17 都是“定义域”惹的祸-《中学生数理化》高一数学2025年10月刊

高一数学描腰费有中学生最理化 都是“定义域”惹的祸 ■王朝中 函数的三要素中，定义域是十分重要的， f(x)=x2一1(x≥1)，这样才能保证转化的 研究函数的性质，应首先考虑函数的定义域。 等价性。 在求解函数问题时，若忽视函数的定义域，则 提醒：利用换元法引人新变量，通过新变 容易产生错解。 量对原变量求值域，这个值域应为外层函数 易错点一：求复合函数的定义域时忽视 的定义域。 “定义域”的意义 易错点三：换元法求函数的最值（或值 例1已知函数f(2x十1)的定义域为 域)时忽略“定义域” [1,2],则函数f(x一1)的定义域为( ）。 例3函数f(x)=4x-5十√2x一3的 A.[1,2] B.[4,6] 值域为( )。 C.[5,9] D.[3,7] A[+) B.[1,+∞) 错解：已知函数f(2x十1)的定义域为 [1,2],而函数f(2x+1)与f(x一1)的定义 D.(-c∞，1] 域相同，所以函数f(x一1)的定义域为[1， 2]。应选A。 错解：令t=√2x一3，则2x=t2十3，所 剖析：f(2x十1)与(x一1)是同一个外 以函数∫(x)等价于函数y=2(t”十3)一5十 层函数的复合函数，其内层函数的值域相同。 :=2++1=2(+)广+名≥名故所求 已知函数f(2x+1)的定义域为[1,2]， 由x∈[1,2]，可得2x+1∈[3,5]。 函数的值城是[尽，十)，应选A 对于函数f(x一1)，由3≤x一1≤5，可 剖析：令t=√2x一3，t≥0，则2x=t十 得4≤x≤6，所以函数∫(x一1)的定义域为 3。因为函数y=2t2十t十1在[0，+o∞)上是 [4,6]。应选B。 增函数，所以当t=0时，ymm=1。故函数 提醒：已知f(x)的定义域求f[g(x)] f(x)的值域是[1，十∞)。应选B。 的定义域，或已知f[g(x)门的定义域求 提醒：本题实质上是换元化归为二次函 f(x)的定义域，应遵循两点：定义域是指自 数在区间上的值域问题求解的，彰显了换元 变量的取值范围；在同一对应法则“∫”下，括 法在求复杂函数值域中的简化作用。 号内式子的取值范围相同。 易错点四：研究函数单调性时忽略“定义 易错点二：换元法求外层函数解析式时 域” 忽略“定义域” 例4函数y=√5-4x一x的单调增 例2已知f(√x+1)=x十2√元，求函 区间是()。 数f(x)的解析式。 A.[-5,+∞) B.[-2,+∞) 错解：令t=√十1，则√=t一1，所以 C.(-∞，-2] D.[-5,-2] x=(t-1)2,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1) 错解：令函数g(x)=5一4x一x2,则函 =t2-1,即函数f(x)=x2-1。 数g(x)的对称轴是x=一2，其图像是抛物 剖析：f(√x+1)=x十2√x中隐含着定 线，且开口向下，所以g(x)=5一4x一x2在 义域x≥0。令t=√元十1，可得t≥1，所以 (一∞，一2]上是增函数，所以y= f(t)=t一1的定义域为t≥1，所以函数 √5一4x一x的单调增区间是(-∞，一2]。 33 中学生数理化 易错题归类剖析 高一数学2025年10月 应选C。 剖析：上述解法只注意到了函数单调性 c(分) D.1,) 的“同增异减”法则，没有考虑函数的定义域， 错解：由(x)是单调递诚函数，且 从而导致了错解。 f(2a-3)<f(a-2),可得2a-3>a-2,解 易得函数y=√5一4x-x的定义域是 得a>1。应选B。 [-5,1]。因为函数g(x)=5-4x一x2在区 剖析：上述解法想当然地认为定义域是 间[一5，一2]上是增函数，在区间[一2,1]上 R,忽略了单调性是对区间而言的。因为 ∫(x)是定义在（一2,2）上的单调递减函数， 是减函数，所以y=√5一4x一x的单调增区 且f(2a-3)<f(a一2)，所以 间是[-5，-2]。应选D。 2a-3>a-2, 提醒：求复合函数单调区间的三个步骤： 求出函数的定义域；求出内层函数的单调区 0-22,解得1<a<号。应选D -22a-32, 间；利用“同增异减”法则求复合函数的单调 提醒：函数的单调性是函数的局部性质， 区间。 是对区间而言的，利用单调性解不等式，要注 易错点五：研究函数奇偶性时忽略“定义 域” 意函数的定义域 例5已知函数f(x)满足f(x2一3)= 感悟 x9 1gx-6,判断f(x)的奇偶性。 1.已知函数f(x)=√2一x,则函数 错解：设u=x2一3，则x2=u十3，所以 g(x)=f(2x)+f(x2)的定义域为( )。 fu)-lg《+3. u-3,所以f(x)=gx+3 因为 A.[-√2，√2] B.(-∞，√2] x-3° (-)1)=阳客+吉 C.[1w2] D.[-√2,1] 提示：由题意知f(x)=√2一x的定义 g1=0,所以f)=产为奇函数 域为（一∞，2]。要使g(x)=∫(2x)十∫(x) 2x≤2， 剖析：用换元法求出表达式，忽略了对定 有意义，需满足 x2≤2， 解得一√2≤x≤1，所 义域的研究致错。设u=x2一3，由题设知 x2一6>0，则u=x2一3=(x2-6)十3>3。 以函数g(x)的定义域为[一√2,1]。应选D。 由x《十3，可得了u)=1g十其定义域 2.已知函数y=2x-3一√a-4x的值 核为(e,],则实数a的值为一 为3，+∞)，所以函数f(x)=g32 提示：令√a一4x=t(t≥0)，则2x= 3),其定义域不关于原点对称，所以外层函数 a-t2 f(x)为非奇非偶函数。 2 ,所以原函数等价于函数g(t)=一 2 提醒：利用换元法求外层函数的表达式， a 一定要注意新变量对原变量求值域，这个值 一t+2一3，所以当t=一1时，g(t)取得最 域就是外层函数的定义域。 大值。又≥0，故当t=0,即x=子时，函数 易错点六：求解函数不等式时忽略“定义 域” g:)取得最大值，所以g()==受 例6已知f(x)是定义在(-2,2)上的 单调递减函数，且f(2a一3)<f(a-2),则 3 2,解得a-13. 实数a的取值范围是()。 作者单位：陕西省洋县中学 A.(0,4) B.(1,十∞) (责任编辑王琼霞) 34