的方程，进而抽象出直线的方程，即可推理作答. 【详解】抛物线的准线为，设点，对函数求导得， 于是直线的方程为，即，亦即， 同理，直线的方程为，而点为直线、的公共点，则， 因此点，的坐标都满足方程，即直线的方程为，从而直线恒过定点， 所以点到直线的距离的最大值. 故选：A 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数在上有零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：将看作点到原点的距离的平方，根据点到直线的距离公式，确定，再通过导数判断函数的单调性，求出最小值； 法二：利用柯西不等式得到，后续同法一； 法三：利用向量数量积的性质得到，后续同法一； 【详解】解法1：设在上的零点为t，则， 因此点在直线上． 因为表示点到原点的距离的平方， 所以，即． 令，则在上单调递增， 因此； 解法2：设在上的零点为t， 则，当且仅当时，等号成立． 因此，下同解法1． 解法3：设在上的零点为t，则，设， 则，两边平方得，当且仅当时，等号成立．因此，下同解法1． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知点M在圆上，点N在曲线上，则线段的长度的最小值为______． 【答案】/ 【分析】由题可得，圆的半径．设，令，首先求得的最小值，然后求解线段的长度的最小值即可. 【详解】由题可得，圆的半径． 点N在曲线上，可设， 令，则，求导得． 令，易得函数在上单调递增，且， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以．因为， 所以线段的长度的最小值为． 5．（2025-2026·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为________. 【答案】 【分析】因为点在圆外，与两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点坐标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解. 【详解】设抛物线上的点坐标为， 圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离. 令，则，对其求最小值， 根据二次函数性质，当时，最小为. 则与两点间最短距离为.    故答案为：. 题型03 一直一曲：曲线上动点到定直线距离最值 【技巧通法·提分快招】 1.几何规律：如果曲线上某切点到定直线距离最小，那么曲线在该切点的切线和已知定直线互相平行，满足。 2.解方程得到切点横坐标，写出切点坐标，把切点代入点到直线距离公式，直接得到最小距离。 3.如果自变量限定在闭区间内，就算求出切点，也不能直接当作答案，要同时计算区间两个端点到定直线的距离，三者对比选出最值。 4.注意一种特殊情况：令导函数等于直线斜率之后方程无解，代表曲线不存在和已知直线平行的切线，此时距离的最值只能出现在区间端点。 1．（25-26高二下·江西景德镇·期末）点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，通过求导确定切点坐标后利用点到直线距离公式计算最小值. 【详解】将直线整理为一般式：，其斜率为1， 又，曲线在点处的切线斜率为， 若该切线与直线平行，则，即，解得， ，即切点的坐标为， 到直线的距离 ， 故曲线上一个动点P到直线的距离的最小值是. 2.（25-26高二下·湖北武汉·期中）曲线上的点到直线的最短距离是（  ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】令求得，由导数的几何意义知在点的切线斜率为，然后利用点到线距离公式求出最小距离. 【详解】直线的斜率为， 所以，令得， 将代入可得，则在点的切线斜率为， 所以切点到直线的距离为：. 3．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）曲线上的点到直线的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】曲线上的点到直线的最短距离为曲线上平行于直线的切线与该直线间的距离， 即相应切点到直线的距离. 由，得，所以直线的斜率为. 由，得. 令，可得， 又，所以曲线上平行于直线的切线相应的切点为. 因为点到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最短距离为. 4．（25-26高二下·四川成都·期中）点为曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】当过点的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 求导可得，设， 则，解得，代入可得， 点到直线的距离为， 所以点到直线距离的最小值为. 5．（25-26高二下·江苏扬州·期中）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值. 【详解】令，即，解得，代入曲线方程求得， 故切点为，斜率为1的切线方程为， 两平行直线和的距离为， 所以的最小值为 6．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知直线与函数的图象交于点，与直线交于点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设直线与直线垂直，问题化为求出平行于的直线与相切情况下的切点，只需与切点重合有最小，再由点在直线上求参数值. 【详解】由，可化为，显然其与直线垂直，示意图如下： 由图，当平行于的直线与相切，且恰好为切点时，最小， 由，令，则，即切点为， 所以过切点，则. 7．（25-26高二下·重庆江津·阶段检测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 求导得，直线斜率为， 当直线与曲线的切线平行时，最小，此时，解得， 故切点为， 则的最小值为切点到直线的距离， 即． 题型04 两曲之间：两条曲线上动点距离最值 【技巧通法·提分快招】 动点在上，动点在上，求两点最小值。 ①第一步优先判断两条曲线有没有交点，如果图像存在交点，那么两点最小距离直接等于。 ②如果两条曲线没有交点，最小距离对应两条曲线互相平行的切线。分别求出两条曲线的切线，令切线斜率相等，解出两个切点，再计算这两条平行切线之间的距离，即为两曲线动点最小距离。 ③通用方法：写出距离平方，对双变量求导。高考真题当中主要考察平行切线这个模型。 1.（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数，直线，点P是曲线上任意一点，点Q是直线l上任意一点．设点P，Q间的距离为d，则下列说法正确的是（    ）． A．d的最大值为 B．d的最大值为 C．d的最小值为 D．d的最小值为 【答案】D 【分析】首先判断直线、的位置关系，再对函数求导，根据题意知与直线平行且与相切的直线，其对应切点到直线的距离，即为的最小值，即可求. 【详解】由直线l的方程，得． 令，， 则． 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的最大值为， 所以恒成立，所以曲线与直线l无交点，且曲线在直线l的下方． 由题设且，设直线与直线平行且与相切， 则直线与的切点到直线的距离，为的最小值，且无最大值， 又， 因为，，求导，得． 解，得， 因为，所以． 此时，点P到直线l的距离为， 所以d的最小值为． 故选：D． 2.（2026·福建莆田·三模）已知，点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由反函数的定义，将的最小值转化为为点Р到直线距离的最小值的两倍，再由点到直线的距离公式列出方程，构造函数，求导即可得到其最小值，从而得到结果. 【详解】因为函数与互为反函数， 所以与的图像关于直线对称， 所以的最小值为点Р到直线距离的最小值的两倍. 设P（，），则. 设，. 由得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，则的最小值是. 故选:D 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点在曲线上，点在曲线上，设、两点间距离为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】曲线是以为圆心，1为半径的圆，当直线与过点的切线垂直时最小，此时也最小，设， 由，得可得答案. 【详解】由 得， 由得， 曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当直线与过点的切线垂直时最小，此时也最小， 设，过点的切线的斜率为，， 所以，得， 令，， 所以是单调递增函数， 又，所以存在唯一解， 即，， 所以. 4．（25-26高三下·河南周口·开学考试）记曲线关于直线的对称曲线为，则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为________． 【答案】/ 【分析】先分析曲线与直线是否存在交点，若存在交点则距离的最小值为，若不存在交点，则问题转化为与直线平行的切线所对应的切点到直线的距离. 【详解】因为，所以与没有公共点， 则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为上任意一点与上任意一点之间距离最小值的2倍． 设为上的一点， 因，则过点的切线斜率为， 令，则， 故是递增函数，且当时，， 则存在唯一解，此时过点的切线与平行， 所以上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为点到直线的距离， 即， 所以上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为． 故答案为：. 5．（25-26高三上·湖南衡阳·阶段检测）已知函数，圆C：，点P、Q分别在函数图像与圆C上，则的最小值为___. 【答案】/ 【分析】由题意，将问题转化为求点P与圆心距离的最小值，减去半径即得答案. 【详解】由圆C：得圆心，半径，    设，则， 令，则， 由于， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以，所以. 故答案为：. 6.（25-26高二下·上海奉贤·期末）已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是 . 【答案】 【分析】依题意可得曲线表示圆心为，半径的圆，由距离公式表示出，令，利用导数说明函数的最小值，即可求出的最小值，最后由计算可得. 【详解】曲线表示圆心为，半径的圆， 则， 令，则， 令，则， 所以单调递增，又， 所以当时，即，即在上单调递减， 当时，即，即在上单调递增， 所以在处取得极小值即最小值，即， 所以， 所以. 故答案为： 7．（2026·广东佛山·一模）若分别是曲线与圆上的点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据题意转化为求曲线上一点到圆心距离的最小值，找出取得最小值时候满足的条件，结合导数计算法则列式求解答案即可. 【详解】设圆圆心为，如下图所示， 由题意可知，取得最小值时，取得最小值， 当垂直于曲线在点处的切线时，最小， 设，则对求导得， 所以，即， 由于时满足上式，且在单调递增， 所以有唯一解， 所以，此时，所以 故答案为： 题型05 双竖直截距距离：竖直线截取两曲线的距离最值 【技巧通法·提分快招】 用一条竖直动直线，同时交两条不同曲线，得到上下两个交点。两个点横坐标完全一样，只有纵坐标不同，两点之间线段长度就是竖直距离。 1.写出两个交点坐标，，竖直距离表达式。 2.处理绝对值：分区间去掉绝对值符号，得到不带绝对值的函数。 3.对函数求导，分析单调性，求出极值点。同时对比区间端点函数值，得到竖直距离的最大或者最小值。 高考当中考察频率很高，经常以动竖线截取两条曲线求线段最小值的形式出题。 1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知垂直于轴的直线分别与曲线和相交于两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由条件求出点的坐标，进而求得的表达式，再利用导数求其最小值即可. 【详解】令直线分别与曲线和曲线交于两点， 则点，点，，令函数， 求导得，函数在上都为增函数， 则函数在为增函数，而， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 2．（25-26高二下·广东广州·期末）设直线与函数，的图象分别交于点，则达到最小时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标及，再构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】依题意，，，因此， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增， 则当时，，此时， 所以当时，取得最小值. 3．（25-26高二下·河南周口·期中）已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令函数，利用导数求出函数的最小值及其对应的值，即可得出结论. 【详解】由题意可得， 令函数，则． 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，即的最小值为，此时． 故选：A. 4．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知函数，，岩直线与和的图象分别交于点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】我们知道，所以，不妨构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出的最小值. 【详解】由题，不妨令， 则，令，解得，因为时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以当时，最小为1. 故选：A. 5．（25-26高二下·上海·期中）若动直线与函数，的图象分别交于点，当两点距离最近时，的值为__________. 【答案】/0.5 【分析】根据题意可得，结合图象推得，利用函数求导判断的单调性，求出其极小值点即得. 【详解】因函数的定义域为，依题意，， 由图知，当取定时，的函数值恒大于的函数值， 因，则， 设，则， 则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时取得最小值， 即当两点距离最近时，的值为 . 6．（25-26高二下·天津·阶段检测）已知直线分别与函数，的图象交于两点，则当长度达到最小时，t的值为________． 【答案】/0.5 【分析】求出直线与函数，的交点，则为纵坐标之差的绝对值，计算，求导即可求出最小值. 【详解】，，则，， 令，则， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值. 则，，且当达到最小值时，. 题型06 水平截距距离：水平线截取两曲线的距离最值 【技巧通法·提分快招】 用一条水平动直线，同时截取两条曲线，得到左右两个交点。两个点纵坐标完全一样，横坐标不相同，两点线段长度就是水平距离。 1.分别从两条曲线方程当中，把横坐标反解出来，得到两个横坐标关于的表达式与。 2.写出水平距离。 3.根据绝对值内部正负划分区间，去掉绝对值符号，构造普通函数，对变量求导，研究单调性，对比极值点、端点，得到水平距离最值。 1．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）设已知函数，，在同一直角坐标系中，直线分别与函数和的图象相交于A点和B点，则A点与B点的坐标距离的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意，令，求出，令，求出，可得，构造函数，利用导数求解最小值. 【详解】令得A点的横坐标， 令得B点的横坐标，由图可知， 所以，令， 则，令，则，且， 所以当，，，， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以，即A到B的距离的最小值为． 故选：C． 2．（25-26高二·江苏徐州·阶段检测）已知函数，的图象分别与直线交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知两点的纵坐标均为，始终在的右侧，可得，，，其中，从而可将用表示，再构造函数并确定其单调性，即可求出的最小值． 【详解】由题意可设，，，其中， 故， 设，则， 因为在上单调递增，而在上单调递减， 故在上单调递增，又，所以在上仅有一解. 由解得， 因为当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以当时,取得最小值． 故选：A． 3．（25-26高二下·黑龙江鸡西·阶段检测）设直线与函数，的图像分别交于点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的最小值即可得． 【详解】设，， 则， 当时，，递减，时，，递增， 所以． 故选：D． 4．（25-26高二下·重庆·期中）已知直线分别与曲线和曲线交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求出点的坐标，由此可得的表达式，再利用导数求其最小值可得结论. 【详解】因为直线分别与曲线和曲线交于两点， 所以点的坐标为，点的坐标为， 所以， 设，则， 因为函数在上都为增函数， 所以函数在为增函数，又， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A. 5．（25-26高二下·广东深圳·期中）直线与曲线和的交点分别为P，Q，当m变化时，的最小值为____. 【答案】 【分析】根据反函数的性质，可将问题转化成曲线的点到的距离，根据点到直线的距离公式，利用导数求解最值即可求解. 【详解】由于和互为反函数，所以和的图象关于对称，与垂直，所以的最小值即为曲线的点到的距离的2倍，设的一点为,则点到直线的距离为，由，故当单调递增，当单调递减，故当时，取极小值也是最小值，最小值为，故此时，故的最小值为， 故答案： 6．（25-26高二下·福建福州·期末）若直线分别与曲线，交于，两点，则线段长度的最小值为_____________． 【答案】，其中. 【分析】设，，则，再通过导函数分析其单调性即可求解最小值． 【详解】设，，则，故，，，. 故， 设， 则在区间上为增函数，且当时，，且， 故在区间上存在使得，即，故 则当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故有最小值，其中 故答案为：，其中. 题型07 双反函数型距离：互为反函数图像上两点距离 【技巧通法·提分快招】 原函数和反函数图像关于直线对称。设点在原函数图像上，点在反函数图像上。 如果原函数存在切线和对称轴平行，就可以使用二倍距离的结论。 解题步骤： 1.令原函数导数值等于，也就是，解方程求出切点横坐标。 2.计算这个切点到对称轴直线的距离。 3.两个图像上动点最小距离等于。 重要提醒：如果解方程无解，代表原函数不存在切线平行直线，这个二倍结论就不能直接套用。此时只能直接设两点坐标，构造距离平方函数，求导求解。 1．（25-26高三上·江苏苏州·期末）已知点，，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】依题意求出的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导数求出最值即可求得结果. 【详解】由函数可得，即， 所以的反函数为， 由点在曲线上，可知点在其反函数上， 所以 相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 的最小值相当于点到直线的距离最小值的2倍， 点到直线的距离，由于恒在下方， 所以， ，求导得：，令 得，又在上单调递增， 所以可得对恒成立，对恒成立， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 所以. 故选：D 2．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据距离新定义，将问题化为求上的点到曲线上点的距离最小时对应参数值，即可得. 【详解】由函数得，即， 的反函数为. 由点在曲线上，知点在其反函数上， 相当于上的点到曲线上点的距离，即， 利用反函数性质可得与关于对称， 当与垂直时，取得最小值为2， 因此A，两点到的距离都为1. 过点作切线平行于直线，斜率为1， 由，得，可得， 所以，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上， 3．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为________. 【答案】 【分析】利用反函数图像关于对称的性质，将两点间最小距离转化为函数图像到的最小距离的两倍. 【详解】由题可得，的反函数为，互为反函数的两函数图像关于对称， 所以P，Q两点最小距离等于其中一个函数图像到直线最小距离的两倍. 设上与平行的切线的切点为，，所以, 则切点为， 4．（2025-2026·河南开封·二模）已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时，________，最小值为________． 【答案】 【分析】根据两函数的图象关于直线对称，且与垂直，转化为求曲线上一点到直线距离的最小值，利用点到直线的距离及导数即可得解. 【详解】由可得，，即， 所以函数，互为反函数，图象关于直线对称， 因直线互相垂直， 所以问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍， 因为， 令， 则，当时，， 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，有最小值3， 此时， 故答案为： 5．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线与函数，的图象分别交于A，B两点，则最小值为______，此时______． 【答案】 0 【分析】根据互为反函数的两函数图象关于直线对称，且直线，互相垂直，转化为求曲线上一点到直线距离的最小值，利用点到直线的距离及导数即可得解. 【详解】由可得，，即其反函数为， 可知函数，互为反函数，图象关于直线对称， 因为直线，互相垂直， 问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍， 可得，且， 构建，，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，当且仅当时，等号成立， 所以最小值为，此时． 故答案为：；0. 题型08 切线相关距离 【技巧通法·提分快招】 本大类包含平行切线距离、切点弦两类高频考点。 1.两条互相平行的切线：两个切点位置导函数的函数值相等。先解方程求出切点，写出两条切线直线方程，再使用平行线距离公式计算两条切线之间距离。 2.切点弦题型：从曲线外部一点向曲线引两条切线，两个切点连成的直线叫做切点弦。很多题目当中切点弦是一条动直线，但是会恒经过某个定点。 定点到动切点弦直线距离最大值：依据几何性质，一个定点到一条动直线的距离，不会超过这个定点到动直线上面任意一点的线段长度。如果动直线恒过定点，那么已知定点到动直线距离最大值，就等于两点之间线段的长度。 1．（2026·山西·三模）已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用导数的几何意义求出抛物线在点A、B的切线方程，进而求得，则点的轨迹为一条直线，确定线段的最小值为点到直线的距离，结合点线距公式计算即可求解. 【详解】设，， 由，得（不妨设），则， 所以抛物线在点A的切线斜率为， 得抛物线在点A的切线方程为，即. 同理可得抛物线在点处的切线方程为， ，解得，即， 又因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 将点代入直线的方程得：①， 设点坐标为，则①式可整理为：，即， 所以点的轨迹为一条直线． 所以线段的最小值为点到直线的距离， 即为． 故选：A 2．（2026·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】设，且，联立方程组，根据，求得，得到，同理可得，结合和，两种情况求得原点到直线距离，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设， 由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设， 联立方程，整理得， 由直线与抛物线相切可得，解得，所以， 又因为在直线上，所以有，同理可得， 若，则，即的直线方程为，则到的距离为1； 若，则，两式联立消，可得，所以， 所以，整理得， 所以到直线距离， 综上可得，即原点到直线距离的最大值为. 故选：D. 3．（多选）（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知函数f（x）= lnx-ax，直线 则下列说法正确的是（    ） A．若f（x）的极大值点为1，则a=1 B．若f（x）=-2在定义域上有唯一解，则a≤0 C．当a=2时，曲线y=f（x）恒在直线l的下方 D．若点 P 是曲线y=f（x）上任意一点，点Q 是直线l上任意一点.设点 P，Q间的距离为d，则当a=2时，d的最小值为 【答案】ACD 【详解】，的定义域为 对于A，的极大值点为1，，即，解得 当时， 当时，，单调递增；当时，，单调递减 是的极大值点，故A选项正确. 对于B，由可得，可求得 设，则 令，则，解得 当时，，单调递增；当时，，单调递减 在处取得极大值，也是最大值， 当时，；当时， 当在定义域上有唯一解时，或，故选项B错误. 对于C，当时， 设 则 令,解得 当时，，单调递增；当时，，单调递减 当在处取得极大值，也是最大值， ，即 曲线恒在直线l的下方，故选项C正确. 对于D，当时， ，则 直线 的斜率为 令，即，解得 当时，，则曲线在点处的切线与直线l平行 直线 ，直线 ， 则点到直线l的距离 的最小值为，故选项D正确. 4．（2026·江苏盐城·模拟预测）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离. 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得， 则两条切线的斜率为，对应的两个切点为， 切线方程为和，即和， 切线过定点，切线过定点， 所以两平行线之间距离的最大值为. 故答案为：. 5．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，，的面积的取值范围是________. 【答案】 【解析】因为，可确定分别在分段函数的两段上，设，且，通过导数可求得切线斜率；根据相互垂直可得到；通过的方程可求得两点坐标，从而得到；联立求得点横坐标，从而将面积表示为，根据可求得面积的取值范围. 【详解】由题意可知，，且明显地，分别在分段函数的两段上 设，且     ，    ，即： 方程为：；方程为： ，     联立可得点横坐标为： 且在上单调递减     ，即的面积的取值范围为： 本题正确结果： 6.（25-26高三上·全国·阶段检测）已知函数的图象与函数的图象关于原点对称，动直线与函数的图象分别交于点，函数的图象在处的切线与函数的图象在处的切线相交于点，则面积的最小值是___________． 【答案】2 【分析】先利用两个函数对称求出解析式，再利用导数求函数的切线方程，利用基本不等式可求答案. 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称， 所以，所以， ， 所以直线：，即； 直线：即. 联立，得， 所以点到 的距离为， 设的面积为，则， 令，则， ，当且仅当，即时，取到等号. 故答案为：2 题型09 曼哈顿距离导数综合 【技巧通法·提分快招】 曼哈顿距离公式，表达式里面带有绝对值符号，不能直接求导。 解题步骤： 1.将动点、定点坐标代入定义式，完整写出曼哈顿距离表达式。 2.根据绝对值内部代数式等于零划分分界点，分段讨论，去掉所有绝对值符号，每一段得到普通不含绝对值的函数。 3.针对每一段的函数分别求导，求解每一段定义域内部的极值。 4.将每一段的极值点函数值，以及分段分界点的函数值全部放在一起对比，选出全局最大或者最小值。 1．（25-26高二下·福建龙岩·期中）曼哈顿距离（或出租车几何）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创的术语，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在平面上，点和点的曼哈顿距离为.若点为圆上一动点，为直线上一动点，设为两点的曼哈顿距离的最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线l恒过定点，画出图形，对分类讨论并借助导数求出其取值范围即可作答. 【详解】直线恒过定点， 由点到直线的距离为， 得， 故直线与圆相离. 当直线的斜率满足时，作出一条轴截距为负数的直线平行于直线， 如图所示. 要使得最小，应位于切点处，作轴交直线于点， 过作直线于点， 当位于点的左方时，， 当位于点的右方时，同理也有，于是有. 设直线与圆相切，则有， 即切线的横截距为，而直线的横截距为， ， 在上单调递减，. 综上，，故B正确. 2．(多选）（25-26高二上·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，直线，则 C．若是圆上的一个动点，且，则 D．若为坐标原点，动点满足，则的轨迹与曲线围成的区域面积是 【答案】AD 【分析】根据定义可判断项；取特殊点，结合定义可判断项；根据定义可确定点的轨迹，再结合曲线方程画出图象，求对应面积即可. 【详解】根据定义知，故正确； 设直线上的点，则根据定义知， 因为，所以，故错误； 在圆上取点，则根据定义知： ，故错误； 设，则，所以点的轨迹是以原点为中心，以为边长的正方形. 曲线，根据方程易知曲线图象既关于轴对称，又关于轴对称，也关于原点成中心对称， 当且时，化简得，即，表示以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分. 结合对称性质可作出图象，如图所示： 则所求为阴影部分，其面积为，故正确. 故选：. 3．(多选）（25-26高二上·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系中，定义 为两点 的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（    ） A． B．则 C．O为坐标原点，动点R满足，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆 D．已知点，直线，则 【答案】ABD 【分析】易知A正确；对于B，根据定义直接计算即可判断；对于C，由定义得，即等号至少有一个成立，可得动点R的轨迹为正方形即可判断；对于D，设， 则，接着分情况讨论得到最值即可． 【详解】由题知，故A正确； 对于B，， 故B正确； 对于C，设，且，所以， 则等号至少有一个成立，∴动点R的轨迹为如下正方形，故C错误；    对于D， 设， 则， 当，即时，，则此时最小值为 当，即或时，，无最小值， 综上，故D正确． 故选：ABD． 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义两点，的“M距离”为.若动点P满足，则P点轨迹围成的图形面积为________；已知点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为________． 【答案】 18 【分析】根据“M距离”可得P点轨迹方程为，由对称性可取面积，同理可得，根据结合导数可求. 【详解】设，因为，故即， 因为仍满足方程， 故P点轨迹围成的图形关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称， 故P点轨迹围成的图形如图所示，该图形为正方形且对角线的长为 故轨迹围成的图形的面积为. 设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 故恒成立，故，故 设，，则， 设，则， 故， 由的性质可得，当且仅当时等号成立， 故. 5．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）定义和两点间的曼哈顿距离为.已知点，P为抛物线上任意一点，为直线上任意一点. （1）当时，则点的坐标为______； （2）的最小值为______. 【答案】 ； . 【分析】（1）由曼哈顿距离定义及直线方程分段求解； （2）由曼哈顿距离即二次函数最值求解. 【详解】（1）设，则 若，则，解得（舍）； 若，则，解得， 代入直线，得； 若，则，解得（舍） 综上，点的坐标为. （2）设，， 则，如图， 因为直线与抛物线无交点， 所以，当且仅当三者纵坐标相等时取等号， 所以，所以， 所以 所以的最小值为. 故答案为：（1）；（2）. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高二下·重庆江津·阶段检测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 求导得，直线斜率为， 当直线与曲线的切线平行时，最小，此时，解得， 故切点为， 则的最小值为切点到直线的距离， 即． 2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知曲线，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把看作抛物线上一点到直线距离的5倍，利用数形结合思想结合导数的几何意义即可求解. 【详解】由题意的几何意义为抛物线上一点到直线距离的5倍， 如图，把直线平移至与抛物线相切时，切点即为到直线距离最小的点， 设切点，，令，得，把代入抛物线得， 即切点，此时， 所以的最小值为. 故选：C 3．（25-26高二下·贵州·期中）已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两个函数作差，得到函数，再求出函数的最小值即可求出结果. 【详解】设， 则， 当时，，当，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以的最小值为， 故选：D. 4．（25-26高二下·江西吉安·期中）函数图象上一点到直线的最短距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为，利用导数的几何意义，求得切点坐标为，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】设与直线平行且与相切的直线的切点坐标为， ，则，解得，即切点坐标为， 点到直线的距离， 故函数图象上一点到直线的最短距离为. 5．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）曲线上的点到直线的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】曲线上的点到直线的最短距离为曲线上平行于直线的切线与该直线间的距离， 即相应切点到直线的距离. 由，得，所以直线的斜率为. 由，得. 令，可得， 又，所以曲线上平行于直线的切线相应的切点为. 因为点到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最短距离为. 6．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知垂直于轴的直线分别与曲线和相交于两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由条件求出点的坐标，进而求得的表达式，再利用导数求其最小值即可. 【详解】令直线分别与曲线和曲线交于两点， 则点，点，，令函数， 求导得，函数在上都为增函数， 则函数在为增函数，而， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 7．（25-26高二下·广东广州·期末）设直线与函数，的图象分别交于点，则达到最小时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标及，再构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】依题意，，，因此， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增， 则当时，，此时， 所以当时，取得最小值. 8．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知直线是曲线的切线，则切点的横坐标为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再设出切点为，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】由，则， 设直线与曲线相切的切点为， 则根据题意可知且，解得，故B正确. 故选：B. 9．（25-26高三上·河南漯河·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为.那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设，利用题意得到，然后三角换元，表示，然后化简求最值即可. 【详解】设，因为，即， 令，，则，， 可得， 所以的最大值为. 故选：C. 10.（25-26高三上·湖北·开学考试）已知定义在上的函数，若满足不等式的整数解的个数恰好为2个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转换为不等式的整数解的个数恰好为2个，利用导数研究函数单调性，进一步列不等式即可求解. 【详解】已知定义在上的函数，若满足不等式的整数解的个数恰好为2个， 所以定义在时，不等式的整数解的个数恰好为2个， 令， 求导得， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， 而， 所以存在，使得当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为当从0的右边趋于0时，，不满足不等式， 所以只能，解得. 故选：C. 11．（25-26高二下·福建福州·期末）若直线分别与曲线，交于，两点，则线段长度的最小值为_____________． 【答案】，其中. 【分析】设，，则，再通过导函数分析其单调性即可求解最小值． 【详解】设，，则，故，，，. 故， 设， 则在区间上为增函数，且当时，，且， 故在区间上存在使得，即，故 则当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故有最小值，其中 故答案为：，其中. 12．（25-26高二下·山西运城·期中）已知函数，点A是的图象上任意一点，过点A且垂直于轴的直线交函数的图象于点，过点A且垂直于轴的直线交函数的图象于点，则的面积的最小值是_____________. 【答案】2 【分析】设，写出坐标后，求出面积，利用导数求得最小值． 【详解】由题意可知，函数的图象在函数的图象上方，不妨设， 则，则， 所以的面积， 令，则， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以，所以的面积的最小值为. 故答案为：2. 13．（25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）设点P在曲线上，点Q在直线上，则PQ的最小值为________. 【答案】 【分析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值. 【详解】令，即，解得或. 由已知，，所以，代入曲线方程求得，故切点为， 斜率为的直线方程为， 将两条平行直线的方程化为一般式得， 故两平行直线的距离为，所以的最小值为. 14．（2026·安徽·一模）已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为__________. 【答案】 【分析】设利用导数研究函数的单调性，得出当时，函数最小值为.从而可得点在直线上运动.，设与平行的直线与相切于点，利用求导求得切点，结合图形计算出点到直线的距离即可. 【详解】设， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 所以，即点在直线上运动. 设与平行的直线与相切于点，令， 得，故切点为，由图知其到直线的距离，即为的最小值. 故答案为： 15．（25-26高二下·广东广州·期中）若实数、、、满足，则的最小值为__________ 【答案】 【分析】由题意可得的几何意义为曲线上的点与（不含点）上的点的距离的平方，借助导数的几何意义结合点到直线距离公式计算可得曲线上的点到（不含点）上的点的距离的最小值，即可得的最小值. 【详解】由，则，，，则， 则点在上，点在（不含点）上， 则的几何意义为： 曲线上的点与（不含点）上的点的距离的平方， 令，则，令，则，又， 点到（不含点）上的点的距离的最小值为， 由点到点的距离为， 故点到上的点的距离可取最小值， 则的最小值为. 16．（25-26高三上·黑龙江大兴安岭·阶段检测）设点在曲线上，点在曲线上，若，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】由反函数的性质，得到点到直线的距离为和题设条件，得到， 化简得到，令，转化为，令函数，利用导数求得函数的单调，结合，即可求解. 【详解】由函数和互为反函数，其图像关于直线对称， 可先求得点点到直线的距离为， 设曲线上斜率为1的切线方程为， 因为，令，可得，即， 即切线的坐标为 又由切点到直线距离为， 因为，所以，即，即， 因为，可得， 所以，即，即， 令，则， 令，可得， 所以在区间上为单调递增函数， 因为，所以不等式等价于， 则，即，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 17．（2026·广东东莞·模拟预测）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】将点的距离转化为平行线间距离，结合导数的几何意义求出参数得到，最后利用平行线间距离公式求解即可. 【详解】设与直线平行并与相切的直线为， 则两平行线间的距离即为的最小值， 因为，所以，设切点为， 则，解得，此时，则切点为， 代入中，可得，解得， 则直线方程为，而可化为， 由平行线间距离公式得平行线间距离为. 18．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点在曲线上，点在曲线上，设、两点间距离为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】曲线是以为圆心，1为半径的圆，当直线与过点的切线垂直时最小，此时也最小，设， 由，得可得答案. 【详解】由 得， 由得， 曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当直线与过点的切线垂直时最小，此时也最小， 设，过点的切线的斜率为，， 所以，得， 令，， 所以是单调递增函数， 又，所以存在唯一解， 即，， 所以. 若，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】由反函数的性质，得到点到直线的距离为和题设条件，得到， 化简得到，令，转化为，令函数，利用导数求得函数的单调，结合，即可求解. 【详解】由函数和互为反函数，其图像关于直线对称， 可先求得点点到直线的距离为， 设曲线上斜率为1的切线方程为， 因为，令，可得，即， 即切线的坐标为 又由切点到直线距离为， 因为，所以，即，即， 因为，可得， 所以，即，即， 令，则， 令，可得， 所以在区间上为单调递增函数， 因为，所以不等式等价于， 则，即，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 19．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线与函数，的图象分别交于A，B两点，则最小值为______，此时______． 【答案】 0 【分析】根据互为反函数的两函数图象关于直线对称，且直线，互相垂直，转化为求曲线上一点到直线距离的最小值，利用点到直线的距离及导数即可得解. 【详解】由可得，，即其反函数为， 可知函数，互为反函数，图象关于直线对称， 因为直线，互相垂直， 问题可转化为求上点到直线距离的最小值的2倍， 可得，且， 构建，，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，当且仅当时，等号成立， 所以最小值为，此时． 故答案为：；0. 20．（25-26高三下·浙江湖州·阶段检测）已知曲线方程，，，点为曲线右支上一点，且与不重合，直线，分别与直线交于，两点，则以，为直径的圆面积的最小值是________． 【答案】 【分析】设且，写出直线，的方程，求出，纵坐标，进而得到，进而得到关于的表达式，即可求面积最小值. 【详解】设且，则，， 令，则，， 所以， 以，为直径的圆面积， 令，则， 所以，则， 当，即，时，，则， 所以以，为直径的圆面积的最小值是. 故答案为： 21．（2026·四川广安·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点的“曼哈顿距离”定义为．满足的动点的轨迹围成的图形面积为___________；已知点在直线上，点在函数的图象上，的最小值为___________． 【答案】 8 【分析】①由可得动点的轨迹是四条直线围成的正方形，求其面积即可；②由题意，结合“曼哈顿距离”定义列出方程，然后构造函数，利用导数求得函数的最值，即可得到结果. 【详解】    设点，由可得， 则动点的轨迹是由直线，，与围成的正方形， 如图所示，则该图形面积为； 设，则， 将看成关于的函数，则在或时，取得最小值， 当时，令，则， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故时，，此时； 当时，，令， 则，由，解得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故时，，此时. 综上所述，. 故答案为：①8；②. 创新能力提升 1．（25-26高二下·陕西安康·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先分析出当切线与直线平行时，点到直线距离最小，设出切点，求导后利用斜率得到切点坐标，求出答案. 【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小. 设切点为， 所以切线斜率为，由题知，解得或（舍）， ，此时点到直线距离. 故选：D 2．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知函数，，岩直线与和的图象分别交于点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】我们知道，所以，不妨构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出的最小值. 【详解】由题，不妨令， 则，令，解得，因为时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以当时，最小为1. 故选：A. 3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由奇函数定义可得为奇函数，再利用导数求得其单调性，利用单调性得恒成立，记， 利用导数法求得函数的最小值，即可得解. 【详解】由知， . 令，因为， 又定义域为R，则为奇函数. 因为，所以为R上的单调递增函数. 则，等价于， 即，也即， 所以，即， 记， ，当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，所以， 即实数的取值范围是. 故选：C 4．（25-26高二下·广东深圳·期中）直线与曲线和的交点分别为P，Q，当m变化时，的最小值为____. 【答案】 【分析】根据反函数的性质，可将问题转化成曲线的点到的距离，根据点到直线的距离公式，利用导数求解最值即可求解. 【详解】由于和互为反函数，所以和的图象关于对称，与垂直，所以的最小值即为曲线的点到的距离的2倍，设的一点为,则点到直线的距离为，由，故当单调递增，当单调递减，故当时，取极小值也是最小值，最小值为，故此时，故的最小值为， 故答案： 5．（25-26高二上·浙江丽水·期末）已知曲线和，点分别在曲线上，记点Q的横坐标为，则的最小值是_______. 【答案】 【分析】设点坐标为，由抛物线定义可得，其中，利用导数求其最值即可. 【详解】设点坐标为，为的焦点， 点到准线距离为，则， 则， 又， 设， 则，令， 则，所以在上单调递增， 又， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以， 故，则， 即的最小值是. 故答案为：. 6．（25-26高三上·河南漯河·期末）设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】通过双曲线的定义得，再利用数形结合即可求解． 【详解】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为. 故答案为： 7．（25-26高二上·吉林·期末）若，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_____. 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义可求出曲线在点处的切线，继而求出切线与坐标轴的截距，根据三角形面积即可求得答案. 【详解】由题意得， 故，又， 故曲线在点处的切线方程为，即， 令，则；令，则； 故切线与坐标轴围成的三角形面积为， 故答案为： 8．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点 定义为“曼哈顿距离”.若，则点P 的轨迹所围成图形的面积为____；圆上一点与直线上一点的“曼哈顿距离”的最小值是________________ 【答案】 ； . 【分析】第一空：根据新定义写出轨迹方程，结合对称性和直线方程即可得解；第二空：设圆上动点为，直线上动点为，表示出“曼哈顿距离”，以为自变量去掉绝对值，利用单调性求出最小值，在结合三角函数性质求解. 【详解】第一空：设，则①， 将代入①得，将代入①得， 所以曲线关于轴和轴对称， 故曲线所围成图形的面积，等于与轴和轴所围成图形面积的4倍, 易知分别与轴和轴交于点， 所以与轴和轴所围成图形面积为， 所以曲线所围成图形的面积为. 第二空：设圆上动点为，直线上动点为， 则， 当固定不动时， 记， 则时，取得最小值. ， 其中， 当在圆上运动时，的最大值为1， 所以. 故答案为：；. 9．（25-26高二上·安徽·阶段检测）“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义如下：若是平面直角坐标系中的两点，则之间的曼哈顿距离为；若是空间直角坐标系中的两点，则之间的曼哈顿距离为． (1)在平面直角坐标系中，为坐标原点，是线段上的动点，求； (2)在空间直角坐标系中，为坐标原点，动点满足，求动点的轨迹围成的几何体的体积； (3)已知不同的三点都在椭圆上，轴，点满足，若直线与的交点在轴上，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据距离新定义计算求解； （2）根据空间向量关系结合锥体体积公式计算求解； （3）根据三点共线的向量关系方法一：结合三角函数值域计算求解方法二：应用二次函数值域求解. 【详解】（1）由题意，得． ． （2）设，依题意，得， 当时，设， 则， 因此，点四点共面， 故点的轨迹围成的图形是边长为的正三角形及其内部． 由对称性知，点的轨迹围成的几何体是正八面体，每个面都是边长为的正三角形， 所以点的轨迹围成的几何体的体积． （3）如图，设，则． 因为，所以． 设，则，由三点共线，可得，整理得， 同理，由三点共线，可得， 所以， 化简可得， 因为，所以， 由椭圆的对称性可知． 所以． 方法一：因为点在椭圆上，所以， 不妨设点在第一象限，则可得， 则，其中， 所以当时，取得最大值，为． 方法二：不妨设点在第一象限， ， 当且仅当，即时取等号． 故的最大值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $