14 例析函数奇偶性的应用&15 高斯函数及性质应用体验-《中学生数理化》高一数学2025年10月刊

中学生数理化 知识结构与拓展 高-数学2025年10月 一f(x);若f(x)是偶函数，则f(一x)= f(x）。 例析函数奇偶性的应用 三、求参数的值 例3若f(x)=(m一1)x2十6mx十2 是偶函数，则m= 解：因为f(x)是偶函数，所以f(一x)= (x)恒成立，即(m一1)x”-6m.x+2= (m一1)x2十6mx十2恒成立，也即12m.x=0 ■张冰 恒成立。又因为x∈R,所以m=0。 评注：若f(x)在x∈R上是偶函数，则 函数的奇偶性是函数的重要性质，也是 f(一x)=f(x)对x∈R恒成立。 每年高考的常考内容，下面举例说明函数奇 四、比较大小 偶性的应用，供大家学习与参考。 例4已知函数f(x)是[一5,5]上的偶 一、求函数的解析式 函数，在[0,5]上是单调函数，且f(一4)< 例1函数f(x)为R上的奇函数，当 f(一2)，则下列不等式一定成立的是()。 x>0时，f(x)=一2x2十3x十8，则函数 A.f(-1)<f(3)B.f(2)<f(3) f(x)= C.f(-3)<f(5) D.f(0)>f(1) 解：设x<0,则一x>0,所以f(一x)= 解：因为f(x)在[-5,5]上是偶函数，且 2(-x)2十3(-x)+8=-2x2-3x+8. f(一4)<f(-2),所以f(4)<f(2)。又 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)= f(x)在[0,5]上是单调函数，所以f(x)在 -f(-x),所以f(x)=2x2+3x-8,即当 [0,5]上单调递减，所以f(0)>f(1)。应选D。 x<0时，f(x)=2x2+3x-8。又f(x)为R 评注：比较大小的两种方法：自变量在同 上的奇函数，所以f(0)=0。综上可得，函数 一单调区间上时，直接利用函数的单调性比 -2x2+3x+8,x>0, 较大小；自变量不在同一单调区间上时，先利 f(x)=0,x=0, 用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区 2x2+3x-8,x<0。 间上，再利用单调性比较大小。 评注：若∫(x)的定义域内含有0且为奇 五、解不等式 函数，则必有f(0)=0。 例5已知函数f(x)是定义在（一2,2） 二、求函数的值 上的奇函数，又是增函数，则关于t的不等式 例2已知函数f(x)=xi十ax3十b.x f(t一1)+f(2t-3)<0的解集为 8,且f(一2)=10，则f(2)等于( ）。 解：因为f(x)为（一2,2）上的奇函数，所 A.-26 B.-18 以f(t-1)+f(2t-3)<0可化为f(t-1) C.-10 D.10 <f(3一2t)。又因为f(x)在（一2,2）上是增 解：设函数g(x)=x5十a.x3十bx,则函 数g(x)的定义域为R。因为g(一x)= 函数.所以-2<1-1<3-21<2，解得2< (-x)5十a(-x)3十b(-x)=-x5-a.x3 <号。故关于（的不等式f(1一1）十 bx=一g(x),所以g(x)为奇函数。 又因为f(-2)=g(一2)一8=10，所以 f(2:-3)<0的解集为（侵，专）. g(-2)=18,所以g(2)=-g(-2)=-18, 评注：解答本题的关键是不能忽视t一1 所以f(2)=g(2)-8=-18-8=一26。应 与3一2t都在区间（一2,2）上。 选A。 作者单位：西安交通大学附属中学 评注：若f(x)是奇函数，则f(一x)= (责任编辑王琼霞) 22 高一数学以栋构气丽肾中学生款理化 高斯函数及性质应用体验 ■赵忆 C.高斯函数为偶函数 一、利用高斯函数表示函数的解析式 例1某校要召开学生代表大会，规定 n++】]-✉+司 各班每10人推选一名代表，当班人数除以10 解：根据高斯函数的定义得x一[x]≥0 的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推 且x<[x]十1，即可判断A,B;举例即可判断 选代表人数y与该班人数x之间的函数关系 C,D。 用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最 因为[x]表示不超过x的最大整数，所 大整数，如[一1.3]=一2，[π]=3，[4]=4)可 以x一[x]≥0且x<[x]+1,所以[x]≤x 表示为( )。 [x]十1，B正确。由x<[x]十1，可得x [x]<1,所以0x一[x]<1,A正确。对于 A.y= x+2 10 C,设f(x)=[x],则f(1.5)=1,f(-1.5) C.y- 「x+4 D.y [鬥 =一2，所以高斯函数既不是偶函数也不是奇 L10 函数，C错误。对于D,当x=0.4时，[x] 解：因为各班每10人推选一名代表，当 各班人数除以10的余数大于6时再增选一 0[+2]=0,2x+]-1.3=1,D饿 名代表，所以当余数为7,8,9时可增选一名 误。应选AB。 代表，即x要进一位，故最小应加3，所以利 体验：不超过实数x的最大整数称为x 用取整函数可表示为y [ 应选B。 的整数部分，记作[x],如[4.4]=4，[一3.1] =一4，这一规定最早为数学家高斯所使用， 或者，利用特殊值法进行判断。取x= 故函数y=[x]称为高斯函数，又称取整函 16,17,对应的y=1,2,只有B满足要求。应 数。取整函数y=[x]的定义域为R,值域为 选B。 Z,且[x]≤x<[x]十1，取整函数不具有单调 体验：取整函数y=[x]的定义是不超过 性、奇偶性和周期性。 实数x的最大整数称为x的整数部分，记作 三、涉及高斯函数不等式的恒成立问题 [x],如[3.4]=3，[-2.1]=-3，这一规定最 例3函数f(x)=[x]被称为取整函 早为数学家高斯所使用，故函数y=[x]称为 数，也称高斯函数，其中[x]表示不大于实数 高斯函数，又称取整函数。取整函数揭示了 x的最大整数。若Hm∈(0，十∞)，满足 [x]≤x<[x]+1的关系，有利于研究剩余 类问题。 [x们+[x]≤m+1,则x的取值范围 二、高斯函数有关性质的探究 是()。 例2（多选题）[x]表示不超过x的最 A.[-1,2] B.(-1,2) 大整数。18世纪，函数y=[x]被“数学王 C.[-2,2) D.(-2,2] 子”高斯采用，因此得名为高斯函数。高斯函 解：利用基本不等式求出最值，结合一元 数的应用范围很广，在自然科学、社会科学及 二次不等式和取整函数的定义求出x的取值 工程学等领域都能看到它的身影，下列关于 范围。 高斯函数的相关结论正确的是()。 m2十1 A.0≤x-[x]<1 Hm∈(0，+o∞)， =m+ -≥2，当 B.[x]≤x<[x]+1 且仅当m=1时取等号。因为m∈(0， 23 中学生款理化架皱掉与新车1D月 十oo),满足[x]+[z]≤m中，所以[x]+ f(x)= (x十1)212(x十1)2-(x2+1) x2+1-2 2(x2+1) [x]≤2，即[x]+[x]-2≤0，所以([x]+ -+ x2+4x+11 2 十 2)([x]一1)≤0，解得一2≤[x]≤1，所以 2(x2+1) 一2x<2。应选C。 体验：涉及高斯函数不等式的恒成立问题， 令4=x+1,当x>0时，1=x十1≥ 利用分离参数法，转化为不等式恒成立问题求 1 出最值，再结合取整不等式即可求得结果。 2 /· :=2,当且仅当x=1时等号成立， x 感悟与收0 所以0<}≤子，所以日<fx)≤号 2× 1.(多选题)对于任意的x∈R,[x]表示 1 g即3<fx)<2 3 不超过x的最大整数。18世纪，y=[x]被 2 “数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数， 当x<0时，t=x十上≤-2· 人们更习惯称为取整函数。下列说法正确的 是()。 √-x)(-)=-2,当且仅当x=-1 A.函数y=[x],x∈R的图像关于原点 对称 时等号成立，所以一<}<0，所以日-2× t B.函数y=x一[x],x∈R的值域为[0,1) 1 C.对于任意的x,y∈R,不等式[x]+ 2 -≤fx)<即≤fx)< [y]≤[x+y]恒成立 综上所述，函数∫(x)的值域为 D.不等式2[x]+[x]一1<0的解集为 {x|0x1} [号，】。根指高斯函数的定义，可得函数 提示：对于A,当0≤x<1时，y=[x]= y=[f(x)]的值域是{一1,0,1}。 0,当-1<x<0时，y=[x]=一1，所以y= 3.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大 [x],x∈R不是奇函数，即函数y=[x],x∈ 整数，则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函 R的图像不关于原点对称，A错误。对于B, 数，如[一5.1]=一6，[7.1]=7。若函数 由取整函数的定义知[x]≤x<[x]十1，所以 2+5 x一1<[x]≤x,所以0≤x一[x]<1,所以函 f(x)= 2+1 ,则函数y=[f(x)]的值域为 数y=x一[x](x∈R)的值域为[0,1)，B正 ( )。 确。对于C,由取整函数的定义可知，Hx, A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} y∈R,[x]≤x,[y]≤y,所以[x]+[y]= C.{1,2,3,4} D.{2,3,4,5} [x]十[y]≤[x十y],C正确。对于D,由 2[x]2+[x]-1<0,可得(2x]-1)([x]+ 提示：已知f(x)=名十5-1十4 2+1 +1,因 1)<0,解得-1<[]<分，结合取整西数的 1 为2>0，所以1+2>1,0<2十1<1，所以 定义得{x|O≤x<1},D正确。应选BCD。 2.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大 1K1+2+75,即1<fx)<5。当1< 整数，则y=[x]称为高斯函数，如[一2.6] f(x)<2时，[f(x)]=1;当2f(x)<3 -3[3.7刀=3。已知函数f(x)=x+1) 时，[f(x]=2;当3≤f(x)<4时，[f(x)] x2+1 =3;当4≤f(x)<5时，[f(x)]=4。故函数 2,则函数y=[f(x)门的值域是一。 y=[f(x)]的值域为{1,2,3,4}。应选C。 作者单位：南京大学附属中学 提示：显然f(0)=子。当x≠0时，函数 (责任编辑王琼霞) 24