3 直线与圆问题中的一题多解-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

知识篇新高考名师护航 中学生数理化离数学新22年10月 直线与圆问题中的一题多解 ■江苏省盐城市时杨中学 刘长柏 直线与圆、圆与圆是高中数学中的重要 解法三：易得经过点M(一1,5)，N(3,4) 内容，试题的难度一般不大。但是圆的方程 的线段方程为x十4y一19=0(4≤y≤5)。与 是二次方程，解题过程中运算量较大。那么 直线l:(2一m)x十my一4=0联立，解得y= 面对有关直线与圆、圆与圆的问题时，我们该 19m-34 采用哪些求解途径呢？一般有两种思路，即 5。。所以4≤㎡8≤5，解得一2≤ 从几何图形或方程人手。从几何图形入手， m≤1。故m的取值范围为[一2,1]。 需牢牢把握住直线、圆的几何特征和性质；从 点评：解法一，利用直线的斜率与倾斜角 方程入手，解题过程中运算量较大，常采用设 的关系，数形结合求解；解法二，根据直线与 而不求法，通过整体代换求得问题的答案。 线段相交，利用“同侧同号，异侧异号”的性质 下面结合例题剖析直线与圆问题中的一题 求解；解法三，利用方程思想进行求解。 多解。 二、直线的方程 一、直线的斜率与倾斜角 例2经过点P(一1，一2)，并且在两 例1已知在平面直角坐标系中，点 坐标轴上的截距相等的直线方程为 M(一1,5)，N(3,4)。若直线l:(2一m)x+ 解法一：①当直线在两坐标轴上的截距 my一4=0与线段MN相交，则m的取值范 为0时，可设直线方程为y=kx。 围为。 由点P(-1,一2)，得一2=一k,解得 解法一：(2一m)x十my一4=0可化为 k=2,所以直线方程为2x一y=0。 (y一x)m+2x-4=0。 ②当直线在两坐标轴上的截距不为0 时，可设直线方程为x十y=a。 的/y工一0，得 1x=2, 则直线（过定 2x-4=0,y=2。 由点P(-1,-2),得a=-1+(-2), 点P(2,2)。 解得a=一3，所以直线方程为x十y十3=0。 ①当m=0时，直线l:x=2与线段MN 解法二：①当直线在两坐标轴上的截距 相交，满足题意。 为0时，可设直线方程为y=kx。 ②当m≠0时，直线1的斜率k=m一2 由点P(-1,一2)，得-2=一k,解得 m k=2,所以直线方程为2x一y=0。 =1-2 ②当直线在两坐标轴上的截距不为0 77m 时，由题意知直线的斜率为一1。 易知直线MP的斜率k1=一1，直线NP 直线经过点P(一1，一2)，则直线方程为 的斜率k2=2。 y十2=-(x+1),即x+y+3=0。 因此，1-2≤-1或1-2≥2. 解法三：由题意知直线的斜率存在，设直 m m 解得0<m≤1或一2≤m<0。 线方程为y十2=k(x十1)。 令x=0,则y=k一2。 综上可得，m的取值范围为[一2,1]。 解法二：由题意知M,N在直线l的两侧 令y=0,则x=名1 或直线1经过M,N,则[-(2一m)+5m一 4]·[3(2-m)十4m-4]≤0，解得-2≤m≤ 由题意知6一2=名-1，解得=2或 1。所以m的取值范围为[一2,1]。 学商意护芦中学生款理化 故所求直线方程为2x一y=0或x+ 三、直线方程的最值问题 y+3=0。 例4过点P(2,1)作一条直线1，使直线 点评：解法一、二，利用分类讨论、数形结 l与x轴，y轴的正半轴相交，交点分别为A, 合思想，结合直线的斜率进行求解；解法三， B,求△AOB面积最小时直线l的方程。 利用直线的点斜式方程求解。 例3经过两条直线2x一3y+10=0 解法一：设直线1的方程为后十分=1 与3.x十4y一2=0的交点，且与直线x一 (a>0,b>0)。因为直线l过点P(2,1),所 3y十7=0垂直的直线的方程为()。 以2+1 A.3x+y-4=0B.3x+y+4=0 C.3.x-y+4=0D.3x-y+8=0 △AOB的面积S=b:由子+云 解法一：联立2x一3y十10=0与3x十 1,可得1=+≥2 1 2 4y一2=0，求得交点坐标为（一2,2）。 ,所以ab≥8，当 易知垂直于直线x一3y十7=0的直线 的斜率为1=一3。 且仅当子-方即a=4,6=2时等号成立，故 1 △AOB的面积最小值为4。此时直线l的方 3 故所求直线的方程为y一2=一3(x十 程为工 +-1,即x+2y-4=0 2),即3.x+y+4=0。 解法二：设直线（的斜率为k(k<0),则 故选B。 直线l的方程为y一1=k(x一2)。 解法二：联立2x一3y十10=0与3x十 4y一2=0，求得交点坐标为（一2,2）。 令y=0,可得x=2一名，即 设垂直于直线x一3y十7=0的直线的 A(2-太0： 方程为3x十y十c=0。代入交点坐标，可得 -6+2十c=0,解得c=4。 令x=0,得y=1-2k,即B(0,1-2k)。 故所求直线的方程为3x十y十4=0。 △AOB的面积S=2(2-)1-2k) 故选B。 解法三：设所求直线的方程为(2x一3y =2(4-4k-)。 +10)+m(3.x+4y-2)=0,即(2+3m)x+ (4m一3)y+10一2m=0。 因为k<0,所以一4>0，一名>0。 因为所求直线垂直于直线x一3y十7= 根据均值不等式得一钻一大≥4，当且仅 0,所以2+3m-3(4m-3)=0,解得m=1 9 当一k=一大时等号成立，即S 故所求直线的方程为3x十y十4=0。 故选B。 2-k-)≥2×4+40=4。当-4k 点评：解法一、二都是先求出交点坐标， 再利用垂直关系和已知直线的斜率求解；解 时一宁k<0,此时直线的方 1 法三不用求交，点坐标，而是利用直线系方程， 1 同时利用垂直于已知直线的斜率公式求解。 程为y-1=一2(x-2),即x十2y-4=0。 利用平行、垂直关系求直线方程的方法： 点评：解法一，根据直线与x轴，y轴正 (1)平行关系，与直线Ax十By+n=0 半轴相交，可设直线方程的截距式求解；解法 平行的直线方程可设为Ax十By十m=0: 二，设出直线的斜率，先写出直线的点斜式方 (2)垂直关系，与直线Ax十By十n=0 程，再分别求出直线与x轴，y轴的交点坐 垂直的直线方程可设为Bx一Ay十m=0。 标，然后表示出△AOB的面积，最后求面积 中学生数理化离数学新2年0月 知识篇新高考名师护航 的最小值。 结合题意可得A(5+45,15+25) 例5点(0，-1)到直线x-y+入=0 5 5 (入为任意实数)距离的最大值为( B(5-45,15-25 5 5 A竖 B.1 C.√2 D.2 利用两点距离公式可得|AB|=4。 解法一：点(0，一1)到直线入x一y十入=0 解法三：设A(x1,y1),B(x2,y2)。直线 的距离d=入+1 L:x-2y十5=0与圆C:x2+y2-4x-2y √+I 4=0联立，消去y整理可得5.x2一10x一11 故d= 2+1+2以=1十 2入 λ2十1 2+1 =0。所以x1十x2=2,x1x2= 11 5 令m=2当入=0时，m=0 所以IAB=√1+() 2 当入≠0时，m= ,由对勾函数的性 入十入 2-4x(-)=4 点评：直线与圆相交时，孩长的求法有以 质可知A+∈(-，-2JU[2,十0)： 下几种。 所以m∈[-1,0)U(0,1]。 (1)几何法：利用圆的半径r,圆心到直 线的距离d,弦长l之间的关系r2=d+ 故d∈[0,2]，dmx=√2。选C。 解法二：易知直线入x一y十入=0过定点 (台)广，整理出弦长公式1=2不 (一1,0)，则点(0，一1)到直线的距离最大值 (2)代数法：若直线与圆的交点坐标易求 为定点（一1,0）到(0，一1)的距离，即2。 得，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公 故选C。 式计算弦长即可。 点评：解法一，直接利用点到直线的距离 (3)弦长公式法：设直线l:y=kx十b与 公式求解；解法二，利用直线过定点及数形结 圆的交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程与 合求解。 圆的方程联立，消元后利用根与系数的关系 四、直线与圆相交 得到弦长表达式l=√I十|x1一x2= 例6已知圆C:x2+y2一4x一2y一4 √(1十k)L(x1+x2)-4x1x2J。 =0与直线l:x一2y十5=0交于A,B两点， 五、直线与圆相切 则|AB|= 解法一：圆C:x2十y2一4x-2y一4= 例7过点P(3,-2)且与圆C:x2十 0→(x-2)2+(y一1)2=9，故圆心C(2,1), y2一2x一4y十1=0相切的直线方程为一 半径r=3。 解法一：将圆C的方程化为标准方程 圆心到直线！的距离： (x-1)2+(y一2)=4，得圆心C(1,2),半径 151 r=2。 d= =5。 √/1+(-2) 当过点P(3,一2)的直线斜率不存在时， 所以|AB|=2√r-d严=4。 直线方程为x=3,与圆C相切，满足题意。 解法二：直线1：x一2y十5=0与圆C: 当过点P(3,一2)的直线斜率存在时，可 x2十y2一4x一2y-4=0联立，消去y整理 设直线方程为y十2=k(x一3)，即kx一y 可得5x2一10z-11=0,解得x=5±45，所 3k-2=0。 5 由圆心到直线的距离等于半径可得 以y=15±25 126十4=2，解得A=一三 5 √k+1 4 8 学商意护芦中学生款理化 此直线方程为3x+4y-1=0。 3x+4y一1=0。 故答案为x=3或3.x十4y-1=0。 综上所述，所求切线方程为x=3或 解法二：设切点坐标为A(m,n),将圆C 3x+4y一1=0。 的方程化为标准方程(x一1)2十(y一2)2=4。 点评：圆的切线方程的求法如下。 则圆的切线方程为(m一1)(x一1)十 (1)点M(xo,y。)在圆上，解法一：利用 (n-2)(y-2)=4。 切线的斜率k,与圆心O和点M连线的斜率 点P(3,一2)在圆C的切线上，则(m一 koM的乘积等于一1，即koM·k,=一1；解法 1)·(3-1)+(n-2)·(-2-2)=4,即m- 二：圆心O到直线l的距离等于半径r。 2n+1=0。 (2)点M(x。,y。)在圆外，可设切线方程 切点A在圆C上，所以(m-1)2+(n一 为y一y。=k(x一x。),变成一般式kx一y十 2)=4。以上两式联立消去m,整理可得 y。一kx。=0。因为与圆相切，所以利用圆心 5n2-12n十4=0，解得n=2或n=5。 2 到直线的距离等于半径，解出k。 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定 当n=2时，m=3,切线方程为x=3。 有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一 当n=号时，m-一日，切线方程为3x十 2 个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要 把这条切线补上。 4y-1=0。 六、直线与圆位置关系中的最值（范围）】 综上所述，所求切线方程为x=3或 3x+4y-1=0。 问题 解法三：设切点坐标为A(m,n),则 例8已知直线1：m.x十(5-2m)y m2十n2-2m-4n+1=0。 2=0(m∈R)和圆O:x2十y2=4,则圆心O 又CA⊥PA,故(m-1,n-2)·(m-3, 到直线！距离的最大值为()。 n+2)=0,即(m-1)(m-3)十(n-2)(n+ C.23 2)=0。 A a 3 两个方程联立，求出切点坐标为(3,2)或 解法一：由题意知，直线m.x十(5一2m) () y-2=0可化为m(x-2y)+5y-2=0。 联立 x-2y=0, 当切点坐标为(3,2)时，切线方程为x=3。 5y-2=0, 解得x=4, 当切点坐标为（一号·）时，切线方程为 直线1过定点P(信号)： 3x十4y-1=0。 ()+() <4,可得定点P在圆内。 综上所述，所求切线方程为x=3或 3x+4y-1=0。 由圆的几何性质知，圆心到直线的距离 解法四：将圆C的方程化为标准方程 (x一1)十(y一2)2=4，可知圆心C(1,2)。 d≤oP-√（信）+() =25 59 以CP为直径的圆的方程为(x一2)2+ 故选B。 y2=5。 解法二：圆心O到直线l的距离d= 以上两个方程联立，求出切点坐标为(3， 2 2 √5(m-2)2+5 2)或（吉）： √m+(5-2m)F 当切点坐标为(3,2)时，切线方程为x=3。 所以当m=2时，d=是-25 √55 当切点坐标为（号，）时，切线方程为 故选B。 (责任编辑徐利杰) 9