12 教你巧求函数的值&13 分段函数热点题型及解题策略-《中学生数理化》高一数学2025年10月刊

高一数学如阳售种拓骨中学生最理化 在函数问题中，常常会涉及求函数的值，下 面给出几种求解方法，供同学们学习与参考。 教你巧求函数的值 一、代入法 例1 已知函数子(x)= ■陈婷婷 +i,-1<x<0'若f(a)=f(a-1),则 2x,x≥0， 1,则f(2)-子。令a=2,b=-2,则f-2) f(a)-一 1 f(2)=4。 解：由函数的定义域可知，a>一1且a一 点评：当函数的解析式未知时，可利用特 1>-1,所以a>0。 值法求函数的值。 当0a<1时，由f(a)=f(a-1),可 四、换元法 得2a=后，解得a=子，所以f(日) 例4已知函数f(x)= f(4)=8。 z+2x+1x≤0'若f[f(a)]=-1,则 -x2,x>0, 当a≥1时，由f(a)=f(a一1)，可得 a= 2a=2(a一1)，这时无解。 解：设f(a)=t,则f(t)=一1。 综上可知（日）=8。 若t>0,则一t2=一1，解得t=1,所以 f(a)=1。 点评：已知函数的解析式求函数的值，常 当a>0时，可得一a”=1,这时方程无 用代入法求值。 解；当a0时，可得a2十2a十1=1，解得a= 二、性质法 0或a=-2。 例2若函数∫(x)= 1+,则f(1)+ x 综上所述，实数a的值为一2或0。 点评：已知函数值，求自变量的值，常用 F2)+f(3)+f(4)+f(2)+f(3)+ 分类讨论法或换元法求解。 ()=一 五、方程法 例5(1)已知函数f(x)=x十2x十1， 解：若逐个代入求值，则比较麻烦，可考 且f(a)=3,则f(-a)=。 虑先求f(x)+f()的值。易得f(x)+ (2)已知函数f(x)满足f(x)一 +中1，故式- 2f(-x)=2x(x∈R),则f(2)=。 解：(1)构造方程f(x)十f(一x)=2。 +[f2)+r(2]+[r3)+(号】+ 令x=a,可得f(a)十f(-a)=2,将f(a)= 3代人得f(-a)=2-f(a)=2-3=-1。 [+(]-点+1中1+1-2 (2)令x=2得f2)-2f(-2)=4,令 点评：充分挖掘函数的性质，可简化求解 过程。 x=-2得f(-2)-2f(2)=-4,由此可得 三、赋值法 例3函数f(x)满足对任意a,b∈R, f(2)=8 3 都有f(a十b)=f(a)f(b),且f(0)≠0。若 点评：求函数的值可以通过构造方程 (组)求解。 f1)=2,则f(-2)=一 作者单位：河南省商丘市实验中学 解：令a=b=0,则f(0)=1。令a=b= (责任编辑王琼霞) 19 中学生教理化高数学202年10月 知识结构与拓展 分段函数热点题型及解题策略 ■吴祺 张启兆 分析：根据图像，求出f(x)的解析式，再 分段函数是一种形式特殊且应用广泛的 利用不等式求解集。 常见函数，也是高考的重点考查内容之一。 解：由函数f(x)的图像为折线段ABC, 现将分段函数的热点题型及解题策略总结如 且点A(一2,0)，B(0,4),C(4,0),可设函数 下，供同学们学习与参考。 kx十b,一2≤x<0, f(x)= 结合点A,B,C 一、分段函数的求值问题 mx+n,0≤x≤4。 例1已知函数 f(x）= 的坐标得一2k十b=0,b=n=4,4m十n=0, x-3,x≥10， 所以k=2,m=一1。 则f(9)=( )。 f[f(.x+5)],x<10, 12x十4，一2x0, 所以f(x)= A.5 B.6 -x十4,0≤x4。 C.7 D.8 当一2≤x<0时，不等式f(x)≥(x 分析：根据分段函数的解析式，分段求解 2)2可化为2x十4≥(x-2),即x2-6x≤0， 即可。 可得0x≤6（舍去）；当0≤x≤4时，不等式 解：因为9<10，所以f(9)= f(x)≥(x-2)2可化为-x十4≥(x-2)2, f[f(9+5)]=f[f(14)]=f(14-3)= 即x2一3x≤0，可得0≤x≤3。 f(11)=11-3=8。应选D。 故不等式f(x)≥(x一2)的解集是[0， 评注：已知x求f[∫(x)]的值，一般是 3]。应选D。 从内到外依次求值，即先求f(x)的值，再求 评注：求解分段函数的不等式，关键在于 f[f(x)]的值。 对整体变量进行合理分类。 二、分段函数的不等式问题 三、分段函数的单调性问题 例2如图1，函数f(x)的图像为折线 例3 已知函数f(x)= 段ABC,则不等式f(x)≥(x-2)的解集 (3a-1)x+3a,x1, 在上单调递减，则 是( )。 -x2+1,x≥1 实数a的取值范围是( )。 A(后》 哈) -2 c(》 图1 A.[-2,0]U[3,4] D.(o,]u(G+) B.(-o∞，0]U[3,+∞) 分析：已知分段函数是减函数，它的每一 C.(0,3) 段都是减函数，且在分界点处从左向右的图 D.[0,3] 像逐渐下降，但在分界点处的函数值相等。 20 高一数学以栋构气丽肾中学生款理化 解：由y=(3a-1)x+3a在(-∞，1)上 x(1x40,x∈N),第x天的充电费 为诚函数得3a一10，显然y=一x2+1在 f(x)(元)近似地满足f(x)=35十 [1,十∞)上为减函数，且在分界点处满足 2x(1 (3a-1)+3a≥0，即6a-1≥0，所以 x≤40，x∈N),记盈利比= 收入 充电费，试问哪天 3a-1<0, 解得 <a<子所以实数a的 的盈利比最大。 6a-1≥0， 6 分析：分别计算在12：40一13：00时充电 取值范国是[日，号)应选B 10度，在13：00一15：00时充电20度的费用 评注：研究分段函数的单调性要注意两 即可得出答案。由题意得g(x)=165 点：一是要保证分段区间都为单调增（减）区 130-xf=135+x,1≤x≤30，x∈N. 根据 间，二是要保证从左到右图像上的点一直上 195-x,30<x≤40，x∈N, 升（一直下降）。 分段函数的性质，利用盈利比的单调性即可 四、判断分段函数的奇偶性 求得结果。 例4判断函数f(x)= 解：(1)因为11：00一13：00时电费是 0.5元/度，服务费为0.35元/度，13：00一15：00 x2-x-2,x<0, 的奇偶性。 时电费是1.15元/度，服务费为0.2元/度，又 -x2-x+2,x>0 车主小李充电30度需要60min,即2min充电 分析：利用函数奇偶性的定义进行判断。 1度，所以小李到商场12：40开始充电30度， 解：当x<0时，一x>0,则f(-x)= 则在12：40一13：00时段充电10度，此时 -(-x)2-(-x)十2=-(x2-x-2)= 费用为10×0.85=8.5（元），在13：00 一f(x)；当x>0时，一x<0,则f(一x)= 15:00时充电20度，此时费用为20× (-x)2-(-x)-2=-(-x2-x+2)= 1.35=27(元)，所以需要充电费为8.5十 —f(x)。 27=35.5(元)。 综上所述，对任意的x∈（一∞，0）U(0, (2)函数g(x)=165一|30-x|= 十∞)，都有f(一x)=一f(x),所以函数 135+x,1x30,x∈N, f(x)为奇函数。 195-x,30<x≤40，x∈N。 评注：分段函数奇偶性的判断要在每一 因为函数g(x)在(30,40]上单调递减， 段里分别判断，要注意函数解析式的分段选 1 择。对于奇偶性的判断，也可以通过函数图 而函数f(x)-=35十2x在(30,40]上单调递 像的对称性进行判断。 增，所以盈利比的最大值不可能在(30,40]上 五、分段函数的实际应用问题 取得。 例5电动出租车司机小李到商场里充 当x∈[1,30]，且x∈N时，盈利比= 电，充电费用由电费和服务费两部分组成，即充 135十x_ 270+2z=140+2x+130=2+ 电费一（电费十服务费）×度数，商场采用按时 1 70+x 70+x 35+ 22 间分不同时段的方式计算费用，11：00一13：00 时电费是0.5元/度，服务费为0.35元/度， 0干x,所以当x=1时，盈利比取得最大值 130 13:00一15：00时电费是1.15元/度，服务费 为0.2元/度，假定在充电时电量是均匀输人 为2 ,即第1天的盈利比最大。 的，车主小李充电30度需要60min。 评注：求解分段函数的实际应用问题，关 (1)小李从12：40开始到充电30度，需 键在于认真审题，在理解题意的基础上构建 要充电费多少元？ 分段函数模型求解。 (2)若小李在某年春运期间第x天的收 作者单位：江苏省无锡市青山高级中学 人g(x)(元)近似地满足g(x)=165一30一 (责任编辑王琼霞) 21