3 函数的奇偶性问题揭秘”&4 已知函数的单调性，探究参数的取值范围-《中学生数理化》高一数学2025年10月刊

中学生教理化高数学2025年10月 知识结构与拓展 函数的奇偶性问题 f()关于点(1，号)对称，所以f(1)=号且 “揭秘 f(-x)=f(x),所以f(2-x)十f(-x)= 即2+x)+f)-号。又因为f2- 2 ■丁荣荣 x)+fx)=号所以f2+x)-f2-x) 揭秘一：由奇偶性求参数的值 0,即f(2十x)=f(2-x)=f(x一2)，所以 例1 已知函数f(x)=+ax一3是奇 f(x)=(x+4),即函数f(x)的周期为4。 函数，且在区间[m一1，m]上的最大值为2， 故f(2027)=f(507×4-1)=f(-1)= 则m=】 f1)-3 分析：利用f(一x)=一f(x),求出a的 揭秘四：奇偶性与单调性的应用 值，再利用f(x)的单调性，求得m的值。 例4若定义在（一∞，0）U(0,+∞)上 解：由奇函数知f(一x)=一f(x),所以 2-ax-3一+ax-3,可得2a.x=0,所 的奇函数f(x),对任意x1>x2>0,都有 -x f(x)<f(x》,且f(2)=4,则不等式 以a=0,所以函数f(x)=-3 =x-3 x f(x)<2x的解集为一。 因为f(x)在区间[m一1，m]上单调递增，所 分析：根据题意设函数g(x)=x》,且 以f(m）=m- 3=2,解得m=3或m= x≠0，利用g(x)的奇偶性和单调性，分情况 一1。故m=3或m=一1。 解不等式即得结果。 揭秘二：根据奇偶性和单调性解不等式 解：设函数g(x)=(x), x ,x≠0。因为 例2已知f(x)是定义在R上的偶函 f(x)是奇函数，所以f(一x)=一f(x),所 数，且在区间[0，十∞)上单调递减，则不等式 f(x一1)>f(2x+1)的解集为。 以g(一)=二2-g(x,即g(x)为偶 一x 分析：利用偶函数的性质和函数的单调 函数。由题意可知，当x1>x2>0时，都有 性即可求得解集。 g(x1)<g(x2),厅以函数g(x)在(0，十∞) 解：因为f(x)是定义在R上的偶函数， 上为减函数。又g(x)为偶函数，所以g(x) 所以f(|x一1|)>f(|2x+1|)。又因为 在（一∞，0）上为增函数。由f(2)=4,可得 f(x)在区间[0，十c∞)上单调递减，所以|x 1|<2x十11，即(x-1)2<(2x+1)2,化简 g(2)= 2=2,所以g(-2)=2。 2 得3x2十6x>0,解得x<-2或x>0。故不 由g(x)=fCx得f(x)=xg(),所以 等式的解集为（一∞，一2）U(0,十∞)。 x 揭秘三：奇偶性与对称性的应用 78(x)=f(x）二g(2)=2·或 例3已知函数f(x)是定义在R上的 f(x)<2x x>0 2 偶函数，且f(2-x)十f(x)=言，则 8(x)=f(x) >g(-2)=2, f(2027)=_。 解得一2<x<0 x<0, 分析：由题设得1)弓，结合周期性、 或x>2。所以x的取值范围为（一2,0）U 偶函数的性质求值。 (2,十∞)。 号知函数 作者单位：山东省威海市文登新一中 解：由f(2-x)十f(x)= (责任编辑王琼霞) 高一数学知贸德种与抵骨中学生款理化 已知函数的单调性，探究参数的取值范围 ■张振继（特级教师） 已知函数的单调性，求参数的取值范围 的取值范围是 是高考的常考题型，下面就已学过的几种函 2，+∞ 数进行举例分析。 三、分段函数型 一、二次函数型 例3 已知函数∫(x) 例1（多选题）已知函数f(x)=2ax 1(a-3)x十5，x≤1， 十4(a一3)x+5,下列关于函数f(x)的单调 a 是（∞，十∞）上的单 ,x>1 性说法正确的是()。 调递减函数，则实数a的取值范固是」 A.函数f(x)在（一∞，十∞）上不具有 解：由函数f(x)单调递减，结合分界点 单调性 a-3<0, B.当a=1时，函数f(x)在（一c∞，0）上 处的函数值，可得2a>0, 解得 单调递诚 (a-3)×1+5≥2a, C.若f(x)的单调递减区间是（一∞， 0<a≤2，故实数a的取值范围是(0,2]。 一4]，则a=一1 四、复合函数型 D.若f(x)在( ∞，3)上单调递减，则 例4已知f(x)=√ax2一2.x-5a十6 实数a的取值范国是[，] 在[2，十∞)上为增函数，则实数a的取值范 解：当a=0时，f(x)=一12x十5在 围是 (一∞，十∞)上是诚函数，A错误。当a=1 解：设函数g(x)=a.x2一2x一5a十6，则 时，函数f(x)=2x2一8x+5,其单调递减区 函数g(x)在[2，十∞)上为增函数，所以 间是（一∞，2]，因此函数f(x)在（一∞，0）上 a0, 单调递诚，B正确。由f(x)的单调递减区间 2 2a ≤2， 解得司 ≤a≤2，故实数a 2a>0, 是（一∞，一4]，可得 4(a-3) 此时 g(2)=2-a≥0， 一4， Aa a不存在，C不正确。当a=0时，f(x)= 的取值范围是[2] 一12x十5在（一∞，3）上单调递减；当a≠0 五、其他函数型 时，由f(x)在（一∞，3）上单调递减得 例5 函数f(x)=2x一2的定义域为 a≥0， (0,1]。若f(x)在(0,1]上是减函数，求实数 4(a一3) -≥3， 解得0<a<三。综上得实数 Aa a的取值范围。 a的取值范围是 37 解：设x1,x2∈(0,1]，且x1<x2,则 0,4】 ,D正确。应选BD」 二、反比例函数型 fx)-f)=(2a-是）-(2x4-是) 例2若函数f(x)=ax+1 x+2在(-2， 2(x1一 十∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 /2x1x2十a )>0,所以2x1x2+a<0,即a< -2x1x2。而-2x1x2∈(-2,0)，故a≤-2， 解：要使f(x)=ax十1 x十2=a L1一2a为增 x+2 即实数a的取值范围是（一∞，一2]。 函数，只需1一2a<0,解得a>故实数a 作者单位：河南省商丘市夏邑县佳合高级中学 (责任编辑王琼霞)