精品解析：辽宁省大连市瓦房店市2025-2026学年九年级上学期10月学情调研数学试卷

辽宁省大连市瓦房店市2025-2026学年九年级上学期10月学情调研数学试卷 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三道大题，23道小题．满分120分．考试时长120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的） 1. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 6 B. 4 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，解方程即可求得的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后所得新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图像的平移规律即可解答；掌握函数图像平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度， ∴平移后所得抛物线解析式为． 故选：C． 5. 关于的一元二次方程的根的情况，下列说法中正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】解：， 该方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 6. 二次函数的最小值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由顶点式可知当时，取得最小值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴当时，取得最小值， 故选：D． 7. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 【详解】移项，配方，即可得出选项． 解：， ， ， ， 故选：A． 8. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转可得，，再证明是等边三角形，即可求出的度数． 【详解】解：， ． 将绕点顺时针旋转角至， ，， 是等腰三角形，且， 是等边三角形， ． 故选：D． 10. 若二次函数中x与y的对应值如下表： x 0 y 6 3 2 3 则当时，y的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由表格中的数据可得二次函数的对称轴为x=-1，根据对称性可得答案． 【详解】解：由表格可知，二次函数的对称轴为x=-1， 则x=1时的y值与x=-3时的y值相同， 即当x=1时，y的值为6． 故选B 【点睛】本题考查函数的表示方法、二次函数的对称性等，由表格中的数据得到二次函数的对称轴是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的较大的根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】 ∴ ∴， ∴一元二次方程的较大的根为， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 【答案】(1，) 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接写出答案． 【详解】解：点A（-1，3）关于原点对称的点A′的坐标是（1，-3）， 故答案为（1，-3）． 13. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【详解】赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数为场， 已知共比赛90场， 所以． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接，将绕A点顺时针旋转得到，当点A在x轴上运动，取最小值时，点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点间的距离等知识，分三种情况：当点在轴正半轴时；当点在原点时；当点在轴负半轴时，利用三角形全等的判定与性质、旋转的性质、两点间的距离公式，分别进行求解即可得到答案，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想解题． 【详解】解：当点在轴正半轴时，如图，作轴于，设，则，， ∵，， ∴，， ∵将绕A点顺时针旋转得到，， ∴， ∵， 在和 ， 当点在原点时，如图， ∵，， ∵将绕点顺时针旋转得到， ； 当点在轴负半轴时，如图，作轴于， 设，则 ∵，， ∵将绕点顺时针旋转得到，， 在和中， ， ∵点在第四象限， ∵， ∴， 综上所述，当时，取到最小值，最小值为， ∴点， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：， 则或， 解得； 【小问2详解】 解：， 则或， 解得． 17. 某苹果园种植一种优质苹果，随着果树的成长，该苹果园的总产量从年的吨增加到年的吨． （1）求这个苹果园总产量平均每年增产的百分率； （2）若平均每年增产的百分率率不变，年该苹果园的总产量能突破吨吗?请说明理由． 【答案】（1）这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； （2） 解：年该苹果园的总产量能突破吨， 理由如下： 吨， ， 年该苹果园的总产量能突破吨． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据苹果园两年的产量列一元二次方程求出平均增长率，根据平均增长率计算出年果园的总产量． 设这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是，可列方程，解方程可得这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； 根据平均增长率计算出年该苹果园的总产量，根据计算结果进行判断即可． 【小问1详解】 解：设这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； 【小问2详解】 略 18. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，直接写出时，自变量的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为 （2） 解：列表： 0 1 2 3 0 0 描点、连线，画图： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将二次函数解析式化为顶点式，即可得到二次函数的顶点； （2）利用描点法画函数图象； （3）根据二次函数的图象直接解答即可． 【小问1详解】 解：， 顶点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象得，当时，． 19. 如图，某儿童游乐中心的平面图可近似看成抛物线的一部分与线段围成的封闭图形，点P为抛物线的顶点，点O与点A关于该抛物线的对称轴对称，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，测得，点P到的距离，工作人员计划在抛物线上取点B、E（点B在点E的左侧），在线段上取点C、D，使得四边形区域为矩形，并将矩形区域规划为亲子益智区． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点B到x轴的距离为，求亲子益智区（矩形）的面积． 【答案】（1） （2）亲子益智区（矩形）的面积为 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）把代入（1）中解析式，求出，根据矩形面积求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，抛物线的顶点为Ｐ的坐标为， 设物线的解析式为， 把代入得，， 解得，， 所以，抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得， ， 整理得，， 解得，， ∴， ∴ 答：亲子益智区（矩形）的面积为． 20. 在中，．将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是点D、E． （1）如图1，当点E恰好落在边上时，求的度数； （2）如图2，当时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2） 证明：∵点F是边中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，和为等边三角形， ∴，， ∵点F为的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，进而计算出的度数； （2）利用直角三角形斜边上的中线性质和含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论． 【小问1详解】 解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上， ∴，，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：； （2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） 证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）四边形面积的最大值为． 【解析】 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 22. 问题背景：学习了几何变换旋转知识时，同学们总能想到我们熟悉的“手拉手”模型． 问题提出：（1）如图1，和都是等腰直角三角形，，．求证：． 尝试应用：（2）如图2，在（1）的条件下，点在同一条直线上，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点，若，求证：． 问题拓展：（3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，连接，取的中点，取的中点，连接，求的长． 【答案】 （1）证明：和都是等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接，设交于点， 由（1）得， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ， ，即， ． ， ， ． ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质即可求证； （2）延长至点，使，连接，设交于点，先用证明，由全等三角形的性质即可证明，再由，得到，最后利用“角所对的直角边是斜边的一半”即可求解； （3）取的中点为，连接，先证明，分别是，的中位线，得到，，再利用等腰直角三角形的性质证明，从而得到，最后用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）证明：如图3，取的中点为，连接， 分别是的中点，， 是的中位线，是的中位线， ， ，． ， ． ，即， ，即． 是等腰三角形，的中点为， ， ，即． ，即， ． 在和中， ， ， ． 是等腰直角三角形，且， 由勾股定理得，． 在中，， 由勾股定理得：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，角所对的直角边是斜边的一半，中位线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，函数与坐标轴分别交于点A，B（点在点的左侧），与轴相交于点，点B，C坐标分别为，，将函数的图象向左平移个单位长度，得到新的函数，函数的图象与轴相交于点，与函数的图象相交于点． （1）求函数的表达式及其顶点坐标： （2）当点的纵坐标取最大值时； ①求的值； ②点是否在直线上？请说明理由． （3）点，在函数的图象平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为点，求的最小值． 【答案】（1）顶点； （2）①的值为； ②设直线的表达式为， 把代入，得， 解得， ， 由题意得： 解得：， ∴， 把代入中， 得 ∴点不在直线上； （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解函数解析式即可； （2）①根据向左平移，顶点落在y轴上时，点D的纵坐标最大，得出点D的坐标为的顶点坐标进而即可得解；②设直线的表达式为，把代入进行求解并联立进而即可得解； （3）将点向右平移t个单位长度得到点，作点关于直线对称的对称点，连接，当共线时取得最小值，即为的长度，进而即可得解． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 函数的表达式为 ， 顶点为； 【小问2详解】 解：①∵向左平移，当顶点落在y轴上时，点D的纵坐标最大， ∴此时点D的坐标为的顶点坐标， ， ②略 【小问3详解】 解：将点向右平移t个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，， 的值最小就是最小值， ∴点在直线上运动， 作点关于直线对称的对称点，连接，当共线时取得最小值，即为的长度， 点关于直线对称的对称的点是点， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移和一次函数的图象和性质，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省大连市瓦房店市2025-2026学年九年级上学期10月学情调研数学试卷 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三道大题，23道小题．满分120分．考试时长120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的） 1. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. 6 B. 4 C. D. 0 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后所得新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况，下列说法中正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 二次函数的最小值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 若二次函数中x与y的对应值如下表： x 0 y 6 3 2 3 则当时，y的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的较大的根为______． 12. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 13. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 15. 平面直角坐标系中，，，A为x轴上一动点，连接，将绕A点顺时针旋转得到，当点A在x轴上运动，取最小值时，点B的坐标为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 某苹果园种植一种优质苹果，随着果树的成长，该苹果园的总产量从年的吨增加到年的吨． （1）求这个苹果园总产量平均每年增产的百分率； （2）若平均每年增产的百分率率不变，年该苹果园的总产量能突破吨吗?请说明理由． 18. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，直接写出时，自变量的取值范围． 19. 如图，某儿童游乐中心的平面图可近似看成抛物线的一部分与线段围成的封闭图形，点P为抛物线的顶点，点O与点A关于该抛物线的对称轴对称，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，测得，点P到的距离，工作人员计划在抛物线上取点B、E（点B在点E的左侧），在线段上取点C、D，使得四边形区域为矩形，并将矩形区域规划为亲子益智区． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点B到x轴的距离为，求亲子益智区（矩形）的面积． 20. 在中，．将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是点D、E． （1）如图1，当点E恰好落在边上时，求的度数； （2）如图2，当时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边的中点，求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：； （2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 22. 问题背景：学习了几何变换旋转知识时，同学们总能想到我们熟悉的“手拉手”模型． 问题提出：（1）如图1，和都是等腰直角三角形，，．求证：． 尝试应用：（2）如图2，在（1）的条件下，点在同一条直线上，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点，若，求证：． 问题拓展：（3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，连接，取的中点，取的中点，连接，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，函数与坐标轴分别交于点A，B（点在点的左侧），与轴相交于点，点B，C坐标分别为，，将函数的图象向左平移个单位长度，得到新的函数，函数的图象与轴相交于点，与函数的图象相交于点． （1）求函数的表达式及其顶点坐标： （2）当点的纵坐标取最大值时； ①求的值； ②点是否在直线上？请说明理由． （3）点，在函数的图象平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $