10 分段函数问题面面观&11 函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性考法聚焦-《中学生数理化》高一数学2025年10月刊

中学生数理化 知识结构与拓展 高一数学2025年10月 分我函数问题 C.1或4 D.2 分析：分a<1和a≥1两种情况，求 面面见 f(a)=1的解。 解：当a<1时，由f(a)=2-1=1得 a-1=0,解得a=1(舍去)；当a≥1时，由 ■胡贵平 f(a)=区=1得a=2,解得a=4。综上得 2 a=4。应选B。 题型1：分段函数的求值 题型4：分段函数的单调性 例1 已知函数f(x) 例4 已知函数f(x) /2(x≥0)， ax十1-a,0x1, 则f(log号)的值为 若Hx1,x2∈[0,2]，且 f(x+1)(x0) 2-ar,1<x≤2， 分析：根据分段函数的解析式，结合对数 x1≠，都有fx:）二f>0成立，则a 函数的性质与指数运算即得结果。 x2一x1 解：因为1og名-一1<1og,号<0，所以 的取值范围为一。 分析：利用分段函数单调递增的条件，列 f(1og:子)=f(1og号+1)=f(1og:专)。 不等式求出a的取值范围。 解：对于Vx1,x2∈[0,2]，且x1≠x2,都 又因为1og:专>0，所以f(og:） 有fx)-fxD>0成立，所以函数F(x) x2x1 f(og:专)=2子- 是增函数，则y=ax十1一a(0≤x≤1)和y= 39 2a“(1<x≤2)均为增函数，且1≤21“，所 题型2：解分段函数的不等式 a>0, 例2 已知函数∫(x) -x2-2x,x<0, 以受≤1，解得0<a≤1，所以a∈01小. 则不等式f(x)<2的解 1og2(x+1),x≥0， 21-“≥1， 集是()。 题型5：分段函数的新定义 A.(-c∞，2) B.(-∞，3) 例5新定义一种运算“⑧”，其运算法 C.[0,3) D.(3,十∞) 则为a⑧b= fa-b(a≤b), 分析：分别在x<0,x≥0的条件下化简 a+b(a=b), 如1☒2=-1， 不等式求其解集。 2☒1=3。已知a☒（一5）=2，则a的值 解：当x0时，不等式f(x)<2可化为 为()。 -x2-2x<2,所以x2+2x+2>0,可得x< A.3 B.-3C.7 D.-7 0;当x≥0时，不等式f(x)<2可化为 分析：根据新定义的运算法则，分类讨论 1og2(x+1)2,所以x十1<4，且x+1>0, 求值。 可得0≤x<3。综上可得，不等式f(x)<2 解：已知a⑧b= 1a-b(a<b)'当a≤ 的解集是（一∞，3）。应选B。 a+b(a>b),1 题型3：分段函数的求参数值 -5时，a☒(-5)=a-(-5)=2,可得a= 2r-1,x1, 3,不满足a≤一5，舍去；当a>-5时，a☒ 例3已知函数f(x)= 若 (-5)=a十(-5)=2，可得a=7,满足a> 2x≥1。 一5，符合题意。综上得a=7。应选C。 f(a)=1,则实数a的值为( 作者单位：甘肃省白银市第一中学 A.1 B.4 (责任编辑王琼霞) 16 高一数学识栋构气西肾中学生款理化 函数的单性、奇性、对称性及周期性考法聚焦 ■高嘉 聚焦一：抽象函数的单调性的应用 x1<,都有fx）-f(x) =x1十1十 例1已知函数∫(x)的定义域为R,对 任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)十 f(y)-1,当x>0时，f(x)>1,且f(2)=5, x1十7一 (x1十1)(x2十1)-a 则关于x的不等式f(x)十f(4一3x)<6的 (x1+1)(x2十1) <0成立 解集为( ）。 因为(x1-x2)<0,(x1+1)(x2+1)>0, A.(1,+o∞) B.(2,+∞) 所以(x1十1)(x2十1)-a>0,即a<(x1十 C.(-∞，1) D.(—∞，2) 1)(x2十1)，对任意x1,x2∈[1，十∞)恒成 解：利用定义证明函数∫(x)在R上单 立。注意到(x,十1)(x,十1)>4，则a4,即 调递增，再转化为不等式求解。任取x1< 实数a∈(-∞，4]。 x2,可得f(x2)一f(x1)=f(x2一x1十x1) 点睛：由f(x)xf(x) >0,可得 f(x1)=f(x2-x1)一1。因为x2-x1>0, x1一x2 所以f(x:-x1)>1,所以f(x2)-f(x1)> f(x1)f(x2) 0,所以f(x)在R上单调递增。不等式 ->0,可知函数(x) =x十 x1一x2 x f(x)十f(4一3.x)<6等价于不等式∫(x)十 f(4-3x)-1<5,即f(x+4-3x)<f(2)。 千在[1，十∞)上单调递增，通过构建 1+ 因为∫(x)在R上单调递增，所以4一 a<(x1+1)(x2+1)对任意x1,x2∈[1， 2x<2,解得x>1。应选A。 十∞)恒成立，即得实数a的取值范围。 点睛：证明抽象函数单调性的关键在于 聚焦三：利用奇偶性和单调性求解不等式 合理运用对应法则和题设条件。 例3已知f(x)为R上的减函数，设函 聚焦二：利用函数的单调性求参数的取 f(x),x≥0， 数g(x)= 则满足不等式 值范围 f(-x),x<0, 例2 已知函数f(x)= g(4一m)>g(m)的实数m的取值范固 x(c十1)十az,对任意两个不等实数x1· 是()。 x+1 A.(1,+∞) x:∈[1，十o∞)，都有f）fx》0. B.(2,+∞) x1一xg C.(-∞，1)U(1,+∞) 则实数a的取值范围是。 D.(-∞，2)U(2,+o∞) 解：任意两个不等实数x1,x2∈[1， 解：由题意知g(x)的定义域为R,且定 +60),由fx）二xfx)>0,可得 义域关于原点对称。当x>0时，一x<0, x1一xg g(x)=f(x),则g(一x)=f[-(一x)]= f(x1)f(x2) f(x1)f(x2) f(x)=g(x),当x=0,g(0)=f(0),当x< 1 11 >0,所以 x1一x2 0时，一x>0,由g(x)=f(-x),可得 g(-x)=f(-x)=g(x),所以g(x)为R 0,所以函数f=x十1十年在[1.+) 上的偶函数。又f(x)为R上的诚函数，所 x 以g(x)在[0，十∞)上单调递减，在（一∞，0） 上单调递增，则取任意x1,x2∈[1，十∞)，且 上单调递增。 17 中学生数理化贺极被掉与新车10月 因为g(4一m)>g(m),所以g(|4一 数，且f(2-x)=f(x),若f(1)=3,则f(1) m)>g(|m1),即|4-m|<|m|,解得m 十f(2)+f(3)+…+f(2026)=()。 2。应选B。 A.-3 B.0 点睛：依据奇函数在对称区间上的单调 C.3 D.2018 性一致，偶函数在对称区间上的单调性不一 解：利用对称轴和对称中心，探究周期 致这条性质可简化求解过程。本题中g(x) 性，即可简化求和。 为偶函数，在[0，十∞)上单调递减，则g(4 因为f(x)为（一∞，十∞）上的奇函数， m)>g(m)台g(4-m1)>g(m),这样避 所以f(一x)=一f(x)且f(0)=0。又 免了复杂的分类讨论。 f(2-x)=f(x),所以f(x)=-f(x-2)= 聚焦四：函数对称中心及对称轴的应用 -[-f(x-4)]=f(x-4),所以f(x)是周 例4我们知道，函数y=f(x)的图像 期为4的周期函数。 关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是 因为f(1)=3,f(2)=f(2-2)=f(0) y=∫(x)为奇函数，有同学发现可以将其推 =0,所以f(3)=f(3一4)=f(-1)= 广为：函数y=f(x)的图像关于点P(a,b) 一f(1)=一3，f(4)=f(0)=0,所以f(1)+ 成中心对称图形的充要条件是y=f(x+a) f(2)+f(3)十f(4)=0。故f(1)+f(2)+ 一b为奇函数。则求出函数f(x)=x3+3x f(3)+…+f(2026)=506×[f(1)+f(2) 的图像的对称中心为。类比上述推广结 +f(3)+f(4)]+f(2025)+f(2026)= 论，写出“函数y=f(x)的图像关于y轴成 f(1)+f(2)=3。应选C。 轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶 点睛：由函数的对称轴和对称中心的意 函数”的一个推广结论是。 义，借助周期的定义，可探究函数周期的大 解：f(x十a)-b=(x十a)3十3(x十a) 小。若相邻两对称中心为(a,0),(b,0),则 -b=x3+(3a+3)x2+(3a2+6a)x+a3+ T 3a2一b,且y=f(x十a)一b为奇函数，所以 =a一b:若相邻两对称轴为x=a,x 3a+3=0且a十3a2-b=0,所以a=-1, =|a一b|;若一个对称中心为(a,0), b=2,所以函数f(x)的图像的对称中心为 (-1,2)。 相邻的一条对称轴为x=b,则工=a一b。 若y=f(x+a)为偶函数，则f(一x+ a)=f(x十a),即函数y=f(x)关于x=a 感悟方收0 对称。反过来，若函数y=f(x)关于x=a 已知定义在R上的奇函数f(x),满足 对称，则f(一x十a)=f(x十a),所以y= f(x)十f(2-x)=2,则f(1)+f(2)+…十 f(x十a)为偶函数。 f(20)=()。 综上可知，命题的推广结论为“y=∫(x) A.0B.105 C.210 D.225 的图像关于x=a对称的充要条件是y= 提示：因为f(x)是奇函数，所以f(x)十 f(x十a)为偶函数”。 f(-x)=0。由f(x)十f(2-x)=2,可得 点睛：y=f(x)的图像关于点P(a,b)成 f(x+2)+f(一x)=2,则f(x十2)一f(x) 中心对称图形的充要条件是函数y=f(x十 =2。因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0,则 a)一b为奇函数，y=∫(x)的图像关于y轴 f(2)=2,f(4)=4,…,f(20)=20。又f(1) 成轴对称图形的充要条件是y=f(x十a)为 =1,所以f(3)=3,f(5)=5,…,f(19)= 偶函数。 19,所以f(1)+f(2)+…+f(20)=1+ 聚焦五：函数的奇偶性、对称性和周期性 2十…+20=210。应选C。 的综合应用 作者单位：江苏省淮安市淮海中学 例5已知f(x)是定义在R上的奇函 (责任编辑王琼霞) 18