6 直线和圆的方程单元创新卷-《中学生数理化》高二数学2025年10月刊

演练算￥名校名师新者中学生教狸化 高二数学2025年10月 直线和圆的方程单元创新卷 ■河南省南乐县第一高级中学吉晓波 一、单选题（本题共8小题，每小题5分， 出：过△ABC的三个顶点A,B,C作它的外接 共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 圆的切线，分别和边BC,CA,AB相交于点P, 一项是符合题目要求的) Q,R,则P,Q,R三点在同一直线上，这条直线 1.已知两点A(a,3),B(1,一2)，若直线 称为该三角形的菜莫恩(Lemoine)线。在平面 AB的倾斜角为135°，则a的值为()。 直角坐标系xOy中，若三角形三个顶点的坐 A.-6B.6C.-4D.4 标为A(0,1),B(2,0),C(0,一4)，则该三角形 2.已知点A(一2,6)，B(6,0),则以AB 的莱莫恩(Lemoine)线方程为()。 为直径的圆的方程为()。 A.2x+3y-8=0B.2x+3y+8=0 A.(x+2)2+(y+3)2=25 C.2x-3y-8=0D.2x-3y+8=0 B.(x-2)2+(y-3)=25 8.在平面直角坐标系xOy中，直线l: C.(x+2)2+(y+3)2=100 x一y十4=0与x轴、y轴分别交于A、B两 D.(x-2)2+(y-3)2=100 点，过l上一点P作圆x2+y”=4的两条切 3.“入=0”是“直线入x十（入-2）y十3=0 线，切点分别为M、N,设线段MN的中点为 与直线λx十2y一1=0平行”的( )。 Q,则|AQ|的最大值为()。 A.必要不充分条件 A.2 B.2√2C.23D.32 B.充分不必要条件 二、多选题（本题共3小题，每小题6分， C.充要条件 共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 D.既不充分又不必要条件 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对 4.若直线1经过点(2,0)且与直线y= 的得部分分，有选错的得0分) 2x垂直，则1的方程为()。 1 9.下列说法错误的是()。 A.在两坐标轴上截距相等的直线都可 A.2x+y-4=0 B.2x-y-4=0 以用方程x十y=a(a∈R)表示 C.x-2y-2=0D.x+2y-2=0 B.方程mx十y一2=0(m∈R)表示的直 5.某手机信号检测设备的监测范围是半 线的斜率一定存在 径为200m的圆形区域，一名人员持手机以 C.经过点P(1,2),倾斜角为a的直线方 每分钟50m的速度从设备正东200√3m的 程为y一2=tana(x一1) A处沿西偏北30°方向走向位于设备正北方 D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2) 向的B处，则这名人员被持续监测的时长约 为()。 (x1≠x)的直线方程为y-y1=二当. x2一x1 A.2分钟 B.3分钟 (x-x1) C.4分钟 D.5分钟 10.已知x2十y2=4,则( )。 6.若圆x2+(y十2)2=r2(r>0)上到直 线y=√3x十2的距离为1的点有且仅有两 A√x-2+(-2 的最小值是2 个，则r的取值范围是()。 B.3z十4y一121的最小值是号 A.(0,1) B.(1,3) C.(3,十∞) D.(0,+∞) C.w√5一2x+√13一6y的最小值是√10 7.射影几何认为：所有无穷远点都位于唯 D.2√13-6y一√20一8x的最大值是 一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都 2√J10 在无穷远处相交。莱莫恩(Lemoine)定理指 11.已知圆M与直线x=1和x=3都相 15 中学生数理化离整贺学名蕊名年朝新育 切，且圆心M在x轴上，直线l:x=my一2 方程。 与y轴相交于点P,过点P作圆M的两条切 线，切点分别为A,B,直线AB与MP交于 点C,则( )。 A.圆M的方程是(x-2)十y2=1 17.(本小题15分)已知圆C:(x-1)2十 B.当m=1时，四边形PAMB的面积为 (y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+ √6 1)y=7m+4(m∈R)。 C.P才·P的取值范围为（侵，+∞）】 (1)求过点(4,6)的圆C的切线方程； (2)求不论m取任何实数时直线l恒过 D.若点Q(子，0)，则cQ为定值 的点，并证明直线1与圆C恒相交； (3)求直线1被圆C截得的最短弦长及 三、填空题（本题共3小题，每小题5分， 此时直线（的方程。 共15分) 12.已知直线l:x-my-1=0,圆C: x2十y2-4x十6y=0,若直线1与圆C交于 M,N两点，则|MN|的取值范围为一。 18.(本小题17分)在平面直角坐标系 13.已知点A(0,0),B(6,0),符合点A, 中，点A(2,4),B(6,2),直线1：x十y一4= B到直线1的距离分别为1,2的直线方程为 0,l2:(m-1)x+y+2m+2=0,m∈R。圆 (写出一条即可)。 C经过A,B两点，且圆心C在直线1上。 14.已知点A,B,M,N,P均在同一平 (1)求圆C的标准方程。 面内，且M(一1,2)，A(2,1),B(4,1),动点 (2)当直线l2与圆C相切时，求实数m N满足NA·N=0,点P为直线x+2y+ 的值。 2=0上的一个动点，则|PM+「PN|取最小 (3)若直线，与圆C相交于D,E两点， 值时，点P的坐标为一。 当m变化时，是否存在一个定点P,使得 四、解答题（本题共5小题，共77分。解 DP|·EP|为定值？若存在，求出一个P 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 的坐标；若不存在，请说明理由。 15.(本小题13分)已知直线l1:x一2y +3=0,l2:2x+3y-8=0。 (1)求经过点A(1,4)且与直线l2垂直 19.(本小题17分)已知平面内的动点M 的直线方程； 与两个定点A(一1,1)，B(一1,4)的距离之 (2)求经过直线1与2的交点，且在两 坐标轴上的截距相等的直线方程。 比为2，记动点M的轨迹为曲线「。 (1)求曲线Γ的方程，并说明其形状； (2)若过点N(0,1)的直线与曲线下交 于E,F两点，求|EF|的取值范围， (3)已知D(一1,0)，过直线x=5上的动 16.(本小题15分)已知圆C:x2十y2 点P(5,p)分别作曲线T的两条切线PQ, 8x-6y+21=0. PR(Q,R为切点)，证明直线QR过定点，并 (1)求圆C关于直线3x一2y+7=0的 求该定点坐标。 对称圆C1的标准方程； (2)若经过点P(5,6)的直线1将圆C分 成两段圆弧，且弧长之比为1：2，求直线（的 (责任编辑赵倩) 16中学生款理化离整薇学名故务狮创新磨带案与提示 直线和圆韵方程单元创新卷参考容案 一、单选题 x+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F> 1.C2.B3.B4.A 1+E+F=0, D=0 5.C提示：以设备的位置为坐标原点 0),则{4十2D十F=0,解得3E=3,故 O,其正东、正北方向分别为x轴、y轴的正 16-4E+F=0, F=一4， 方向，建立平面直角坐标系。则直线AB: △ABC的外接圆方程为x十y2十3y一4= y=- 5(x-2005),即x+5y-2005 0.即+(+2}-9 =0,圆0：x2+y2=40000。 易知该外接圆在A(0,1)处的切线方程 记从N处开始被监测，到M处监测结 为y=1.直线BC的方程为受十兰1=1，令 x+√3y-200√3=0， 束，联立 消去x得 x2+y2=40000, y=1,则x-号，故P(侵，1) y2-300y+20000=0,解得y=100或200， 易知该外接圆在C(0,一4)处的切线方 则N(1005,100),M(0,200). 程为y=一4。直线AB的方程为受十兰- 故|MN|=√/(100√3)2+(100-200)2 1,令y=一4，则x=10,故R(10,一4)。 200(m),所以这名人员被持续监测的时长 为200 则直线PR的方程为法科专0，即 50 =4(分钟)。 2-10 6.B提示：在圆x2+（y十2)2=r2(r 2x十3y一8=0，故该三角形的莱莫恩线方程 0)中，圆心E(0,一2)，半径为r,圆心E(0, 为2.x十3y-8=0。 一2)到直线y=√x+2的距离d= 8.D提示：设点P(t,t十4)，M(x1, 10×3-(-2)+21=2。 y1),N(x2,y2)。因为PM,PN是圆x+y =4的切线，所以OM⊥PM,ON⊥PN,故 √（√3）+(-1) M,N在以OP为直径的圆上，且圆的方程为 因为圆上到直线y=√3x十2的距离为1 的点有且仅有两个，所以|d一r<1。 (-台)'+(-安)-+少 4 故2-r|<1,解得1r<3。 又M,N在圆x2十y2=4上，则将两个 7.A提示：设△ABC的外接圆方程为 圆的方程作差得直线MN的方程tx十(t十 44 满纸箱名整色學新警签来提香中学生款理化 4)y-4=0,即t(x+y)+4(y-1)=0,所以 因为|PC|+|PB|≥|CB|=√1+3= 直线MN恒过定点G(一1,1)。 √IO,当点P为线段BC与圆的交点时取等 又因为OQ⊥MN,Q,G,M,N四点共 号，所以√5一2x十√13一6y的最小值是 线，所以OQ⊥QG,即Q在以OG为直径的圆 √10，故C正确。 上，且圆的方程为(+号)广十(-)》= 对于D,因为x2十y=4,所以 名圆心为0（日，2）半径-号 2V√13-6y-√20-8x=2√x+y+9-6y √4(x2+y)+4-8x=2V√x十y+9-6y 由题意知A(一4,0)，所以|AQx= 2√x+y+1-2x=2(√+(y-3) lAO'I+r= √+4++竖- √(x-1)+y),即表示圆上一点P(x,y)到点 32。 C(0,3),B(1,0)的距离之差的2倍。 二、多选题 因为|PC|-1PB|≤|BC|=√'+3= 9.AC √I0,当点P为CB延长线与圆的交点时取 10.ACD提示：方程x2十y=4的圆心 等号，所以2√13一6y-√20一8x的最大值 为O(0,0),半径r=2。 是2√10，故D正确。 对于A,√x-2)+(6-) 表示圆 11.ACD提示：对于A,因为圆M的圆 心M在x轴上，且与直线x=1和x=3都相 上一点(x,y)到点A(2,多)的距离，因为 切，所以圆M的标准方程为(x一2)2十y2= 1,故A正确。 LAO √2+(】 = 5 2， 所以 对于B,因为PA,PB是圆M的切线，所 以|PA|=|PB|=√PM'-1。当m=1 x-2)+(-)的最小值是A0-r 时，P(0,2),又M(2,0),所以|PM|= 2-2=2故A正确。 √4十4=2√2，则|PA|=√7。 Sm边彩PAM=2S△PAM=|AM|·|PA|= 对于B,圆上一点(x,y)到直线3.x十4y 1×√7=√7，故B错误。 -12=0的距离d=13x+4y-12,即13x 5 对于C,在Rt△APM中，sin∠APM= 十4y-12|=5d,所以求|3x十4y-12|的最 AMI 1 PMIIPMI 小值，即求dmm,dmm为O(0,0)到直线3x十 PA·Pi=|PA|IPB1cos∠APB 4y一12=0的距离减半径。 =(|PM|2-1)(1-2sin2∠APM) 因为O(0,0)到直线3x十4y-12=0的 距离d=2-号，所以4。=d-, -(PM-10-PT) 5 2 号-2=号，则3x十4y一12的最小值为 =IPMI+PMT-3。 5 5dnin=2,故B错误。 因为|PM|>|OM|=2,所以|PM1∈ 对于C,因为x2+y2=4,所以√5一2x 4,十0)。因为对勾函数y=工+2在4，十∞) +√13-6y=W√x+y2+1-2x 上单调递增，所以p·p店∈（侵，+∞），故 √x+y+9-6y=√(x-1)'+y C正确。 √x十(y-3)严，即表示圆上一点P(x,y)到 点B(1,0),C(0,3)的距离之和。 对于D,由题意知m≠0，P(0,): 45 中学生款理化离整薇学名极备创新骨音案与提示 M(2,0),PA⊥AM,PB⊥BM,所以A,B在 AC⊥PD,BD⊥PD,则△PAC∽△PBD,所 以PM为直径的圆上。记此圆为圆D,则 以S-品-？：则P=2AP,即 PM为圆D的直径，圆心D,),半径为 A为BP的中点，则P(一6,0)。 4+(2) 2 1十，故圆D的方程为 -1+(6-)广-1+ 因为AB是圆D与圆M的相交弦，所以 图1 直线AB的方程为x-1+(一) 设直线l的方程为x=my一6，则 6 c-2)-y=1+-1,化简得-2：十品 =1,解得m=士√35。此时直线l √1+m +3=0,故直线AB经过定点N(受0)。 的方程为x十√35y+6=0或x一√35y+6 =0。 因为PM⊥AB,所以∠MCA=90°。因 如图2，当直线L是两圆的内公切线时，根 为点N(径，0)在直线AB上，所以∠MCN 据对称性可得∠FGA=∠EGB,又AF⊥FG, 90°，即点C在以MN为直径的圆上。因为 BE⊥GE,则△AGFO△BGE所以S M(2,0),N(经o小，所以圆心为点(？，0)，即 C-号，则G=21AG,故G2,0 为点Q,半径为MN-.因为点C在该 2 圆上，所以CQ=为定值，故D正确。 三、填空题 12.[2√3,2√13]提示：圆C可化为 (x一2)2十(y十3)2=13，圆心C(2,-3),半 图2 径为√13。 设直线1的方程为x=ny十2，则 直线l:x一my-1=0过定点A(1,0), 1-21 =1,解得n=士√。此时直线l的 √1+n |AC|=√0<√I3,故点A在圆C内。 当直线l过圆心时，|MN|最大，最大值 方程为x+3y一2=0或x一√y-2=0。 为直径2√I3;当直线l与CA垂直时， 综上所述，所求直线方程为x十√35y十 1MN|最小，最小值为2×√13=10=23。 6=0或x一√35y+6=0或x+√5y-2=0 故MN|的取值范围为[2√3,2√I3]。 或x一√5y-2=0。 13.x+√35y+6=0或x-√35y+6= 4.(2-) 提示：设N(x,y),则 0或x十√3y-2=0或x-√5y一2=0（写出 NA=(2-x,1-y),NB=(4-x,1-y)。 一条即可)提示：由题意可知直线1是圆 因为NA·NB=0,所以(2-x)(4一x)十 x2+y2=1与圆(x一6)2十y”=4的公切线， (1-y)(1-y)=0,化简得x2+y2一6x-2y 圆心距6>1十2，则两圆为外离关系，所以满 +9=0,即(x-3)2+(y-1)=1,故点N的 足条件的直线l有四条。 轨迹是以C(3,1)为圆心，1为半径的圆。 如图1，当直线（是两圆的外公切线时， 设M(一1,2)关于直线x+2y+2=0的 46 演蛛猫名核色鲜颜商篱来提西中学生款理化 对称点为H(m,n),则 的对称点为C1(a,b),则 n-2 m+1 =2, b-32 解得m一3， a-4 即 3 解得a=2, m,1+2×”十2+2=0， n=-2, 3.a十4-2.63+7=0， b=7。 2 2 2 2 H(-3,-2)。 又因为圆C1的半径为2，所以圆C1的 连接HC,分别交直线x十2y十2=0，圆 标准方程为(x十2)2十(y-7)=4。 C于E,D,则IPM|十|PN|≥|EH|十 (2)因为直线1将圆C分成两段圆弧，且 |ED|=|EH|+|EC|-1=|HC|-1。易 弧长之比为1：2，所以分成的劣弧所对圆心 知直线HC的方程为x一2y一1=0，与x+ 角为120°，故圆心C到直线1的距离d= 2y十2=0联立，解得x=一合y=一是 rcos60°=1。 当直线l的斜率不存在时，直线x=5过 故当|PM|十|PN|取最小值时，点P的 点P(5,6),且点C到该直线的距离为1，满 幽标为（，） 足题意，故直线l的方程为x=5。 当直线1的斜率存在时，设其方程为 四、解答题 y-6=k(x-5),即kx一y十6-5k=0,由 15.(1)由直线l2:2x+3y-8=0→y 2 8 十，斗率为一之，页则浪店垂直老系可可 达一366-1，解得女=号故直线方 √1+k 设所求直线方程为y=号：十b 程为号x-y十6-5×专=0，即4r-3y-2 又因为直线经过点A(1,4),所以4= =0。 综上所述，直线l的方程为x=5或 之×1+b,解得6=5 2。 4x-3y-2=0。 枚所求直线方程为y=名x十号，即 3 17.(1)由题意可得圆心C(1,2)。 因为点(4,6)在圆C上，所以点(4,6)为 3x-2y+5=0. 切点。设切线的斜率为长，则女×昌】 （2)联立亿一2十3=0：解得=1， 即 2x+3y-8=0, y=2, 3 →k= 4° 直线l1与l2的交点为(1,2)。 当直线经过原点时，设所求直线方程为 因此所求切线方程为y一6=一三 (x y=kx,将(1,2)代人得k=2,此时直线方程 4),即3x+4y一36=0。 为y=2x。 (2)直线l:(2m+1)x+(m+1)y= 当直线的截距都不为0时，设所求直线 7m十4(m∈R)可变形为(2x十y一7)m十 方程为工+义=1(a≠0)，将(1,2)代人得 x十y-4=0。 1+名=1，解得a=3,此时直线方程为营十 令/2x+y-7=0, 解得x=3,y=1。 aa x+y-4=0, 所以不论m取任何实数，直线l恒过点 苦=1，即x+y-3=0 (3,1)。 综上所述，所求直线方程为y=2x或 因为(3-1)2+(1-2)<25，所以点(3， x十y一3=0。 1)在圆C内，故直线1与圆C恒相交。 16.(1)圆C可化为(x-4)2+(y一3) (3)当直线l被圆C截得的弦长最短时， =4,圆心C(4,3),半径r=2。 直线（与过圆心(1,2）和点(3,1)的直线 设点C(4,3)关于直线3.x-2y+7=0 垂直。 47 中学生款理化离整筑学名极备创新骨音案与提示 设直线1的斜率为，则k,×二号 -1 √(-2-3)+(-4-1)-10=√/40，所以 1MD|IME|=|MN12=40。 →k1=2,故直线l的方程为y一1=2(x 所以当点P为定点M(一2，一4)时， 3),即2x-y-5=0。 DP·EP|为定值40。 所以圆心C到直线l的距离d= 2一2-5=5，则最短弦长为2×25一5 19,（1)接M(y1,由-，得 ⑤ √(x+1)+(y-1)F =2,化简得x十y2十 1 =4√5。 √(x+1)+(y-4)F 18.(1)设圆心C的坐标为(a,b),因为 2.x-3=0,即(x十1)2+y2=4。 圆心C在直线l1:x十y一4=0上，所以b= 故曲线下的方程为(x十1)2十y2=4,其 4-a。 形状是以（一1,0）为圆心，2为半径的圆。 因为圆C经过点A(2,4)和B(6,2),所 (2)记圆C为曲线T:(x十1)2十y2=4, 以 √(a-2)2+(b-4) 将点N(0,1)代入圆C的方程得(0十1)2十1 √（a-6)+(b-2),两边平方后得(a-2) =2<4,故点N(0,1)在圆C内。 +(b一4)2=(a-6)2十(b-2)2,整理得2a一 当直线EF与CN垂直时，|EF|取最小 b-5=0。 值。又N(0,1),C(一1,0)，故此时1EF|= 又因为b=4一a,所以a=3,b=1,则圆 2√4-CN下=2×√4=2=2√2. 心C(3,1),半径r=√(3-2)+(1-4)= 当直线EF过圆心时，|EF|取最大值， √1+9=√10。 此时|EF|=4。 因此圆C的标准方程为(x一3)十(y 故|EF|的取值范围为[2√2,4]。 1)2=10. (3)由题意知D(一1,0)为曲线Γ的圆 (2)因为直线l2:(m-1)x+y+2m+2 心。记圆D为曲线下，则PQ,PR与圆D相 0,且，与圆C相切，所以 切，Q,R为切点，因此DQ⊥PQ,DR⊥PR, |(m-1)·3+1+2(m+1) 。=√0，即 则Q,R在以DP为直径的圆上。 √/(m-1)2+1 因为D(-1,0),P(5,p),所以DP的中 |5m1 =√0，两边平方得 √(m-1)+1 点为(2,2)DP1=36+p。 25m 因此以线段DP为直径的圆G的方程为 (m-1)2+1 =10,化简得3m十4m一4=0， （2)+(一老)”=36十整理得x十 4 解得m三3或m=一2。 y2-4x-py-5=0。 (3)直线l2的方程为(m一1)x十y+ 又Q,R在曲线D:x2十y”十2x-3=0 2m+2=0,即m(x+2)-x+y+2=0。 上，所以QR为曲线T与圆G的公共弦，则 (x+2=0, (.x2+y2+2x-3)-(x2十y2-4x-py-5) 由 解得x=一2，y -x+y+2=0, =0,即6x十py十2=0，所以直线QR的方程 一4，所以直线l2经过定点M(一2，一4)。 为6x十py+2=0。 又（一2-3）2+（一4一1）>10，所以点 当y=0时，x=一 3,所以直线QR恒 M(一2，一4)在圆C外。 设过M(一2，一4)的直线与圆C的切点 过定点(-子0小 为N,则由圆的切割线定理得|MN?= (责任编辑赵倩) IMD|IME|。 又因为|MN|=√MC-r= 48