20 2025唱响函数性质新题-《中学生数理化》高一数学2025年10月刊

高一数学箭腰想酒开中学生最理化 2025“唱响” 函刻性质新题 ■王佩其 二、数值的比较大小问题 时值2025年，与数字2025有关的函数 例2【 20232+1 已知a= 性质的应用问题应运而生，可谓2025“唱响” 2022×2024,b- 函数性质新题。下面列举几例，与大家共赏。 2024+1 20252+1 2023×2025,c=2024×2026,则( )。 一、抽象函数的函数值问题 A.c>b>a 例1已知函数f(x)是定义在R上的 B.a>b>c C.a>c≥b D.c>a>b 偶函数，且Hx∈R,xf(x十2)=(x十2)· ∫(x)十1恒成立，则f(2025)=()。 解析：由题意设函数f(x)=十 x-= A-1R-号 C.1 -1十名当>1时1 x2-1 解析：Hx∈R,xf(x十2)=(x十2)· 2 f(x)+1恒成立，令x=n(n∈N”),则nf(n 0,则函数y=x二-在1，十○)上单调递减， +2)=(n+2)f(n)+1恒成立，即fn+2) 所以函数f(x)在(1，十∞)上单调递诚，所以 n+2 n(n+2),所以f(n+2) f(n) f(2023)>f(2024)>f(2025),即a>b> =f(n2+1 7 n+2 n c。应选B。 （日).据上可得，》-0 评注：解答本题的关键是根据三个式子 3 1 行）.@-1@2-（合）： 的特征，构滋西数)-兰}，即x) 3 x2+1 f(7)-f(5) (x-)(:十1，然后利用该函数的单调性比 7 2(层-7）…，1822 2025 较大小。 f(2023) 1/ 1 1 三、函数的不等式问题 2023 2(20232025 例3已知f(x)是定义在R上的奇函 以上各式两边分别相加得fC2025) 2025 数，当x1,x2∈(0，十∞)且x1≠x2时，都有 rw20-20)-82器 xf(x)-xf（x》>0成立，且f(2025)= x1x2(x1一x2） 在xf(x十2)=(x十2)f(x)十1中，令 2025,则不等式f(x)一x>0的解集 x=-1,可得-f(1)=f(一1)十1。因为 为( )。 f(x)为偶函数，所以一f(1)=f(1)十1，所 A.(-∞，-2025)U(2025,+∞) B.(-2025,0)U(2025,+∞) 以f(1)=一 2,所以(2025) 2025 (-) C.(-2025,2025) 2025,所以f(2025) 1012 =1012 2025 2025 -合所以 1 1 D.（一2025'2025 f(2025)=1012- 2025= 1 解析：构造函数g（x)=）,其中工≠ 2 。应选B。 评注：利用已知条件，结合赋值法及累加 0。因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以 法得到号-101）28器再利用偶函 g(-x)=f(-x)=f(x) 一x x =g(x),所以函数 数的性质得到所求的函数值。 g(x)为偶函数。当x1,x2∈(0，十∞)且 37 创新题追根溯源 中学生数理化高数学2025年10月 x1≠x,时，都有fx)一cf(x) x1x2(x1-x2) >0成 因为+号-（+2）a+6)= 立，不妨设x1<,则f）一xfx) b 2a TIT2 2a+3≥2√a ·b +3=3+2√2，当且仅当 fx)_f(x》<0,即g(x1)<g(x),所以 b 2a 6,即a=2-1,b=2-2时等号成立， 函数g(x)在(0，十∞)上为增函数，所以函数 g(x)在（一∞，0）上为减函数。因为 所以1十2的最小值为3十22。应选A a f(2025)=2025,所以g(-2025)= 评注：解答本题的关键是发现函数∫(x) 8(2025)= f2025)=1. 为奇函数，然后由f(2a一1)十f(2b一1)= 2025 0,求得a十b=1,最后利用“1”的代换，由 当x>0时，由f(x)-x>0得fx) x 日+号-（+a+6=++，销 a 1,即g(x)>g(2025),解得x>2025;当 合基本不等式求出最小值。 x<0时，由f(x)一x>0得<1，即 感悟收 g(x)<g(-2025),解得-2025<x<0 综上所述，不等式∫(x)一x>0的解集 已知函数f(x)=2025一2025十2， 为(-2025,0)U(2025,十∞)。应选B。 若(a+1)(b+1)>0,且f(a-1)+f(b)= 评注：解答本题的关键是构造函数g(x) 2 十1+6十的最小值为一。 4,则 =fx),其中x≠0，利用该函数的单调性与 x 提示：设函数g（x)=2025一2025， 奇偶性，结合已知条件得到g(一2025)= 可知其定义域为，定义域关于原点对称，且 g(2025)=1,然后将所求不等式转化为两个 g(-x)=2025-2025=-g(x),所以 x>0,和 x0, 不等式组 分别解之即 g(x)为奇函数，则f(x)=g(x)十2。因为 g(x)>1g(x)<1, f(a-1)+f(b)=g(a-1)+g(b)+4=4, 得所求的解集。 所以g(a一1)=一g(b)=g(-b)。又因为 四、代数式的最值问题 函数y=2025,y=一2025在定义域R上 例4 已知函数f(x)=2025-2025 单调递增，所以函数g(x)在定义域R上单 2 十x225,x∈R,若正实数a,b满足f(2a-1)+ 调递增，所以a一1=一b,即a十b=1,所以 26-1)=0,则日+ (a+1)+(b+1)=3>0且(a+1)(b+1)> 2 的最小值为( )。 a 0,所以a十1与b十1都为正实数，所以 A.2√2+3 B.4√2 7+[a+1)+o+1(品 2 C.2√2-3 D.√2+1 解析：由函数f(x)=2025一2025 )吉+1+≥(+ 2 x225,x∈R,可得f(一x)= 2025-2025 2a+1 b+1 )=1+22,当且仅当 -x2025= 2025-2025 x2025= 2=a十，即b=32-4,a=5-32时等 2 a+1 一f(x),所以函数f(x)为奇函数。 号成立，所以2 的最小值为1+2 因为正实数a,b满足f(2a一1)+ a+1 b+1 30 f(2b-1)=0,所以(2a-1)+(2b一1)=0， 作者单位：江苏省太仓市明德高级中学 可得a十b=1。 (责任编辑郭正华) 38