22 函数的概念与性质常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2025年10月刊

高一数学经费雅方清中学生最理化 函数的概念与性质常见典型考题赏析 ■张文伟 李卿 题型1：求函数的定义域与函数的求值 例2(1)函数y=f(x)的定义域是 求函数的定义域应关注两点：要明确使 [一1,3]，则f(2x+1)的定义域为」 _o 各函数表达式有意义的条件是什么，如分式 (2)若函数y=f(3x+1)的定义域为 的分母不为0，偶次根式的被开方数非负， [一2,4幻，则y=f(x)的定义域是( y=x°要求x≠0；当一个函数由两个或两个 A.[-1,1] B.[-5,13] 以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定 C.[-5,1] D.[-1,13] 义域是使得各式子都有意义的公共部分的集 解：(1)令一1≤2x十1≤3，解得一1≤ 合。函数求值的两种方法：已知f(x)的表达 x≤1，所以f(2x十1)的定义域为[一1,1]。 式，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的 (2)由题意知一2≤x≤4，所以一5≤ 值；已知f(x)与g(x),求f[g(a)门的值，应 3x+1≤13，所以函数y=f(x)的定义域是 遵循由里往外的原则。 [-5,13]。应选B。 跟踪训练2：已知函数f(x一1)的定义 例1(1)函数f(x)=√x(x一1)- 域为{x|一2≤x3},则函数f(2x十1)的定 的定义域为。 义域为一。 (2)已知函数f(x)=x十1，则f(2)= 提示：由函数y=f(x一1)的定义域为 {x|-2≤x≤3}，可得一2≤x≤3，所以一3≤ ；当a≠-1时，f(a十1)=。 x一1≤2，即函数f(x)的定义域为{x|一3 解：(1)要使函数f(x)有意义，需满足 x≤2}。由函数f(2x十1)，可得一3≤2x十 x(x-1)≥0， 解得x≥1，所以函数f(x)的 x>0, ≤2，解得-2≤x≤2，即函数∫(2x+1)的 定义域为[1，十∞)。 定义域为一2≤≤》 (2)f(2)=2+1=5 22 题型3：求简单函数的值域 当a≠-1时，a十1≠0，所以f(a十1)= 求函数值域的四种方法：观察法，对于一 些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； a十1+a十 1 配方法，此方法是求“二次函数类”的值域的 跟踪训练1：若函数∫(x)=十x 基本方法；分离常数法，此方法主要针对有理 分式，即将有理分式转化为“反比例函数类” g(x)=√，则f[g(a)]的值为。 的形式，便于求值域；换元法，对于一些无理 提示：由题意知g(a)=√a,则f[g(a)] 函数（如y=ax士b士√cx王d),通过换元把 =f(Va)=-(Ja): a 它们转化为有理函数，然后利用有理函数求 1+(wa)21+a 值域的方法，间接地求出原函数的值域。 题型2：求抽象函数的定义域 例3求下列函数的值域。 已知函数f(x)的定义域为[a,b],求 (1)y=√x-1；(2)y=x2-4x+6,x∈ f[g(x)]的定义域时，不等式a≤g(x)≤b 的解集即为定义域。已知f[g(x)]的定义 1,5],(3)y=x+2x2+3;(4y=3x+2 x-19 域为[c,d],求f(x)的定义域时，求出g(x) 解：(1)因为√x≥0，所以√x-1≥-1， 在[c,d]上的范围（值域）即为定义域。 所以y=√x-1的值域为[一1，十o∞)。 41 中学生款理化餐典李疏方车10月 (2)配方得y=(x-2)2十2。因为x∈ (2)若f(a2+2)≥a十4，求实数a的取 [1,5],所以2≤y≤11，即所求函数的值域为 值范围。 [2,11]。 解：(1)由-5∈(-∞，-2]，1∈(-2， (3)令x2=t,t≥0，则g(t)=t十2t十 3=(t+1)2十2。由t≥0，可得(t十1)2≥1， 2)，一 2∈(-∞，-2]，可得f(-5)=-5+十 所以g(t)≥3，所以所求函数的值域为 1=-4,f10=3×1+5=8.f[f(-2)] [3,十∞)。 (4)因为y=31+2-3x-1)+5=3十 f(-+)=f(-)=3×(-) x-1 x-1 x≠3，所以所求函数的值域为（一©， 3)U(3,+0∞)。 (2)因为a2+2≥2，所以f(a2+2)= 跟踪训练3：求下列函数的值域。 2(a2+2)-1=2a2十3，所以不等式f(a2十 (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}；(2)y= 2)≥a十4可转化为2a2-a-1≥0，解得a≥ x2+2x+3;(3)y=x十2√x-I。 提示：(1)由y=2x+1,且x∈{1,2,3， 1或a≤一号，即实数a的取值范围是(-0， 4,5},可得y∈{3,5,7,9,11}，所以所求函数 ]U[1,+). 的值域为{3,5,7,9,11}。 (2)y=x2+2x+3=(x+1)2+2。由 跟踪训练4：(1)已知函数f(x)= (x十1)2≥0，可得(x十1)2+2≥2，所以所求 x-2,x<2, 则f(2)等于()。 函数的值域为[2，十∞)。 f(x-1),x≥2， (3)令t=√x-I(t≥0)，则x=t+1, A.-1 B.0 C.1D.2 g(t)=t+1十2t=(t十1)2。由t≥0，可得 (2)已知函数f(x)= g(t)=(t十1)2≥1，所以所求函数的值域为 x十1，x0, 2 [1,十∞)。 使f(x)≥一1成立的x (x-1)2,x>0, 题型4：分段函数的求值（或范围） 分段函数求值的方法与步骤：先确定要 取值范围是 求值的自变量属于哪一段区间；然后代入该 提示：(1)由题意得f(2)=f(2一1)= 段的解析式求值，当出现f[f(x。)]的形式 f(1)=1一2=-1。应选A。 时，应从内到外依次求值。已知分段函数的 2)当x≤0时，由f(x)>-1,可得2： 函数值求对应的自变量的值，可分段利用函 十1≥-1，解得x∈[-4,0]；当x>0时，由 数解析式求得自变量的值，但应注意检验函 f(x)≥-1，可得-(x-1)≥-1，解得x∈ 数解析式的适用范围，也可先判断每一段上 (0,2]。综上得x的取值范围是[一4,2]。 的函数值的范固，确定解析式再求解。若分 题型5：函数单调性的简单应用 段函数的自变量含参数，则要考虑自变量整 已知函数解析式求参数，可利用函数单调 体的取值属于哪个区间，根据对应的解析式 性确定参数满足的条件；当函数f(x)的解析式 整体代入，转化为方程或不等式求解。 例4已知函数f(x)= 未知求参数时，可利用函数单调性的定义和性 x十1，x-2, 质，将符号“”去掉，列出关于自变量的不等式 3x十5，-2x<2, (组)求解，此时应注意函数的定义域。 2x-1,x≥2。 例5(1)若函数f(x)=-x2-2(a+ 1)x十3在区间（一∞，3]上单调递增，则实数 (1)求f(-5),f(1 ,f[r(-] a的取值范围是 42 高一数学经费雅方清中学生最理化 (2)已知函数f(x)= 1)证明：函数f(x)在(2，+∞）上单调 (3a-1)x+4a,x1, 是定义在R上的减函 ax,x≥1 递诚。 数，则a的取值范围为_一。 (2)求函数f(x)在[1,5]上的最值。 解：(1)因为函数f(x)=一x2一2(a+ 解：1)设xx:是区间（经，+）上的 1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,所以 函数∫(x)的单调递增区间为 任意两个实数，且：>>≥分，则f(x) (-∞，一a一1]。因为f(x)在（一∞，3]上单 3 3 6(x2一x1) 调递增，所以3一a一1，解得a≤一4，即实 fx:)=2x1-2x=2x-10(2x,-T4 数a的取值范围为（一∞，一4]。 (2)因为(x)是定义在R上的减函数， 因为，>x>2,所以：->0，且(2， 3a-1<0, 1)(2x2-1)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即 所以一a<0, 解得 8 1)>f),所以函数(x)=2在 (3a-1)×1+4a≥-a×1, a<分即实数a的取值范围为[冬，）： 区间(？，+∞)上单调递减 跟踪训练5：已知f(2x-3)>f(5x (2)由(1)知函数f(x)在[1,5]上单调递 3 6),若f(x)是（一∞，十∞）上的增函数，则实 诚，所以f(x)=2x在区间[1,5]上的两 数x的取值范围为一；若∫(x)是定义在 个端点处分别取得最大值与最小值，即最大 (0,十∞)上的减函数，则实数x的取值范围 为 值为1)-8，最小值为f6)=号 提示：已知f(x)在（一∞，十∞）上是增 函数，且f(2x一3)>f(5x一6)，可得2x一 跟踪训练6：已知函数f(x)=2x+1 x十1 3>5.x一6，即x<1,所以实数x的取值范围 (1)判断f(x)在区间（一1，十∞）上的单 为（一∞，1）。 调性，并用定义证明你的结论。 已知f(x)是定义在(0，十∞)上的减函 (2)求f(x)在区间[2,4]上的最大值和 2x-3>0, 最小值。 数，则5x一6>0， 解得x> 之，所以实 提示：1)f(x)=2x+1-2红+2-1 x+1 2x-3<5x-6, x+1 数x的取值范围为（侵，十） 2-1 十，则fx)在（一1，十6∞）上单调递增。 题型6：利用函数的单调性求函数的最值 证明如下：Hx1,x2∈（一1，十∞），且 利用单调性求最值的一般步骤：判断函 x1<x2,则x1-x2<0,f(x1)一f(x2)= 数的单调性；利用单调性求出最值。函数的 2)-)=an< x1-x2 最值与单调性的关系：若函数f(x)在闭区间 0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在（一1， [a,b]上单调递减，则f(x)在[a,b]上的最 十∞)上单调递增。 大值为f(a),最小值为f(b);若函数f(x) (2)由(1)得f(x)在区间[2,4]上单调递 在闭区间[a,b]上单调递增，则f(x)在[a, 19 b]上的最大值为f(b),最小值为f(a);求最 增，所以f(x)m=f(4)=2一4十=5' 值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区 15 间，则不一定有最大（小）值。 fx)m=f(2)=22+=号，所以fx)在 例6已知函数f(x)=2x-° 3 区间[2,41上的最大值为号，最小值为？. 43 中学生款理化餐集贺翠被方德车1D月 题型7：利用函数的奇偶性求值 变量转化到同一个单调区间上，然后利用单 求函数解析式中参数的值，可根据 调性比较大小。 f(一x)=一f(x)或f(-x)=f(x),利用待 例8已知∫(x)是奇函数，且在区间 定系数法求解。若定义域含有参数，则根据 [0,十∞)上单调递增，则f(一0.5)，f(一1)， 定义域关于原点对称，利用区间端点值的和 f(0)的大小关系是( )。 为0求参数的值。 A.f(-0.5)<f(0)f(-1) 例7(1)若函数f(x)=ax2十bx+ B.f(-1)f(-0.5)<f(0) 3a+b是偶函数，定义域为[a一1,2a],则 C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) a= ,b= D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) (2)已知函数f(x)=x7一axi十bx3+ 解：由函数f(x)为奇函数，且f(x)在区 cx十2，若f(-3)=-3,则f(3)=」 间[0，+∞)上单调递增，可得f(x)在R上 解：(1)因为偶函数的定义域关于原点对 单调递增。因为一1<0.5<0，所以f(一1) <f(一0.5)<f(0)。应选B。 称，所以a-1十2a=0,解得a3了 跟踪训练8：设函数f(x)的定义域为R, 函数f)=子：+r十6+1为二次西 对于任意实数x,总有f(一x)=f(x),当 x∈[0，十∞)时，f(x)单调递增，则f(一2)， 数，结合偶函数图像的特征，易得b=0。 f(π)，f(一3)的大小关系是()。 (2)令g(x)=x7-ax5+bx3十cx,则 A.f(π)>f(-3)>f(-2) g(x)是奇函数，所以f(一3)=g(一3)十2= B.f(π)>f(-2)>f(-3) 一g(3)十2。 C.f(π)<f(-3)<f(-2) 因为f(一3)=一3，所以g(3)=5。又 D.f(π)<f(-2)<f(-3) 因为f(3)=g(3)+2,所以f(3)=5+2=7。 提示：（方法1）由题意知∫(x)为偶函 跟踪训练7：(1)已知函数f(x)=a.x2+ 数，则f(一2)=f(2),f(一3)=f(3)。当 2x是奇函数，则f(1)= x∈[0，十∞)时，函数f(x)单调递增，且2< (2)已知函数f(x)=x+1)(x+a)为 3<π，所以f(2)<f(3)<f(π)，即f(π)> 奇函数，则a= f(-3)>f(-2)。应选A。 提示：(1)由奇函数的定义得f(一x)+ (方法2)由偶函数与单调性的关系可 f(x)=0,即a(-x)2十2(-x)十a.x”十2x= 知，当x∈[0，十∞)时，f(x)单调递增，当 2a.x2=0。此式对Hx∈R恒成立，所以a= x∈（一∞，0]时，f(x)单调递诚，故其图像的 0,所以f(x)=2x,所以f(1)=2。 几何特征是自变量的绝对值越小，其函数值 越小。因为|一2|<|一3|<π，所以（π）> (2)因为函数f(x)为奇函数，所以 f(-x)=-f(x),即-x+1)-x+a) f(-3)>f(一2)。应选A。 题型9：利用函数的单调性与奇偶性解 -(x十1)(x十a。显然x≠0，整理得x 不等式 将所给的不等式转化为两个函数值的大 (a+1)x十a=x2+(a+1)x十a,所以2(a+ 小关系，利用奇偶性得出区间上的单调性，然 1)x=0,所以a十1=0，即a=-1。 后利用单调性“脱去”函数的对应法则“∫”，最 题型8：利用函数的奇偶性与单调性比 后转化为解不等式问题。 较大小 例9设定义在[一2,2]上的奇函数 若自变量在同一个单调区间上，直接利 f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1一m) 用函数的单调性比较大小；若自变量不在同 <f(m),求实数m的取值范围。 一个单调区间上，可利用函数的奇偶性把自 解：因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2] 44 高一数学经典是方清中学生款理化 上单调递减，所以f(x)在[一2,2]上单调递 D27-2,-方 1 减，所以不等式f(1一m)<f(m)等价于 1-m>1m, 解：由幂函数y=x”的性质，结合在第一 2≤m≤2， 解得-1≤m<名，所以实 象限内的图像可知，当n>0时，n越大，y= -2≤1一m≤2， x”递增速度越快，故曲线C1的n=2,曲线 数m的取值范固为[一1，) C:的n=2。当n<0时，|n越大，曲线越 跟踪训练9：已知f(x)是定义在R上的 陡峭，所以曲线C3的n=一 1 ,曲线C,的 偶函数，且在区间（一∞，0）上单调递增。若 n=一2。应选B。 f(-3)=0,则f2<0的解集为一 跟踪训练10：(1)比较下列各组数中两 x 提示：因为∫(x)是定义在R上的偶函 个数的大小。 数，且在区间（一∞，0）上单调递增，所以 ①()”与(3)：®(-)厂与 f(x)在区间(0，十∞)上单调递诚，所以 f(3)=f(-3)=0。当x>0时，由f(x)< ()厂'®()与 0=f(3),解得x>3;当x<0时，由f(x)> (2)已知幂函数f(x)=(m2一2m+1)· 0=f(一3)，解得一3<x<0。故所求的解集 为{x|-3x<0或x>3}。 x“音的图像过点(4,2)。①求∫(x)的解析 题型10：幂函数的图像与性质 式；②判断函数f(x)的单调性，并进行证明； 对于幂函数y=x°(a是常数)，由于a的 ③若f(a十1)>f(2a一3)，求实数a的取值 取值不同，因此相应幂函数的单调性和奇偶 范围。 性也不同。比较幂值大小的两种基本方法： 提示：(1)①幂函数y=x3在(0，十o∞)上 直接法，当幂的指数相同时，可直接利用幂函 是增函数，且号>行所以（号）”二（兮）。 数的单调性比较大小；转化法，当幂的指数不 ②幂函数y=x1在（一∞，0）上是减函 同时，可转化为相同的幂指数，再利用单调性 比较大小。 数且、 所以(-)(-〉） 例10图1中的曲线是幂函数y=x” 在第一象限内的图像，已知m取士2，士2四 个值，则对应于曲线C1,C2,C,C4的n依次 y=xT在(0，十∞)上单调递增，且2<5，所 为()。 以2<5，即（）<后 2 (2)①因为f(x)=(m2-2m+1)x” 为幂函数，所以m2-2m十1=1，解得m=2 或m=0。当m=2时，f(x)=x立，其图像过 点4,2)：当m=0时，f(x)=x音，其图像不 图1 A-2,-日22 过点4,2)，不符合题意。综上得f(x)=x ②f(x)=xz在[0，十∞)上为增函数。 B22--2 设x1,x2∈[0，十∞)，且x1<x2,则 c2-22日 1 fx)-f(x)=国-Va-- √x+√x2 45 中学生款理化餐典李疏方车10月 因为0≤x1<x2, x1一x2 =<0,所以 y(万元)可以看成月产量x(t)的二次函数。 √xi+√x 当月产量为10t时，月总成本为20万元；当 f(x1)一f(x,)<0,所以f(x1)<f(x),所 月产量为15t时，月总成本最低为17.5万元， 以函数f(x)在[0，十∞)上为增函数。 为二次函数的顶点。 ③已知函数f(x)在[0，十∞)上为增函 (1)写出月总成本y(万元)关于月产量 数，由f(a+1)>f(2a-3),可得 x(t)的函数关系式。 a+1>2a-3, (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元， 2a-3≥0， 解得2<a<4,所以实数。 那么月产量为多少时，可获最大利润？ a+1≥0， 提示：(1)由(15,17.5)为二次函数的顶 的取值范围为[多4)小 点，可设y=a(x-15)2+17.5(a≠0)。将 x=10,y=20代入上式得20=25a+17.5, 题型11：二次函数模型的应用 解得a=。所以函数y=(x-15)+ 1 解决这类问题，可利用配方法、判别式 法、换元法，以及函数的单调性等方法求最 17.5(10≤x≤25)。 值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最 (2)设最大利润为Q(x),则Q(x)= 省等问题，但要注意取得最值时的自变量与 1.6x-y=1.6x 实际意义是否相符。 [-15+1.5 例11某水果批发商销售每箱进价为 10x-23)2+12.9(10≤x≤25)。 所以当 40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元 月产量为23t时，可获最大利润12.9万元。 且不得高于55元。市场调查发现，若每箱以 题型12：函数图像的对称性 50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格 函数图像关于直线对称，如表1所示。 每提高1元，平均每天少销售3箱。 表1 (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售 y=f(x)在定义域 y=f(x)的图 单价x(元/箱)之间的函数关系式。 内恒满足的条件 像的对称轴 (2)求该批发商平均每天的销售利润侧 f(a十x)=f(a-x) 直线x=a (元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式。 (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以 f(x)=f(a-x) 直线x=号 获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)根据题意得y=90一3(x一50)， f(a十x)=f(b-x) 直线x=a十b 2 化简得y=一3x十240(50≤≤x≤55，x∈N)。 函数图像关于点对称，如表2所示。 (2)因为该批发商平均每天的销售利润 表2 =平均每天的销售量×每箱销售利润，所以 y=f(x)在定义域 y=f(x)的图像 =(x-40)(-3.x+240)=-3.x2+360x 内恒满足的条件 的对称中心 9600(50≤x≤55，x∈N)。 f(a-x)=-f(a十x) (a,0) (3)因为0=-3x2+360x-9600= 3(x一60)2+1200，所以当x<60时，随 f(x)=-f(a-x) (? x的增大而增大。又50x≤55，x∈N,所以 当x=55时，e有最大值，其最大值为1125。 f(a十x)=-f(b-x) ( 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以 f(a十x)+f(b-x)=( 获得最大利润，且最大利润为1125元。 ) 跟踪训练11：据市场分析，某海鲜加工 友情提示：若函数f(x十a)是偶函数，则 公司当月产量在10t至25t时，月总成本 函数f(x)关于x=a对称；若函数f(x十a) 46 经典题突破方法 高一数学2025年10月 中学生数理化 是奇函数，则函数f(x)关于点(a,0)对称。 例13已知函数f(x) 例12已知定义在R上的偶函数y= 普是定义 f(x),其图像关于点（侵，0）对称，且当x∈ 在（一1，止的奇函数，且/（号）号 (1)确定函数∫(x)的解析式。 [0,1]时，f(x)=-x+ 2,则f()等于 (2)用定义法证明f(x)在（一1,1）上是 ）。 增函数。 (3)解不等式f(t一1)十f(t)<0。 A.-1 B.0 C.1 1f(0)=0, 解：由y=f(x)的图像关于点（分0）对 解：(1)根据题意得 ()=，所以 5 称，可得f(侵+x)+f(3-x）=0,所以 a×0+b =0, 1+09 f(1十x)十f(一x)=0。由y=f(x)为偶函 经+6 解得a-1 所以函数∫(x)= 数，可得f(-x)=f(x),所以f(1十x)十 2 b=0, 1 51 f(x)=0,即f(1十x)=-f(x),所以 1十 4 r(层)=0+2)=-f(分)=名-3=0 1+x2x∈(-1,1)。 应选B。 (2)任取x1,x2∈（一1,1），且x1<x2,则 跟踪训练12：若函数f(x)在(0,2)上单 调递增，函数∫(x十2)是偶函数，则下列结论 f(x)-f（x:)=1十x1+ 正确的是( (x1-x2)(1-x1x2) A.f1)<f()<f(经)） (1+x)(1+》。因为-1<x<x,< 1,所以x1-x2<0,1+x1>0,1+x>0,1 B.r(2)<r<r() x1x2>0,所以f(x1)一f(x2)<0,即f(x1) <f(x2),所以f(x)在（一1,1）上是增函数。 c.f()<f()<f) (3)易得f(t一1)<-f(t)=f(-t)。 因为函数f(x)在（一1,1）上是增函数，所以 D.f(侵)<f1)<f() -1<t-1<1, 提示：由∫(x十2)是偶函数，可得 1<-4<1,解得0<t<合，所以所求不 ∫(2一x)=f(2十x),所以函数f(x)的图像 t1-t, 关于直线x=2对称，所以f(侵)=（受）， 等式的解集为小0<<号 跟踪训练13：已知函数f(x)的定义域 f(3)=f(2)。因为f(x)在0,2)上单调 为（一2,2），函数g(x)=f(x一1)十 递增，且<1<，所以f() f(3-2x)。 <f(1)< (1)求函数g(x)的定义域。 (侵)，所以（径）<f)<f() 应选B。 (2)若f(x)为奇函数，且在定义域上是 减函数，求不等式g(x)≤0的解集。 题型13：函数性质的综合应用 -2<x-1<2, 解答这类问题，要熟练掌握函数的奇偶 提示：(1)由题意知 解 -23-2x<2, 性、单调性的性质及变形，灵活应用解题技巧 -1<x<3, 进行化简、求值及证明，但要特别注意函数的 得 1 <点，即2<x<,所以函数 5 定义域。 2<x<2, 47 中学生款理化餐典李疏方车10月 &)的定义或为（侵·）： o)上的值线是(-，-] (2)由g(x)≤0，可得f(x一1)十f(3 又f(x)在(0,3]=(0,1]U[1,3]上先单 2x)≤0，所以f(x-1)≤-f(3-2x)。因为 调递减，然后单调递增，且在∫(1)处取得最 f(x)为奇函数，所以f(x一1)≤f(2x-3)。 小值f(1)=2,所以f(x)在(0,3]上的值域 又f(x)在（一2,2）上是减函数，所以 是[2，十∞)。 1x-1≥2x-3, 5 解得 <x≤2，所以不等式 故f)在[号o)U(0,3]上的值线 2<x< 8)0的解集为（号，2] 为(-，-]U[2,+a0) 跟踪训练14：已知函数f(x)= 题型14：对钩函数的图像与性质 x2-2x十a 函数f(x)=x+a(a≠0)的单调性：当 (1)当a=4时，求函数f(x)在x∈(0， a>0时，在区间（一∞，-√a)和（√a,十∞） 十∞)上的最小值。 上单调递增，在区间[一√a,0)和(0，Wa]上单 (2)当a>0时，求函数f(x)在[2，+∞) 调递减；当a<0时，在区间（一∞，0）和(0， 上的最小值。 十○)上单调递增。求对钩函数的最值，可以 提示：(1)当a=4时，函数f(x)= 利用函数的单调性及图像求最值，也可以利 用基本不等式求最值。 -2+4-x+1-2。当xe0,+0) 例14已知函数f(x)=x十 时，(x)=x+-2≥2· 4 x -2=2,当 x (1)x∈[1,3]，f(x)的最小值是一。 且仅当x=上，即正=2时等号成立，所以 (2∈[2]f)的值城为一 f(x)的最小值为2。 (3r∈[o)U0,3],fx)的值域 (2)函数f(x)=x十a-2。 x 为 由对钩函数的图像与性质可知，函数 解：(1)因为f(x)在[1,3]上单调递增， f(x)在(0，√a)上单调递减，在（√a,十∞）上 所以∫(x)的最小值为f(1)=2。 单调递增。 (2)因为函数fx)在[合]上单调递 当0<a≤4时，0<√a≤2，函数f(x)在 [2,十o∞)上单调递增，则f(x)m=f(2)= 诚，在[1,3]上单调递增，所以最小值为∫(1) =2.因为r()号< -f(3),所以最 号：当a>4时Wa>2,函数f(x)在[2后] 上单调递诚，在[√a,十∞)上单调递增，则 大值为f(3)= 3,所以函数f(x)在 1 f(x)n=f(a)=2√a-2。 [23]上的值为2,9] 设f(x)的最小值为g(a),即f(x)m= g(a),则g(a) 2,0<a≤4， 2√a-2,a>4。 因为函数f()在[-子，o0)上单调递 作者单位：1.河南省开封高级中学 减，且f(）=-,所以f(x)在[-2 2.深圳市富源学校 (责任编辑郭正华) 48