重难点培优11 直击导数中同构与异构的八大策略（含双元同构、指对同构等）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优11 直击导数中同构与异构的八大策略 （含双元双构、指对同构等） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 5 题型01 公式同构（★★★★） 5 题型02 双元同构（地位等同同构）（★★★★★） 6 题型03 和差型指对同构（朗博同构）（★★★★★） 7 题型04 积型指对同构（★★★★★） 9 题型05 商型指对同构（★★★★★） 9 题型06 比较大小之同构（★★★★★） 11 题型07 同构+切线放缩（★★★★★） 11 题型08 异构（★★★★★） 12 03 实战检测·分层突破验成效 13 重难知识巩固 13 创新能力提升 16 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 同构 1．同构的概念 同构式是指除了变量不同其余地方均相同的表达式，构造同构式解题的方法称之为同构. 2．同构的应用 (1)在方程中的应用如果方程和呈现同构特征则可视为方程的两个根 (2)在不等式中的应用如果不等式的两侧呈现同构特征则可将相同的结构构造为一个函数进而和函数的单调性找到联系可比较大小或解不等式 3．同构的方法： (1)顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数. (2)同位同构： ①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构； ②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可； 3 差一同构是指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之 知识点02 公式同构 1.利用导数公式构造 (1)乘积构造：． 若出现，可构造． (2)商的构造：． 若出现，可构造． (3)复合函数求导：若，，则． 如可令，构造关于u的函数． 2.利用常见函数的导数特征构造 （i）和与积联系：，构造； ，构造； ，构造； ，构造； ，构造．等等． （ii）差与商联系：如，构造； ，构造； ，构造； ，构造； ，构造； ，构造. （iii）对数函数同构 ，构造； ，构造； （iV）三角函数同构： f′（x）sinx+f（x）cosx，构造； f′（x）sinx-f（x）cosx，构造； f′（x）cosx-f（x）sinx，构造； f′（x）cosx+f（x）sinx，构造. 知识点03 指对同构 1．指对数恒等式 (1)当且时有 (2)当且时有 2．几种常见变形 (1) (2) (3) (4) 3.指对同构的三种基本模式 (1)积型 注：在对“积型”同构时，同左同右取对数 (2)商型： (3)和差型： 知识点04 同构+放缩 结合常用切线放缩不等式等可以得到更多结论比如 （1） （2） 知识点05 异构 1．异构的概念 使用了多个不同的母函数，且把原式拆分成若干个均“ ”的复合函数的和，则原式“ ”，注意验证每个部分是否能够在同一个，取到最小值0，再去通过余量函数恒“ ”，得出的范围。注意要分别说明充分性和必要性。通常余量函数的特征为的函数形式，则最后，可得出的范围. 2．母函数的构造可以基于泰勒公式： (1) (2) 展开到一次项的母函数有： (1)，(2)， （3），（4），（5）， （6） 展开到二次项的母函数有： (1) （x=0时取等号）； (2) (x=0时取等号)，此时ln(x+1)前的符号为+. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 公式同构 【技巧通法·提分快招】 分为指数函数的构造、幂函数的构造、对数函数的构造以及三角函数的构造,详见知识点02 公式同构. 1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）定义在上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数f（x）的定义域为（，），其导函数是f′（x），且满足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）cosx的解集为（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 3．（25-26高二下·湖北·期中）已知定义域为的奇函数，其图象为连续不断的曲线，的导函数为.若对任意，都有，且，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·山东威海·期末）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（   ） A． B． C．存在极大值点 D．有且只有一个零点 题型02 双元同构（地位等同同构） 【技巧通法·提分快招】 双元同构，也称地位等同同构，主要针对双变量 （1） 构造为增函数 （2） 构造为减函数 （3），等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可. 对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解，这类同构也是比较基础的一类，学生也易于掌握. 1．已知函数f（x）ax2，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．（） D．（﹣∞，] 2．（2026·浙江·模拟预测）已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·山西运城·期末）已知函数，若，都有，则______________. 4．（24-25高三下·福建龙岩·月考）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围. 5．（25-26高三下·辽宁朝阳·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，对任意，且，使恒成立，求正实数的取值范围. 题型03 和差型指对同构（朗博同构） 【技巧通法·提分快招】 和差型指对同构也称朗博同构，构造方法如下： 1．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·山东聊城·期中）若对恒成立，则正实数的最小值是______． 4．若，对任意恒成立，求a的取值范围. 5．已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值； （2）若，求实数的取值范围. 题型04 积型指对同构 【技巧通法·提分快招】 积型： 说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知。 1．已知，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 3.（2026高三·安徽阜阳·期中）若，不等式恒成立，则正数的取值范围为______. 4．（2026高三·重庆·阶段检测）若对任意， 恒成立，则实数的最小值是______． 5．对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数． (1)； (2)； (3)． 题型05 商型指对同构 【技巧通法·提分快招】 商型: 1．已知函数f(x)=aexln x,g(x)=x2+xln a,a>0.设函数h(x)=g(x)-f(x),若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  2．已知函数f(x)=,若不等式f(x)≥对x∈(0,e]恒成立,求a的取值范围. 3．若证明： 4．已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 题型06 比较大小之同构 【技巧通法·提分快招】 对于借助导数比较大小的问题，常结合所给的数的函数特征，构造同一个函数或多个函数，再研究其单调性，借助中间量法、放缩法等方法求解. 1．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·广东阳江·期末）已知，，，则（） A． B． C． D． 3．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4.若(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西榆林·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 题型07 同构+切线放缩 【技巧通法·提分快招】 同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．放缩也是一种能力 利用切线放缩，往往需要局部同构(利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可)，掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形） 1.（多选）（24-25高二下内蒙古期中）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（2026高三·山东济南·期中）已知对于，都有，则的取值范围__________． 3．（2026高三·重庆·期中）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____. 4．（2025·湖南·二模节选）已知函数，证明：. 5．（2024·贵州·模拟预测）已知函数. (1)若在点处的切线方程为，求实数的值； (2)设.在（1）的条件下，若满足，求证：. 题型08 异构 【技巧通法·提分快招】 所谓异构，是指使用了多个不同的母函数，且把原式拆分成若干个均“ ”的复合函数的和，则原式“ ”，注意验证每个部分是否能够在同一个，取到最小值0，再去通过余量函数恒“ ”，得出的范围。注意要分别说明充分性和必要性。通常余量函数的特征为的函数形式，则最后，可得出的范围. 1．已知正实数，满足，则等于（ ） A．2 B． C． D． 2．已知函数，，若，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3． 4．已知，当，时，求证：. 5.已知，设，求证：当时，恒成立。 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则（　　） A．f（1）＞f（2） B．f（1）＞2f（2） C．f（2）＞﹣2f（﹣1） D．f（﹣2）＞﹣2f（1） 2．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，导函数为，满足（e为自然对数的底数），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在处取得极大值 C．存在唯一的实数使得 D． 5．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知，，，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知函数的最小值为0，则a的值为（     ） A． B．0 C． D．1 8．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知定义在上的连续函数，其导函数为，若．且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·山西太原·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·天津静海·期末）已知函数，，若，，有，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D． 11．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知函数， ，若 ，使得，则的最大值为（   ） A． B．-1 C．-e D． 12．（2026高三·全国·专题练习）已知，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 15．（2026·陕西西安·模拟预测）若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 16．（2026高三·全国·一轮复习）若时，恒有成立，则实数的取值范围是________． 17.（2026高三·湖北武汉·期中）已知对于，都有恒成立，则实数的最大值为__________. 18．已知函数. （1） 讨论函数的零点的个数. （2） 证明：. 19．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意的，且，恒有，求的取值范围. 20．（26-27高三上·上海·开学考试）已知函数的图象上有不重合的两点，． (1)若，的图象在，两点处的切线相互平行，求的取值范围； (2)若，设的中点为，求证： ． 创新能力提升 1．（2026·山东日照·模拟预测）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 2．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，，若（），则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知正实数，满足不等式，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二下·山东泰安·期末）函数与被称为“函数中的双子座”， 二者性质高度关联．下列选项正确的是（   ） A． B．若且，，则必有 C．若，则的最小值为 D．若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则 5．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）已知函数.若，，且都有.则实数的取值范围是______. 6．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数． (1)若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，求证：； (3)设是函数的两个极值点，求证：． 7．（25-26高二下·河南三门峡·期末）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若存在两个极值点，，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 8．（2026·福建宁德·二模）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优11 直击导数中同构与异构的八大策略 （含双元双构、指对同构等） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 5 题型01 公式同构（★★★★） 5 题型02 双元同构（地位等同同构）（★★★★★） 8 题型03 和差型指对同构（博朗同构）（★★★★★） 13 题型04 积型指对同构（★★★★★） 16 题型05 商型指对同构（★★★★★） 20 题型06 比较大小之同构（★★★★★） 22 题型07 同构+切线放缩（★★★★★） 25 题型08 异构（★★★★★） 28 03 实战检测·分层突破验成效 31 重难知识巩固 31 创新能力提升 45 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 同构 1．同构的概念 同构式是指除了变量不同其余地方均相同的表达式，构造同构式解题的方法称之为同构. 2．同构的应用 (1)在方程中的应用如果方程和呈现同构特征则可视为方程的两个根 (2)在不等式中的应用如果不等式的两侧呈现同构特征则可将相同的结构构造为一个函数进而和函数的单调性找到联系可比较大小或解不等式 3．同构的方法： (1)顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数. (2)同位同构： ①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构； ②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可； 3 差一同构是指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之 知识点02 公式同构 1.利用导数公式构造 (1)乘积构造：． 若出现，可构造． (2)商的构造：． 若出现，可构造． (3)复合函数求导：若，，则． 如可令，构造关于u的函数． 2.利用常见函数的导数特征构造 （i）和与积联系：，构造； ，构造； ，构造； ，构造； ，构造．等等． （ii）差与商联系：如，构造； ，构造； ，构造； ，构造； ，构造； ，构造. （iii）对数函数同构 ，构造； ，构造； （iV）三角函数同构： f′（x）sinx+f（x）cosx，构造； f′（x）sinx-f（x）cosx，构造； f′（x）cosx-f（x）sinx，构造； f′（x）cosx+f（x）sinx，构造. 知识点03 指对同构 1．指对数恒等式 (1)当且时有 (2)当且时有 2．几种常见变形 (1) (2) (3) (4) 3.指对同构的三种基本模式 (1)积型 注：在对“积型”同构时，同左同右取对数 (2)商型： (3)和差型： 知识点04 同构+放缩 结合常用切线放缩不等式等可以得到更多结论比如 （1） （2） 知识点05 异构 1．异构的概念 使用了多个不同的母函数，且把原式拆分成若干个均“ ”的复合函数的和，则原式“ ”，注意验证每个部分是否能够在同一个，取到最小值0，再去通过余量函数恒“ ”，得出的范围。注意要分别说明充分性和必要性。通常余量函数的特征为的函数形式，则最后，可得出的范围. 2．母函数的构造可以基于泰勒公式： (1) (2) 展开到一次项的母函数有： (1)，(2)， （3），（4），（5）， （6） 展开到二次项的母函数有： (1) （x=0时取等号）； (2) (x=0时取等号)，此时ln(x+1)前的符号为+. 题型精研·技巧通法提能力 题型01 公式同构 【技巧通法·提分快招】 分为指数函数的构造、幂函数的构造、对数函数的构造以及三角函数的构造,详见知识点02 公式同构. 1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）定义在上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则 ， 因为，则，故， 则单调递增；因为，则； 则等价于，解得； 故的取值范围为． 2．已知函数f（x）的定义域为（，），其导函数是f′（x），且满足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）cosx的解集为（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】A 【详解】令g（x），x∈（，）， 则g′（x）， 因为f′（x）cosx+f（x）sinx＜0， 所以g′（x）＜0， 所以g（x）在（，）上单调递减， 所以f（x）＜2f（）cosx等价于，即g（x）＜g（）， 所以x，即不等式的解集为（，）． 故选：A． 3．（25-26高二下·湖北·期中）已知定义域为的奇函数，其图象为连续不断的曲线，的导函数为.若对任意，都有，且，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，因为是奇函数，即， 所以，即是奇函数； 又当时，， 在上单调递增，在上单调递增，且； 是定义在R上的连续函数，所以在上单调递增； 又，所以， 对于不等式，又，所以， 所以不等式,等价于，即， 所以，且，即不等式解集为． 4．（25-26高二下·山东威海·期末）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知时，构造函数， 求导得， 时，分子，分母，故， 即在上单调递增. 又是奇函数，， 则， 故是偶函数，由对称性得在上单调递减，且. 由，原不等式可化为：， 当时，不等式两边除以得：， 因为在单调递减，故. 当时，不等式两边除以得：， 因为在单调递增，故. 综上，不等式的解集为. 5．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（   ） A． B． C．存在极大值点 D．有且只有一个零点 【答案】D 【详解】，即，故函数为奇函数， 设， 则， 由题意，当时，， 在上单调递增， 又为偶函数，故为奇函数， 在上单调递增，图象连续不断且， 在上单调递增， 当时，，；同理当时，， 对于A，，，，故A错误. 对于B，当时，，则，故B错误. 对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且， 有且只有一个零点，故D正确. 题型02 双元同构（地位等同同构） 【技巧通法·提分快招】 双元同构，也称地位等同同构，主要针对双变量 （1） 构造为增函数 （2） 构造为减函数 （3），等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可. 对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解，这类同构也是比较基础的一类，学生也易于掌握. 1．已知函数f（x）ax2，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．（） D．（﹣∞，] 【答案】A 【详解】根据题意，设g（x）＝xf（x）＝ex﹣ax3，x∈（0，+∞）， 若当x2＞x1时，不等式0恒成立，则有x1f（x1）﹣x2f（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2）， 则函数g（x）在（0，+∞）上为增函数， 则有g′（x）＝ex﹣3ax2≥0在（0，+∞）上恒成立，必有3a在（0，+∞）上恒成立， 设h（x）， 则h′（x）， 分析可得：在（0，2）上，h′（x）＜0，h（x）为减函数，在（2，+∞）上，h′（x）＞0，h（x）为增函数， 则h（x）在区间（0，+∞）的最小值为h（2）， 若3a在（0，+∞）上恒成立，必有a，即a的取值范围为（﹣∞，]； 故选：A． 2．（2026·浙江·模拟预测）已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设，由可得出， 即， 令，其中， 则，所以，函数在上为增函数， 则，则， 令，其中，， 令，其中，所以，， 所以，函数在上单调递增， 因为，， 所以，存在，使得，则， 令，其中，则，故函数在上为增函数， 因为，，所以，， 由可得，所以，，可得， 且当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，， 所以，. 故选：A. 3．（2026高三·山西运城·期末）已知函数，若，都有，则______________. 【答案】 【分析】根据不等式可求得函数在上单调递减，即在上恒成立，构造函数，对参数分类讨论，求出函数极值并利用不等式恒成立可得只有当时符合题意，即可得. 【详解】不妨取，由可得，即， 令，可得，， 即可得在上单调递减，所以在上恒成立， 又易知，则， 令，则； 当时，易知恒成立，此时在上单调递减，即在上单调递减， 又，所以当时，，不合题意； 当时，易知当时，，当时，， 即可得在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 若在上恒成立，即在上恒成立， 所以只需保证恒成立即可， 令，则， 显然当时，，当时，， 即可得，即在处取得极小值，又，即， 所以，即. 4．（24-25高三下·福建龙岩·月考）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，即可求出函数的单调区间； （2）由题意可得函数在上为减函数， ，令，讨论 的性质可得实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数定义域为， 且， 因为，当时，为减函数； 当时，为增函数； 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为； （2）不防设， 由，可得， 即， 即函数在上为减函数， 由， 所以在上恒成立，也就是， 令， 恒成立， 所以当时，为减函数， 的最小值为，所以， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第（2）问，由，得，即转化为函数在上为减函数， 再利用分离参数和导数求范围. 5．（25-26高三下·辽宁朝阳·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，对任意，且，使恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断函数的单调性，注意分类讨论. （2）把转化为，设，只需根据在上单调递增，求出正实数的取值范围即可. 【详解】（1）由题意：， 且. 由 若即，则，所以在上单调递减，在上单调递增； 若即，则或，所以在，上单调递增，在上单调递减； 若即，则在上恒成立，所以函数在上单调递增； 若即，则或，所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时，函数无单调递减区间，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，. （2）由得，（，且） 设， 由题意，在单调递增. 因为， 由时，恒成立，得. 又为正实数，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把转化为，设，然后问题转化成在上单调递增. 题型03 和差型指对同构（博朗同构） 【技巧通法·提分快招】 和差型指对同构也称朗博同构，构造方法如下： 1．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【分析】对不等式作等价变形，构造函数并探讨函数的性质，利用性质解不等式作答. 【详解】函数，则， 因，则不等式成立必有，即， 令，求导得，当时，，当时，， 因此，函数在上单调递减，在上单调递增，又， 当时，，于是得，即，令， 当时，，函数在上单调递减，，，因此，无解， 当时，，于是得，即，此时， 函数在上单调递增，，，不等式解集为， 所以不等式的解集为. 故选：B 2．（2026高三·山东聊城·期中）若对恒成立，则正实数的最小值是______． 【答案】 【分析】整理可得，结合函数的单调性可得，参变分离可得，令，，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果. 【详解】因为，则等价于， 可得，且， 令，，可得， 因为在定义域内单调递增，则，可得， 令，，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以正实数的最小值是. 3.（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，对任意恒成立， 所以在上单调增. 可变形为 ，即 因为在单调增， 所以，即对恒成立. 设，令，解得. 所以，单调减， ，单调增. 所以当时，有最小值. 所以，解得. 4．若，对任意恒成立，求a的取值范围. 【分析】构造函数，原不等式可转化为在上恒成立，利用单调性转化为，利用导数求的范围即可. 【详解】由可得：即为， 因为，故, 令，则在上恒成立， 易知函数在上单调递增，所以只需要 即，令，则，当时，， 所以在上为减函数，所以时，， 即，所以，结合，所以． 5．已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值； （2）若，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，，，， 则曲线在处的切线斜率，， 故曲线在处的切线方程为：， 结合题意从而有，，，所以. 所以，． （2）因为，即， 即， 构造函数，问题转化为 注意到函数在其定义域内为增函数， 故，即，所以. 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取极大值，即为最大值，所以的最大值为， 所以，则，故实数的取值范围为，. 题型04 积型指对同构 【技巧通法·提分快招】 积型： 说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知。 1．已知，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法1：因为是上增函数， 则即为， 所以，. 令，则，当时，； 当时，. 所以在单调递减，在单调递增， 故，因此， 即的取值范围是，故选：B. 解法2：因为是上增函数， 则即为， 所以，. 令，则， 当时，；当时，. 故在单调递减，在单调递增， ，因此， 即的取值范围是，故选：B. 2．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设有， 当即时，不等式恒成立； 当即时，设，则， 故在上为增函数，而即 因为，故即在上恒成立， 而时，恒成立即恒成立， 故在上恒成立， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故， 故，故选B. 3.（2026高三·安徽阜阳·期中）若，不等式恒成立，则正数的取值范围为______. 【答案】 【分析】当时，条件显然成立，所以只需处理的情况即可，此时，令，求导，利用函数的单调性转换求解即可. 【详解】， 又，所以， 当时，上式显然成立， 所以只需处理的情况即可， 此时， 令， 恒成立，所以严格递增， 在恒成立即可， 令，则， 令， 当时，，严格递增， 当时，，严格递减， 所以，所以， 4．（2026高三·重庆·阶段检测）若对任意， 恒成立，则实数的最小值是______． 【答案】 【分析】将给定不等式恒等变形，使不等号左右两边结构相同，构造函数，利用函数的单调性化简不等式，再变形并构造函数，借助导数求出最大值即可作答. 【详解】不等式， 令，则， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，因此，在上单调递增， 则， 令，则， 当时，；当时，， 于是得函数在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，即得， 所以实数的最小值为. 5．对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数． (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）显然，则，. （2）显然，则，. （3），. 题型05 商型指对同构 【技巧通法·提分快招】 商型: 1．已知函数f(x)=aexln x,g(x)=x2+xln a,a>0.设函数h(x)=g(x)-f(x),若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】 【解析】由h(x)>0,得g(x)-f(x)>0, 得aexln x<x2+xln a, 所以<+=, 即>对任意x∈(0,1)恒成立. 设H(x)=,则H′(x)=. 当x∈(0,e)时,H′(x)>0,H(x)单调递增; 当x∈(e,+∞)时,H′(x)<0,H(x)单调递减, 且当x∈(1,+∞)时,H(x)>0; 当x∈(0,1)时,H(x)<0, 若aex≥1>x,则H(aex)≥H(1)=0>H(x), 若0<aex<1,因为H(aex)>H(x), 且H(x)在(0,1)上单调递增,则可得aex>x. 综上可知,aex>x对任意x∈(0,1)恒成立, 即a>对任意x∈(0,1)恒成立. 设G(x)=,x∈(0,1),则G′(x)=>0, 所以G(x)在(0,1)上单调递增, 则G(x)<G(1)=, 所以a≥,即实数a的取值范围为. 2．已知函数f(x)=,若不等式f(x)≥对x∈(0,e]恒成立,求a的取值范围. 【解析】因为≥, 设函数g(x)=,x∈(0,e], 则≥等价于g(eax)≥g(x). ∵g′(x)=, ∴当x∈(0,e]时,g′(x)>0, 则g(x)在(0,e]上单调递增, ∴当x∈(0,e]时,g(eax)≥g(x)等价于eax≥x, 即a≥恒成立. 设函数h(x)=,x∈(0,e], 则h′(x)=≥0, 即h(x)在(0,e]上单调递增, ∴h(x)max=h(e)=,则a≥即可, ∴a的取值范围为. 3．若证明： 【分析】根据分析法，利用函数的导数，及二次求导结合函数单调性求证即可. 【详解】要证：, 即证：, 令, , 令，则， 所以在上单调递减，故，即， 在单减，故即证：，即证， 令，则时，，故单调递增， 所以，即成立. 问题得证． 4．已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域是， . 所以在点处的切线方程为， 切线经过点，则. ，设， 是的极小值点，且， 因此在恒成立， 所以函数的单调增区间为，无单调减区间. （2）在区间上恒成立，即， 令，则，即. 由（1），只需要，也就是在区间上恒成立. 设，. ， 故是的最大值， 所求的取值范围是. 题型06 比较大小之同构 【技巧通法·提分快招】 对于借助导数比较大小的问题，常结合所给的数的函数特征，构造同一个函数或多个函数，再研究其单调性，借助中间量法、放缩法等方法求解. 1．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设函数，则， 令，解得， 当时，可得，所以在上单调递增， 当时，可得，所以在上单调递减， 因为，，且，函数在上单调递增， 所以，即， 又，， 且，在上单调递减， 所以，即， 综上所述，可得. 2.（25-26高二下·广东阳江·期末）已知，，，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由于，所以， 设，则，当时，，当时，， 所以在单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以，两边同乘以得：，即，又， 所以，两边同乘以得：，即， 综上：. 3．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可知， 设，则， 因为在上都是减函数，所以也是减函数， 当时，， 所以在上单调递减，可得 ， ，所以． 4.若(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：对于A、B，由， 可得，令，则， 因为在R上是增函数，所以，故A正确，B错误； 对于C，取，符合，但，故C错误； 对于D，取，符合，但，故D错误. 方法二：对于A、B由，可得，令，则， 因为在上是增函数，所以，即， 对于C，取，符合，但，故C错误； 对于D，取，符合，但，故D错误. 故选：A. 5．（2026·陕西榆林·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 令，其中， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，即，故，则， 所以，，则，A错B对； 无法确定与的大小，故与的大小无法确定，CD都错. 故选：B. 题型07 同构+切线放缩 【技巧通法·提分快招】 同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．放缩也是一种能力 利用切线放缩，往往需要局部同构(利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可)，掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形） 1.（多选）（24-25高二下内蒙古期中）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】AB 【分析】根据已知不等式进行常变量分离，得到，观察分母，联想不等式，结合指数的运算性质进行放缩进行求解即可.. 【详解】由题意可得，则 . 设，则. 由，得，由，得，则在上单调递减， 在上单调递增，故，即. 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，则，故. 故选：AB 2．（2026高三·山东济南·期中）已知对于，都有，则的取值范围__________． 【答案】 【分析】原不等式等价于，然后通过研究，，，单调性可得答案. 【详解】因为，此时，即， 令，设，函数定义域为， 可得，因为函数在上单调递增，又， 所以，即，整理得， 设，函数定义域为，， 当时，，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以当时，取极小值也是最小值，最小值，即. 3．（2026高三·重庆·期中）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【详解】对任意的，恒有，则， 即， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增，且， 由可得，则， 参变分离可得，构造函数，其中， ， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，即实数的取值范围是. 4．（2025·湖南·二模）已知函数,证明：. 【详解】（1），， 当时，； 当时，要证，即证，即证 即证， 构造函数， 当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 所以函数在处取得最小值，所以，即可得证，所以； 5．（2024·贵州·模拟预测）已知函数. (1)若在点处的切线方程为，求实数的值； (2)设.在（1）的条件下，若满足，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义以及切线的性质进行求解. （2）根据已知，利用放缩法建立不等式，再通过构造函数，利用导数的单调性证明不等式. 【详解】（1）由题知：，，即切点为， 所以该点处切线的斜率，则， 故． （2）由（1）知，则等价于， 故，设， 则，所以当时，， 所以在上单调递增，所以， 即当时，，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即， 令，则，由有：， 所以当，则在上为增函数， 因为，所以，由有：， 则，即． 题型08 异构 【技巧通法·提分快招】 所谓异构，是指使用了多个不同的母函数，且把原式拆分成若干个均“ ”的复合函数的和，则原式“ ”，注意验证每个部分是否能够在同一个，取到最小值0，再去通过余量函数恒“ ”，得出的范围。注意要分别说明充分性和必要性。通常余量函数的特征为的函数形式，则最后，可得出的范围. 1．已知正实数，满足，则等于（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】 令 当时，，当时， ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增， 令 ， 当 时，， 当 时， ， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ， 2．已知函数，，若，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值. 【详解】由题意得，，，即， 令函数，则， 所以，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 又当时，，时，， 作函数的图象如图所示. 由图可知，当时，有唯一解，故，且， ∴.设，，则， 令解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ∴，即的最大值为. 故选：D. 3． 【证明】要证 ，即证 ， 又 ． 令 ， ∴ ． ∴ 当 时， ；当 时， ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴ ， ∴ ，当且仅当 时等号成立。 当且仅当 时取等号． 令， ∴， ∴ 在 上单调递增， 即， 所以 4．已知，当，时，求证：. 【证明】要证 令，， ，原式成立. 5.已知，设，求证：当时，恒成立。 【证明】要证当时，恒成立 ，令，可得 ，上式成立。 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则（　　） A．f（1）＞f（2） B．f（1）＞2f（2） C．f（2）＞﹣2f（﹣1） D．f（﹣2）＞﹣2f（1） 【答案】C 【详解】令，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0， 所以，g（x）在（0，+∞）单调递增， g（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 且，所以g（x）是偶函数， 对于A、B：因为g（1）＜g（2），即，所以2f（1）＜f（2），A、B错误； 对于C：因为g（﹣1）＝g（1）＜g（2），即，所以f（2）＞﹣2f（﹣1），C正确； 对于D：因为g（1）＜g（2）＝g（﹣2），即，所以f（﹣2）＜﹣2f（1），D错误． 故选：C． 2．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设，可得，可得， 令，则， 所以，函数在上为增函数， 对任意的恒成立，所以，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 所以，. 故选：B. 3．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的图象关于点对称，所以为奇函数， 令，则为偶函数，且， 由题意知当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ，即， 所以，即． 4．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，导函数为，满足（e为自然对数的底数），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在处取得极大值 C．存在唯一的实数使得 D． 【答案】C 【详解】设，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故，即，得，故选项A不正确； 可设，可得，所以，所以， 所以，由可得，由可得， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故选项B不正确； 又因为，可得函数大致图象如下： 结合图象知，存在唯一的实数使得，故C正确； 由于，而， 所以，故选项D不正确. 5．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知，，，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，则， ，，故，在上单调递增， 故，当时，恒成立，所以，所以； 设，，则， 设，， 又，则在上单调递减，， 故，则函数在上单调递减，即， 故当时，恒成立，    所以恒成立，即； 综上， 6．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得，即， 令，其中为常数， 又，代入可得，故， ，解得， ，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数和的图象，由图可知3是唯一的整数解， 故，解得. 7．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知函数的最小值为0，则a的值为（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【详解】函数的定义域为，且， 令，则， 由得，所以，即在上单调递增， 又时，，时，， 所以，使，即， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以. 由，消去得. 令函数，则， 所以在上是增函数，注意到，所以， 所以，解得. 8．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知定义在上的连续函数，其导函数为，若．且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造函数，该函数的定义域为，且函数在上连续， 则， 故函数为偶函数， 当时，，所以函数在上为减函数， 由可得， 即，可得，所以，则， 整理可得，解得， 所以不等式的解集为. 9．（25-26高三上·山西太原·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，定义域为， 对求导得： ， 令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减.故在处取得最大值， 则，，故，； 又因 ，， 因为函数在上单调递增，则，故，即. 综上可得. 10．（25-26高二下·天津静海·期末）已知函数，，若，，有，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，， 即，则 ，， 令，， 当 时，， 单调递增； 当 时，， 单调递减； 作函数 的草图如下， 由图可知，当时，有唯一解， 故，且，即， 设，则，令，解得， 当 时，，函数单调递增， 当 时，，函数单调递减， 故，即的最大值为. 11．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知函数， ，若 ，使得，则的最大值为（   ） A． B．-1 C．-e D． 【答案】A 【分析】转换，函数表达式，进而得到，之间的关系，即可求解. 【详解】因为，故设， 所以， 因此如果，则， 而对于，，因此在定义域上单调递增， 则应有，且，故， 设，所以， 因此当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以， 则的最大值为 12．（2026高三·全国·专题练习）已知，其中，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，，则， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 因为，所以， 又，不妨设，记，. 解法一：设， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 则，又，且在上单调递减， 所以，则，所以，故选D. 解法二：由，两式相减整理得， 由对数均值不等式，可得. 故选：D. 13．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，可得， 由，则，解得. 对于选项A：由题意可得：，则， 令，则， 可知在内单调递减，则， 所以，即，故A正确； 对于选项B：因为，则等价于， 由题意可得：，则， 令，则， 可知在内单调递减，则， 所以，即，故B正确； 对于选项C：因为，则等价于，即， 令，，则， 可知在内单调递减，则， 所以，即，故C错误； 对于选项D：令，，则，即， 可得，，则等价于， 令，则， 令，则， 可知在内单调递增，则，即， 可知在内单调递增，则， 即，所以，故D正确. 故选：C. 14．（多选）（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由，得， 即，令，即， 所以，令，解得， 当时，，所以在单调递增， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 又， 所以存在唯一的正根，即，所以， 所以，故A正确； 由，在单调递增，所以，故B错误； 由， 因为在上单调递增，所以， 又，所以， 所以，又，所以， 所以，故C正确； 由，令， 所以， 当时，，所以在单调递增， 所以， 所以，故D正确. 15．（2026·陕西西安·模拟预测）若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用 将原不等式变形，结合重要不等式 进行求解，推得 ，并验证该范围恒成立，求得实数的取值范围即可. 【详解】因为，所以原不等式转化为， 将 代入，得：，整理得：， 设，则，令，可得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以对任意 ， 所以，当且仅当 时，等号成立， 当 时，， 不等式变为：， 因为 ，所以必须满足：，即， 当 时，原不等式为：，即：， 令 ，则不等式化为 ，显然恒成立， 当且仅当 （即 ）时取等号， 当 时，在 （即 ）处，左边为 ，右边为 ，不等式不成立， 所以实数 的取值范围为. 16．（2026高三·全国·一轮复习）若时，恒有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】已知时，恒有， 原式等价于， 令，构造辅助函数， 求导得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极小值，即为最小值，故， 不等式变形为， 令，求导得，单调递增， 时，，时，， 则存在使得， 当时， ，，， 对任意恒成立； 当时，记，， 则，，由得，与矛盾； 综上． 17.（2026高三·湖北武汉·期中）已知对于，都有恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】 【详解】化简不等式为，即. 令，则不等式变为. ，求导得，所以在上单调递增， 又，所以等价于，即. 变形得，令，求导得. 令，解得，当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以在处取得最小值，即. 所以要使得不等式恒成立，则，所以. 所以实数的最大值为. 18．已知函数. （1） 讨论函数的零点的个数. （2） 证明：. 【详解】（1）函数定义域为，则，故在，递增，当时，，没有零点；当时，单调递增，，，由函数零点存在定理得在区间内有唯一零点，综上可得，函数只有一个零点. （2）法一：要证，即证，令，定义域为，则，由（1）知，在区间内有唯一零点，设其为，则①，因，且在区间上单调递增，∴当时，，，单调递减，当时，，，单调递增；∴，由式①可得，，∴，又时，恒成立，∴，得证. 法二：问题转化为证明，令，易知，(当且仅当时“”成立)又，则，故(当且仅当时“”成立). 19．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意的，且，恒有，求的取值范围. 【详解】（1）已知函数， 当时，则，， 可得，， 所以切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为函数，则， 由于对任意的，且，恒有， 即， 构造函数， 上述条件等价于对任意的，且，恒有， 可知在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 令，解得， 当时，，可知在单调递增； 当时，，可知在单调递减； 则在处取最大值， 可得，解得， 所以的取值范围为. 20．（26-27高三上·上海·开学考试）已知函数的图象上有不重合的两点，． (1)若，的图象在，两点处的切线相互平行，求的取值范围； (2)若，设的中点为，求证： ． 【详解】（1）由题意：，． 所以，． 又因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以， 因为且，所以， 即的取值范围是. （2）由题意， 则， 因为为的中点，则， 故， 由 ， 故要证，即证， 由于，即证， 不妨设，只需证，即证， 设，构造函数，则， 所以函数在单调递增，故， 即，从而． 创新能力提升 1．（2026·山东日照·模拟预测）已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 【答案】B 【详解】因为，所以 得，即 构造函数 ， 恒成立，所以单调递增， 因为 , 因此原等式可写为 由单调递增可知 ，故 即， 即 因为，，所以 , 所以 当且仅当，即时等号成立，此时 均满足 的条件，因此最小值为. 2．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，，若（），则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意可得，则， 由，则， 令，则， 令，可知函数在上单调递增， 所以有唯一解，即，即， 可得，所以， 令，则， 令，则， 令，解得，所以当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，为， 所以的最大值为1 3．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知正实数，满足不等式，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对题干所给不等式进行变形，得，结合和推得，解出a、b即可求得答案． 【详解】等价于， 两边同除以，得， 对于，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，即恒成立， 所以，当且仅当时取等号， 对于，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，即恒成立， 所以，即，当且仅当时取等号， 综上，，则（负值舍），， 所以，，，. 故选：C 4．（多选）（25-26高二下·山东泰安·期末）函数与被称为“函数中的双子座”，二者性质高度关联．下列选项正确的是（   ） A． B．若且，，则必有 C．若，则的最小值为 D．若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则 【答案】ACD 【详解】A选项：的定义域为，， 令得，令得， 所以在单调递增,在单调递减，故， 所以，即，，A正确； B选项，，令得，令得， 故在单调递增，在单调递减，， 其中，故的最大值相等， 故,有交点，， 的草图如下所示, 故与的大小关系不确定，B错误； C选项，，则， 由可得，所以. 因为在上单调递增，所以. 所以， 设，令，解得， 令得，令得， 故在单调递减，在单调递增. 于是在时有极小值也为最小值，C正确； D选项，由草图可知，且， 即，又，故， 因为，所以， 所以或， 因为，所以，所以舍去， 故， 同理，即，又，故， 即，又，故， 所以或， 因为，所以，故舍去， 所以，， 故. 又由，即，所以，即，D正确. 5．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）已知函数.若，，且都有.则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】先求导判断在上单调性，将化简为，进而得到在上单调递增，再利用构造函数法即可求得实数的取值范围 【详解】， 则 则在上恒成立 则在上单调递减 不妨设，则 则可化为 即 令，则在上单调递增 则在上恒成立 即在上恒成立 令，则 令，， 则，在上恒成立 则在上单调递减， 又，则在上恒成立 则在上恒成立 则在上单调递增 则，在上恒成立， 则，又，则 故实数的取值范围是 6．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数． (1)若函数在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，求证：； (3)设是函数的两个极值点，求证：． 【详解】（1）的定义域为在上恒成立， 所以在上恒成立， 又， 当且仅当时，等号成立，所以， 即a的取值范围是； (2)当时，， 要证明， 只需证，只需证，        记，则， 所以单调递增；单调递减， 成立 ； (3)由题意可知， 因为有两个极值点， 所以是方程的两个不等实根，， 所以， ，        所以要证， 即证， 即证，即证，即证，               令，则证明， 令，则， 所以在上单调递增，则， 即， 所以原不等式成立； 7．（25-26高二下·河南三门峡·期末）已知函数． (1)当时，证明：； (2)若存在两个极值点，，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【详解】(1)的定义域为， 当时，， ．令，则， 当时，；当时，． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 所以， 所以． (2)（i）因为，所以， 因为存在两个极值点，，且，所以在上有两个不等正根， 即有两个不等正根，令, 则，即，解得． 故实数的取值范围为 （ii）（ii）由（i）可得，， ， 所以． 要证， 只需证 即证． 令， 只需证， 令，则， 所以，所以在上单调递增， 因为，所以，即．所以． 8．（2026·福建宁德·二模）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)若恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得或， ①当时，由，得或，由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得或，由，得， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时，由，则函数在上单调递增. 所以当时，函数的单调增区间为，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为. （3）当时，不等式转化为， 令函数，求导得， 令（），求导得，函数在上单调递减， 且，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 则，又，即， 则，即， 所以，即实数的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $