5 抓住关键学好函数的单调性-《中学生数理化》高一数学2025年10月刊

中学生款理化架皱掉与新车1D月 抓住关键 学好函数的单调性 ■刘长柏 函数的单调性也叫函数的增减性，是指 立。 函数在其定义域内，随着自变量的增加或减 设a=f(-），6=f(2),c=f(e),则 少，函数值相应地增加或减少的性质。利用 a,b,c的大小关系为( 函数的单调性可以清楚地看出一个函数在一 A.c>a>b B.c>b>a 个指定区间内的变化趋势。 C.a>c>b D.ba>c 题型一：正向运用，判断函数的单调性 解：当x1≠x2且x1,x2∈(1，+∞)时， [f(x2)一f(x1)]·(x2一x1)<0恒成立，所以 例1已知函数f(x)=2x一4，且 x f(x)在(1，十∞)上单调递减。因为f(x)的图 f2)=号 像关于直线x=1对称，所以f(x)在（一∞，1） (1)求实数a的值。 上单调递增，且a=f(-2)=f(侣)。又因 (2)判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调 性，并证明。 为2<；<e,所以f(2)>f(侵)>f(e),即 2 解：1)由f(x)=2x-名，且f(2)= 9 b>a>c。应选D。 点评：若自变量的值不在同一个单调区 可得4一号-号所以a=一1 间，则要利用函数的性质，将自变量的值转化 到同一个单调区间内进行比较大小。 （2)函数f(x)=2x+是在(1，+∞)上 题型三：利用函数的单调性求最值 是增函数。任取x1,x2∈(1，十∞)，不妨设 例3已知函数fx)=十4 x1<x,则f(x)-f(x)=2x十 (1)判断f(x)在[-2,2]上的单调性，并 用定义证明。 2a+)=2(-x)+(日）=2(x (2)设g(x)=kx2十2kx十1(k≠0)，若 对任意的x1∈[-2,2]，总存在x2∈[一1， 2],使得∫(x1)=g(x2)成立，求实数k的取 (x2-x1)(2x1x2-1) 。由x1,x2∈(1，+o∞ 值范围。 解：(1)函数f(x)在[一2,2]上单调递 且x1<x2,可得x2-x1>0,2x1x2一1>0， 增。证明如下。 x1x2>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2) 设一2≤x1<x2≤2，则f(x1)一∫(x:) >f(x1),所以函数f(x)在(1，十∞)上是增 x2（x2-x1)(x1x2-4) 函数。 x号十4x号十4(x+4)(x+4) 点评：用定义法证明函数的单调性时，需 由一2≤x1<x2≤2，可得x2一x1>0。 要分两步：一是在定义域内设两个数x1,x 由x1x2<4,可得x1x2-4<0。所以f(x1) 且x1<x2;二是比较f(x1)与f(x2)的大小。 一f(x)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数 题型二：正向运用，比较函数值的大小 f(x)在[-2,2]上单调递增。 例2已知函数f(x)的图像关于直线 (2)对任意的x1∈[一2,2]，总存在x2∈ x=1对称，当x1≠x2且x1,x2∈(1，十o∞) [一1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立，所以函数 时，[f(x2)一f(x1)]·(x2一x1)<0恒成 f(x)的值域是g(x)的值域的子集。 8 高一数学以栋构气丽肾中学生款理化 由(1)知f(x)在[-2,2]上单调递增。 明确分段函数整体的单调性；二是注意分界 由f(-2)=- 12)=子，可得函数(x) 点处函数值的大小关系。 题型五：逆向运用，解抽象不等式 的值域为[] 例5 已知函数∫(x)= 当k>0时，函数g(x)在[-1,2]上单调 1x2十4x,x≥0， 若f(4一a)>f(a),则实数 4x-x2,x<0, 递增，由g(-1)=1-k,g(2)=8k十1，可得 a的取值范围是( )。 A.(-∞，2) B.(2,+∞) g(x)∈[1-k,8k+1]。由 解 C.(-∞，-2) D.(-2,十∞) 4 ≤8k+1, 解：当x≥0时，f(x)=x2十4x,其对称 得≥号 轴为x=一2，且图像的开口向上，所以 f(x)=x2十4x在[0，十∞)上为增函数，且 当k<0时，函数g(x)在[-1,2]上单调 f(x)≥f(0)=0。 递减，由g(一1)=1-k,g(2)=8k十1，可得 当x<0时，f(x)=4x一x2,其对称轴为 8k+1≤-1. 4 x=2,且图像开口向下，所以f(x)=4x-x g(x)∈8k+1,1-k]。由 解 1 在（一∞，0）上为增函数，且f(x)<f(0)=0。 ≤1-k, 综上可知，函数f(x)在R上为增函数。 得k≤ .5 (画出分段函数的图像，也可得到∫(x)在R 32。 上为增函数) 综上所述，k≤一品或k≥，即实数 因为f(4-a)>f(a),所以4-a>a,解 得a<2。应选A。 点评：对于与函数有关的不等式问题，需 点评：解答本题的关键在于确定函数的 要借助函数的单调性去掉函数符号“∫”，建立 单调性，从而确定函数的值域（或最值）。 新的不等式，从而求出解集。 题型四：逆向运用，求参数的取值范围 题型六：函数单调性的灵活应用 例4 已知函数f(x)= 例6设函数f(x)=x3-3x2+6x-6, x2+(2a十1)x,x≤1， 若f(a)=1,f(b)=一5，则a十b=( )。 在R上单调递增， ax+3,x>1 A.-2B.0C.1D.2 则实数a的取值范围是( )。 解：易得(x)=(x-1)3十3(.x一1) a[2+e) 2。因为f(a)=1,f(b)=-5,所以(a-1) B.(0,+∞) +3(a-1)=3,(1-b)3+3(1-b)=3. c臣 D.(0,3] 设函数f(t)=t3十3t,则上面等式可化 为f(a-1)=f(1-b)。 解：因为分段函数∫(x)= 易知函数f(t)=t3十3t在R上单调递 -x2+(2a+1)x,x≤1， 在R上单调递增， 增，所以a-1=1一b,即a十b=2。应选D。 ax+3,x>1 点评：解答本题的关键是先将函数∫(x) a≥0， =x一3x2十6x一6变形为f(x)=(x一1) 所以 2a2≥1 解得之≤a≤3， 十3(x一1)一2（这是求解此题的突破口），再 1+(2a+1)a+3, 利用所得式子，构造函数f(t)=t3十3t,最后 所以实数a的取值范围是[合]。应选℃ 利用函数∫(t)的单调性即可求得结果。 作者单位：江苏省盐城市时杨中学 点评：解答此类问题需要注意两点：一是 (责任编辑王琼霞) 9