4.3一次函数的图象课堂讲义2025-2026学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦一次函数的图象这一核心知识点，系统梳理从定义（形如y=kx+b,k≠0）到图象画法（两点法及横纵坐标取整数的注意事项），再到位置关系（平移规律、平行条件）和性质（k、b对增减性及与坐标轴交点的影响）的知识脉络，同时关联正比例函数作为特殊情况的图象特征，构建完整的学习支架。 资料亮点在于通过分层练习（选择、填空、解答题）和详细解析强化应用，如第14题探究含绝对值的函数图象培养创新意识与几何直观，解答题结合图象分析提升推理能力。课中便于教师系统授课，课后学生可通过练习与解析查漏补缺，有效提升学习效果。

一次函数的图象课堂讲义 考点卡片 1．一次函数的定义 ( 1）一次函数的定义： 一般地，形如y ＝kx+b( k≠0 ，k、b 是常数）的函数，叫做一次函数． ( 2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y ＝kx+b( k≠0 ，k、b 是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0； 自变量的次数为 1 ；常数项 b 可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k ＝0 ，则y ＝b( b 为常数），此时它不是一次函数． 2．一次函数的图象 ( 1）一次函数的图象的画法：经过两点( 0 ，b）、( - ，0）或( 1 ，k+b）作直线y ＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线( 正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如 x ＝a，y ＝b 分别是与y 轴，x 轴平行的直线，就不是一次函数的图象． ( 2）一次函数图象之间的位置关系：直线y ＝kx+b ，可以看做由直线y ＝kx 平移|b|个单位而得到当 b＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 3．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点( 0 ，0）和定点( 1 ，k）两点的一条直线，它的斜率是k( k 表示正比例函数与 x 轴的夹角大小），横、纵截距都为 0 ，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 4 ．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y 随 x 的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y ＝kx+b 与y 轴交于( 0 ，b），当 b＞0 时，( 0 ，b）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当 b<0 时，( 0 ，b）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴． 课堂巩固练习 一．选择题( 共 5 小题） 1．( 2025 春•呼和浩特期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝x - k 和y ＝kx 的图象可能是( ) ( B ． )A． C ． D． 2．( 2025 春•青岛校级月考）一次函数y ＝kx+b( k≠0）的图象如图所示，当y＜2 时，x 的取值范围是 ( ) A ．x＞0 B ．x＜3 C ．x＜0 D ．x＞3 3 ．( 2025 春•玉环市校级月考）已知直线y ＝kx - 4( k 是常数，且 k≠0）经过点 A( - 1，y1）和点 B( - 3， y2），且y1＜y2 ，则 k 的值可以是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ． - 1 4．( 2025 春•广阳区月考）如图，水平轴为 x 轴，竖直轴为y 轴，若点( k，b）在第二象限，则函数y ＝kx+b的图象可能是 ( ) A ．以 M 为原点的直线 n B ．以 N 为原点的直线 n C ．以 M 为原点的直线 m D ．以 N 为原点的直线 m 5 ．( 2025•黄埔区二模）关于一次函数y ＝x+1 ，下列说法正确的是 ( ) A ．图象经过第一、二、三象限 B ．图象与 x 轴交于点( 0 ，1） C ．函数值y 随自变量 x 的增大而减小 D ．当 x＞ - 1 时，y＜0 二．填空题( 共 5 小题） 6 ．( 2025•周口校级三模）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象不经过第一象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ． 7 ．( 2025 春•西城区校级期末）已知一次函数y ＝4x+k - 2 ．若当 - 1≤x≤2 时，该函数有最小值 - 2 ，则 k 的值为 ． 8 ．( 2025 春•西城区校级期末）一次函数y ＝( k - 1）x+2k - 7 过第四象限，且y 随 x 的增大而增大，请写出一个符合条件的整数k 的值： ． 9 ．( 2025 春•中山区期中）点 A( 1，y1），B( 2，y2）在直线y ＝ - 6x+5 的上，则y1 y2( 用“< ” , “ = ”或“＞”填空）． 10．( 2025 春•路南区月考）已知一次函数y x + 2，当 1≤x≤4 时，y 的最大值是 ， y 的最小值是 ． 三．解答题( 共 5 小题） 11 ．( 2025 春•安远县校级月考） 已知一次函数y ＝ - 2x+4 解答下列问题： ( 1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象； ( 2）观察图象，当 0≤y≤4 时，写出 x 的取值范围． 12 ．( 2025 春•惠阳区校级月考） 已知一次函数yx+3． ( 1）填表： x … - 2 0 2 4 … y … … ( 2）画出该函数的图象． 13 ．( 2025 春•象州县期末）如图，A( m ，0），B( n ，0），且 m ，n 满足( m+2）2+|n - 2| ＝0 ，直线 AC 恰 好是一次函数y 的图象，CB⊥x 轴于 B． ( 1）求点 C 的坐标，并求△ABC 的周长； ( 2）在y 轴上是否存在点 P ，使得 S△ABC ＝S△ACP？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 14 ．( 2025 春•宜州区期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数y ＝2|x+1| - 3 的图象． ( 1）列表： x … - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 … y … 3 m - 1 - 3 - 1 n 3 … 表格中 m ＝ ，n = ; ( 2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ( 3）观察( 2）中所画函数的图象，求出当 x 取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ ( 4）写出关于 x 的方程 2|x+1| - 3 ＝x+1 的解，并利用( 2）中的图象简单说明此方程的解是如何得到的． 15 ．( 2025 春•阳信县期中） 已知一次函数y ＝( 1 - 2m）x+m - 1 ，求满足下列条件的 m 的值： ( 1）函数值y 随 x 的增大而增大； ( 2）函数的图象过第二、三、四象限． 学科网（北京）股份有限公司 课堂巩固练习 参考答案与试题解析 一．选择题( 共 5 小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 C A D B A 一．选择题( 共 5 小题） 1．( 2025 春•呼和浩特期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝x - k 和y ＝kx 的图象可能是( ) ( B ． )A． ( C ． )D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k 的符号，根据k 的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【解答】解：当 k＞0 ，正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数y ＝x - k 图象经过第一、二、三象限，故 A 选项错误，D 选项错误； 当 k＜0 ，正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数y ＝x - k 图象经过第一、三、四象限，B 选项错误、C 选项正确； 故选：C． 2．( 2025 春•青岛校级月考）一次函数y ＝kx+b( k≠0）的图象如图所示，当y＜2 时，x 的取值范围是 ( ) A ．x＞0 B ．x＜3 C ．x＜0 D ．x＞3 【答案】A 【分析】依据题意，直接根据函数图象即可得出结论． 【解答】解： 由题意，y＜2 表示函数图象在函数值小于 2 的部分， ∴结合函数图象可知，当 x＞0 时，y＜2． 故选：A． 3 ．( 2025 春•玉环市校级月考）已知直线y ＝kx - 4( k 是常数，且 k≠0）经过点 A( - 1，y1）和点 B( - 3， y2），且y1＜y2 ，则 k 的值可以是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ． - 1 【答案】D 【分析】由题意可知，y 随 x 的增大而减小，结合一次函数的性质，可得出k＜0 ，再对照四个选项，即可得出结论． 【解答】解： ∵直线y ＝kx - 4( k 是常数，且 k≠0）经过点 A( - 1，y1）和点 B( - 3，y2），且y1＜y2即y 随 x 的增大而减小， ∴k＜0， ∴k 的值可以为 - 1． 故选：D． 4．( 2025 春•广阳区月考）如图，水平轴为 x 轴，竖直轴为y 轴，若点( k，b）在第二象限，则函数y ＝kx+b 的图象可能是 ( ) A ．以 M 为原点的直线 n B ．以 N 为原点的直线 n C ．以 M 为原点的直线 m D ．以 N 为原点的直线 m 【答案】B 【分析】根据点( k ，b）在第二象限，可得k＜0 ，b＞0 ，再根据一次函数图象与系数的关系得函数 y =kx+b 的图象过第一、二、四象限，即可得出答案． 【解答】解： ∵点( k，b）在第二象限， ∴k＜0 ，b＞0， ∴函数y ＝kx+b 的图象过第一、二、四象限， ∴函数y ＝kx+b 的图象可能是以 N 为原点的直线 n．故选：B． 5 ．( 2025•黄埔区二模）关于一次函数y ＝x+1 ，下列说法正确的是 ( ) A ．图象经过第一、二、三象限 B ．图象与 x 轴交于点( 0 ，1） C ．函数值y 随自变量 x 的增大而减小 D ．当 x＞ - 1 时，y＜0 【答案】A 【分析】根据解析式y ＝x+1 逐一判断选项，即可解答． 【解答】解： 由题意可得 k ＝1＞0 ，b ＝1＞0， ∴图象经过第一、二、三象限，故 A 正确； 函数值y 随自变量 x 的增大而增大，故 C 错误；当y ＝0 ，可得 0 ＝x+1 ，解得 x ＝ - 1， ∴图象与 x 轴交于点( - 1 ，0），故 B 错误； ∵函数值y 随自变量 x 的增大而增大， ∴当x＞ - 1 时，y＞0 ，故 D 错误， 故选：A． 二．填空题( 共 5 小题） 6 ．( 2025•周口校级三模）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象不经过第一象限，请写出一个符合该条 件的一次函数的表达式y ＝ - 2x - 1( 答案不唯一） 【答案】y ＝ - 2x - 1( 答案不唯一）． 【分析】根据题意写出符合该条件的一次函数的表达式即可． 【解答】解： ∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴k＜0 ，b＜0， ∴符合条件的一次函数的表达式可以是y ＝ - 2x - 1，故答案为：y ＝ - 2x - 1( 答案不唯一）． 7 ．( 2025 春•西城区校级期末）已知一次函数y ＝4x+k - 2 ．若当 - 1≤x≤2 时，该函数有最小值 - 2 ，则 k 的值为 4 ． 【答案】4． 【分析】依据题意，根据函数的增减性，可得当 x ＝ - 1 时，y 取最小值为 - 2 ，从而代入函数解析式得出 k 的值即可得解． 【解答】解： 由题意， ∵4＞0， ∴函数y 随 x 的增大而增大． ∴当 x ＝ - 1 时，y 取最小值 - 2 ，即 - 4+k - 2 ＝ - 2．∴k＝4． 故答案为：4． 8 ．( 2025 春•西城区校级期末）一次函数y ＝( k - 1）x+2k - 7 过第四象限，且y 随 x 的增大而增大，请写出一个符合条件的整数k 的值： 2( 答案不唯一） ． 【答案】2( 答案不唯一）． 【分析】依据题意，由一次函数y ＝( k - 1）x+2k - 7 过第四象限，且y 随 x 的增大而增大，则 进而可得 结合 k 为整数，进而可以判断得解． 【解答】解： 由题意， ∵一次函数y ＝( k - 1）x+2k - 7 过第四象限，且y 随 x 的增大而增大， 又∵k 取整数， ∴k 可取 2． 故答案为：2( 答案不唯一）． 9．( 2025 春•中山区期中）点 A( 1，y1），B( 2，y2）在直线y ＝ - 6x+5 的上，则y1 ＞ y2( 用“< ” , “ =”或“＞”填空）． 【答案】＞． 【分析】由 k ＝ - 6＜0 ，利用一次函数的性质，可得出y 随 x 的增大而减小，再结合 1＜2 ，即可得出y1 >y2． 【解答】解： ∵k＝ - 6＜0， ∴y 随 x 的增大而减小， 又∵点A( 1，y1），B( 2，y2）在直线y ＝ - 6x+5 的上，且 1＜2， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 10 ．( 2025 春•路南区月考）已知一次函数y =一 x + 2，当 1≤x≤4 时，y 的最大值是 ，y 的最小值是0 ． 【答案】 0． 【分析】根据题意，得到k =一 ，再由一次函数的增减性解题即可． 【解答】解： 由条件可知一次函数y 随 x 的增大而减小， 故当 1≤x≤4 时， y 的最大值是 x ＝1 时，即y =一 y 的最小值是 x ＝4 时，即y =一 一 2 + 2 = 0，故答案为： 0． 三．解答题( 共 5 小题） 11 ．( 2025 春•安远县校级月考） 已知一次函数y ＝ - 2x+4 解答下列问题： ( 1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象； ( 2）观察图象，当 0≤y≤4 时，写出 x 的取值范围． 【答案】( 1）作图见解析；( 2）0≤x≤2． 【分析】( 1）依据题意，分别求得直线与 x 轴，y 轴的交点坐标，然后利用两点确定一条直线画出函数图象； ( 2）依据题意，利用数形结合思想解题． 【解答】解：( 1）在y ＝ - 2x+4 ，中，当 x ＝0 时，y ＝4，当y ＝0 时， - 2x+4 ＝0， 解得：x ＝2， ∴函数图象经过( 0 ，4）和( 2 ，0）两点，如图： ( 2）观察图象，当 0≤y≤4 时，x 的取值范围是 0≤x≤2． 12 ．( 2025 春•惠阳区校级月考） 已知一次函数yx+3． ( 1）填表： x … - 2 0 2 4 … y … 9 2 3 0 … ( 2）画出该函数的图象． 【答案】( 1） 3 ， 0； ( 2）见解答． 【分析】( 1）将 x 的值逐个代入y 计算即可得对应的y 值； ( 2）描点，连线即可画出函数图象 【解答】解：( 1）x ＝ - 2 时，y x ＝0 时，y x+3 ＝3；x ＝2 时，y x ＝4 时， 故答案为： 3 ， 0； ( 2）画出一次函数y 图象如下： . 13 ．( 2025 春•象州县期末）如图，A( m ，0），B( n ，0），且 m ，n 满足( m+2）2+|n - 2| ＝0 ，直线 AC 恰好是一次函数y 的图象，CB⊥x 轴于 B． ( 1）求点 C 的坐标，并求△ABC 的周长； ( 2）在y 轴上是否存在点 P ，使得 S△ABC ＝S△ACP？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】( 1）C( 2 ，2）， ( 2）P( 0 ，3）或 P( 0 ， - 1）． 【分析】( 1）根据非负数的性质得 m+2 ＝0 ，n - 2 ＝0 ，解得 m ＝ - 2 ，n ＝2 ，则 A( - 2 ，0），C( 2 ，2）然后根据三角形面积公式计算 S△ABC； ( 2）如图，AC 交y 轴于 E ，先确定 E( 0 ，1），利用三角形面积公式可得 EP 的长，由此可得结论 【解答】解：( 1） ∵( m+2）2+|n - 2| ＝0， ∴m+2 ＝0 ，n - 2 ＝0， ∴m ＝ - 2 ，n ＝2， ∴A( - 2 ，0），C( 2 ，2）， ∵CB⊥x 轴， ∴AB ＝4 ，BC ＝2， ∴△ABC 的周长为： ( 2）如图，设 AC 的解析式为：y ＝kx+b， ( 2k + b = 2 )把 A( - 2 ，0），C( 2 ，2）代入得： -2k + b = 0， 解得： ∴AC 的解析式为：y ，设 AC 交y 轴于 E， 则 E( 0 ，1）， 设点 P( 0，p）∴PE ＝|p - 1|， 由( 1）知：S△ABCAB•BC ∵S△ABC ＝S△ACP， ∴4 ＝2|p - 1|， ∴p ＝3 或p ＝ - 1， ∴P( 0 ，3）或 P( 0 ， - 1）． 14 ．( 2025 春•宜州区期末）综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数y ＝2|x+1| - 3 的图象． ( 1）列表： x … - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 … y … 3 m - 1 - 3 - 1 n 3 … 表格中 m ＝ 1 ，n ＝ 1 ； ( 2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ( 3）观察( 2）中所画函数的图象，求出当 x 取何值时该函数的有最小值．最小值是多少？ ( 4）写出关于 x 的方程 2|x+1| - 3 ＝x+1 的解，并利用( 2）中的图象简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】( 1）1 ；1 ；( 2）见详解；( 3）当 x ＝ - 1 时，函数有最小值为 - 3 ；( 4）x1 ＝ - 2 ，x2 ＝2 ，理由见详解． 【分析】( 1）将 x ＝ - 3 和 x ＝1 代入解析式求出 m 、n 值即可； ( 2）根据两点确定一直线画出一次函数图象即可； ( 3）根据函数图象，直接写出该函数的有最小值即可； ( 4）画出函数y ＝x+1 的图象，找到与函数y ＝2|x+1| - 3 的图象交点横坐标就是方程的解 【解答】解：( 1）将 x ＝ - 3 和 x ＝1 代入解析式可得： m ＝2×| - 3+1| - 3 ＝1 ，n ＝2×|1+1| - 3 ＝1，故答案为：1 ；1； ( 2）如图，根据两点确定一直线画出函数图象如下： 学科网（北京）股份有限公司 ( 3）根据图像得：当 x ＝ - 1 时， 函数y ＝2|x+1| - 3 有最小值，最小值为y ＝ - 3； ( 4）方程 2|x+1| - 3 ＝x+1 的解为：x1 ＝ - 2 ，x2 ＝2， 理由如下： 画出函数y ＝2|x+1| - 3 和y ＝x+1 的图象，如图所示： 函数y ＝2|x+1| - 3 和y ＝x+1 的图象交点坐标分别为 D( - 2 ， - 1），E( 2 ，3）， ∴关于 x 的方程 2|x+1| - 3 ＝x+1 的解为：x1 ＝ - 2 ，x2 ＝2． 15 ．( 2025 春•阳信县期中） 已知一次函数y ＝( 1 - 2m）x+m - 1 ，求满足下列条件的 m 的值： ( 1）函数值y 随 x 的增大而增大； ( 2）函数的图象过第二、三、四象限． 【答案】( 1）m ( 2）． 【分析】( 1）当y 随 x 的增大而减小时，1 - 2m＞0 ，解得即可得出结论； ( 2）函数的图象过第二、三、四象限时， ，解得即可得出结论【解答】解：( 1）根据函数增减性可知 1 - 2m＞0， 解得：m ∴当m 时，函数值y 随 x 的增大而增大； 学科网（北京）股份有限公司 ( 2） 由条件可知 解得：m ＜1， ∴当 时，函数的图象过二、三、四象限． 学科网（北京）股份有限公司 $