1 例析函数解析式的五种解法&2 小议函数单调性的应用-《中学生数理化》高一数学2025年10月刊

高一数学细阳德种与拓骨中学生最理化 例析函数解析式的五种解法 ■徐春生 一、待定系数法 2√x,可得f(t)=t2-1,t≥1，所以f(x) 例1设函数f(x)是单调递增的一次 x2-1,x≥1。应选C。 函数，且满足f[f(x)门=16x十5，则f(.x)= 点评：已知f[g(x)]=h(x),求f(x)的 ()。 解析式，采用换元法。令g(x)=t,求出x= A-4红-号 B4红-号 p(t),代人解析式求出f(t),然后将t换成 x,即得f(x)的解析式，但要注意新元的取值 C.4x-1 D.4x+1 范围。 解：由∫(x)是单调递增的一次函数，设 四、消参法 f(x)=a.x+b(a>0)。因为f[f(x)]= 例4已知函数f(x)满足2f(x)十 f(ax十b)=a(ax+b)+b=a2x+ab十b= x5所以二解得一4 f(）=x(x>0),则fx)= ”或 ab+b=5, b=1 解：由2f(x)+f(）=x(x>0),可用 a=-4, 5(舍去)，所以函数f(x)=4x十1。 b=- 代换x得2f(但)+f()-。 由方程组 3 2 应选D。 2f(x)+f(2）=x, 点评：已知函数的类型，可设出函数的解 解得f(x)= 2x2-1 2f(）+f)- 1 3x 析式，利用已知条件建立方程（组），求出相应 的待定系数，即得函数的解析式。 (x≥0) 二、配凑法 例2已知函数f(x十2)=x2一3x十4， 点评：当题设中出现f(x)与f(侵)或 则f(x)= 0 解：因为∫(x十2)=x2-3x+4=(.x2+ f(一x)时，可用上或一x代换x得到新方 4x+4)-7(x+2)+14=(x+2)2-7(x+2) 程，再与原方程组成方程组，即可得到∫(x) 十14，所以f(x)=x2-7x+14。 的解析式。 点评：已知f[g(x)]=F(x),求f(x) 五、赋值法 的解析式，采用配凑法。将F(x)改写成关于 例5设f(x)是R上的函数，满足 g(x)的解析式，然后以x代换g(x),即得 f(0)=1,且对任意实数x,y,有f(x一y)= f(x)的解析式。 f(x)一y(2x一y十1)，则f(x)=。 三、换元法 解：已知对任意实数x,y,有f(x一y) 例3已知f(x十1)=x+2√x,则 =f(x)-y(2x-y+1),令x=y,可得f(0) f(x)=()。 =f(x)一x(2x一x十1)。因为f(0)=1,所以 f(x)=x(2x-x+1)+1=x2十x+1。 A.x2-1(.x≥0)B.√E+1(x≥1) 点评：已知函数是抽象函数，一般采用赋 C.x2-1(x≥1)D.E-1(x≥0) 值法求函数的解析式。 解：令t=√x十1，t≥1，则t2=(√石+ 作者单位：广东省汕头市澄海凤翔中学 1)=x+2√E+1。由f(√x+1)=x+ (责任编辑王琼霞) 3 中学生款理化智识被黎与拓器年10月 小议函数单调性的应用 ■贺显孟 函数的单调性是函数的重要性质，求解 函数问题一般涉及函数的单调性。下面举例 解析：不妨设x1>,由）一(x x1一x2 说明函数单调性的应用。 >0,可得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)≥ 一、判断函数的解析式 f(x2),所以f(x)是定义在R上的增函数。 例1下列函数在区间(0,1)上是增函 由f(x十1)>f(2x),可得x十1>2x,解得 数的是( )。 x<1,所以f(x十1)>f(2x)的解集为 A.y=1-2x B.y=1 (一∞，1)。应选A。 x 点评：任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2, C.y=√x-1 D.y=-x2+2x f(x)-fx》0台f(x)在[a,b]上是增函 解析：易知函数y=1一2x和y=上在 x 数，f)-fx2<0台f(x)在[a,b]上是 TI-x2 (0,1)上为减函数，函数y=√x一1的定义域 减函数。任意x1,x2∈[a,b]且x1<x2, 为[1，十∞)不符合题意。应选D。 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0台f(x)在[a, 点评：熟记常见函数的图像与性质是解 b]上是增函数；(x1一x)[f(x1)一(x,)]≤ 题的关键」 0台f(x)在[a,b]上是诚函数。 二、比较大小 四、求最值 例2已知f(x)=x225- x7,且a= 例4函数y=√x+工一√：的最大值 f(√2)，b=f(3),c=f(5),则()。 为 A.a-bc B.a>c>b x十1≥0'可得x≥0 C.c-a>b D.c>b>a 解析：由z≥0， 解析：易知函数f(x)=x2025一1 所以函数y=√x十I一√的定义域为 了在 [0,十∞)。 (1,十∞)上单调递增。因为√5>√5>√2，所 函数y=√x+1一√ 以f(5)>f(5)>f(√2)，即c>b>a。应 =(+I-反)（十I+反） 选D。 √x+I十 点评：比较函数值的大小的关键是函数 1 的单调性的灵活应用。 +I+√x 三、解不等式 因为函数y=√x+I十√x在[0，十∞) 例3已知函数y=f(x)的定义域为 1 上是增函数，所以y= R,对任意x1,x2∈R且x1卡x2,总有 +T+石在[0， fx)-fx2>0,则f(x+1)>f(2x)的 十∞)上是减函数，所以当x=0时，y= x1一xg 1 三取得最大值1，即函数y= 解集是( )o √x+I+W A.(-∞，1) B.(1,十∞) √x+1一√x的最大值为1。 C.(-∞，1] D.[1,十∞) 点评：解答本题的关键是对所求函数解 高一数学如阳售种拓骨中学生最理化 析式进行分子有理化。 C.若f(t)十f(ta)=2f(t2),则t1+ 五、求参数的取值范围 t:<2t, 例5若f(x)=x2-2a.x十5(a>1)在 D.若f(t1)十f(t)>2f(t2),则t1+ 区间（一∞，2]上是减函数，且对任意x1, t:>2t: x2∈[1，a十1]，总有|f(x1)一f(x2)|≤4，则 解析：已知函数T=f(t)的图像上凹且 实数a的取值范围为一。 单调递诚，则上凹函数的性质为 解析：函数∫(x)的图像开口向上，且对 称轴为x=a。 af2≤f作)，当且仅当= 2 若f(x)在（一∞，2]上是减函数，则a≥ 时取等号，当1≠1时，可得)十ft) 2 2,所以f(x)在[1，a]上单调递减，在 [a,a+1]上单调递增，所以f(x)m。=f(a) f).设4<4，，由十=2，可 =5-a2,f(x)mx=max{f(1),f(a+1)}。 因为f(1)-f(a+1)=6-2a-(a+1)2+ 得4十=1。对于A,因为函数T=f(t)的 2 2a(a+1)-5=a(a-2)≥0，所以f(x)mx= 图像上凹且单调递减，所以)十f) f(1)=6-2a。 对任意x1,x2∈[1，a十1]，总有|f(x1) 一f(x2)l≤4，则f(x）mx一f(x)min≤4，可得 r)即f,)+f:)<2,A错 6-2a-(5-a2)≤4，即a2-2a-3≤0，解得 误。对于B,因为t1十t>2t,所以十 2 一1≤a≤3。 t2。结合函数T=f(t)的单调递诚，可得 又a≥2，所以2a3,即实数a的取值 范围固为[2,3]。 )<f4,),所以fa)+,)< 点评：对于与二次函数有关的单调性问 2f(t2),B错误。对于C,已知f(t1)十f(t) 题，常常结合对称轴与给定区间的关系，列不 =2f(t),由函数T=f(t)的图像上凹且单调递 等式求解。 六、求解实际问题 演得)f》<f(作)，所以 2 例6中国茶文化博大精深，茶水的口 感与水的温度有关。一杯80℃的热红茶置 f(作）>f,)所以<，即+，< 2 于20℃的房间里，茶水的温度T(单位：℃) 2t2,C正确。对于D,已知f(t1)十f(t)> 与时间t(单位：min)的函数T=f(t)的图像 2f43,由/)士<f）得u)+ 如图1所示。则下列说法正确的是( 2 )。 TA f)<2f(2),所以2f)<2f(2), 80 即f,<f(士)，所以，>，即 t1十t3<2t2,D错误。应选C。 20" 点评：识图、用图体现了数形结合思想的 应用。 f(t)+ft2表示f(t)与∫(t)的 2 图1 A.若t1十t4=2t2,则f(t1)十f(ta)> 算术平均数，产=表示：是，与，对 2f(t2) 应点的中点的横坐标。 B.若t1十t3>2t2,则f(t1)十f(ta)> 作者单位：湖北省巴东县第三高级中学 2f(t2) (责任编辑王琼霞) 5