第4章幂函数 指数函数与对数函数单元测试（提高卷）-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第4章幂函数 指数函数与对数函数单元测试（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题 1. （2024-25高一上黄浦区卢湾高级中学期中）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由幂函数所过的点求参数a，即可得函数表达式. 【详解】由题设，，可得， ∴幂函数表达式为. 故答案为：. 2．（2024秋•普陀区校级月考）函数y＝ln（2﹣x）的定义域为　　． 【分析】对数的真数大于0，可求其定义域． 【解答】解：要使函数有意义，必有2﹣x＞0，即x＜2． 故答案为：（﹣∞，2）． 【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，解题时注意负数和0没有对数，是基础题． 3. （2024-25奉贤中学高一上期中）已知指数函数的图象经过点，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据指数函数的定义及图象经过点求解即可. 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：4. 4．（2023秋•静安区期中）已知函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm（x≠0）是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m＝　　． 【分析】由题意可得，m2﹣5m+7＝1且m＞0、m为奇数，由此求得m的值． 【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm（x≠0）是幂函数， 其图像分布在第一、三象限， ∴m2﹣5m+7＝1且m＞0、m为奇数， 则m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题． 5．（2023秋•徐汇区校级月考）已知函数f（x）＝4+ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是　　． 【分析】根据指数函数的性质，通过指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点A的坐标． 【解答】解：由指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点 而要得到函数y＝4+ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象， 可将指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位． 则（0，1）点平移后得到（1，5）点． 点P的坐标是（1，5）． 故答案为：（1，5）． 【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y＝4+ax﹣1（a＞0，a≠1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键． 6．（2024秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于_____ 【分析】首先根据函数是幂函数求，再根据函数所过定点求. 【详解】因为函数为幂函数，所以，得，即， 函数且的定点为， 即. 7．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）已知幂函数满足,则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义,得,解得或,分别代入判断函数单调性即可. 【详解】由幂函数的定义可知,,即,解得或. 当时,在上单调递减,不满足； 当时,在上单调递增,满足. 综上,. 8．（2024秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）函数的严格增区间为 . 【答案】 【分析】根据复合函数“同增异减”的法则，即可求解. 【详解】设，， 函数的定义域需满足，得， 根据复合函数“同增异减”的法则，可知，外层函数为单调递减函数， 要求复合函数的单调增区间，只需内层函数单调递减，即， 综上可知，，即函数的严格增区间为. 故答案为： 9.（2024·上海高一上阶段练习）不等式的解集为_____ 【答案】； 【解析】 因为，函数在R上单调递减， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 10．（2024秋·江西上饶·高三上饶市第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是______ 【分析】函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要在区间上单调递增且即可． 【详解】解：令， 由题意知：在区间上单调递增且， ，解得， 则实数的取值范围是． 11．（2023秋•临澧县校级期末）某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝ae﹣bt，其中a，b都是正常数，则该种放射性元素的原子数由a个减少到个时所经历的时间为t1，由个减少到个时所经历的时间为t2，则＝__________ 【分析】由N＝ae﹣bt，利用t＝0求出N＝a，再求出N＝时求出t1，N＝时求得t和t2的值，从而求出的值． 【解答】解：由N随t的变化规律是N＝ae﹣bt， 当t＝0时N＝a，若N＝，则e﹣bt＝，所以﹣bt＝ln＝﹣ln2，解得t＝； 若N＝，则e﹣bt＝，所以﹣bt＝ln＝﹣2ln2，解得t＝； 所以t1＝，t2＝﹣＝， 所以＝1． 【点评】本题考查了指数函数模型应用问题，也考查了对数的运算性质，是中档题． 12．（2023·上海高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 值域为R， 设，所以可以取遍中任意一个数，所以 所以的取值为 故答案为： 二、选择题 13.（2024-25奉贤中学高一上期中） 下列图象中，最符合函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的图象判断即可. 【详解】由，函数的定义域为，排除BC， 因为，所以函数的图象呈现下凸的趋势，排除D. 故选：A. 14. （2024-25大同中学高一上期中）已知，令，，，那么之间的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵，∴，，，即，故选C． 15．（2024-25上海师大附中高一上期中）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【详解】解：函数 因为已知图象连续，且不恒等于1，所以且 当时,,其图象大致为： 当时，,其图象大致为： 因为函数的图象在第一象限单调递增，所以. 当时，其图象大致为： 当时，其图象为： 当时，其图象大致为： 对照已知图象，可得：且 故选：B. 16．（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图像过的定点和函数的值域可判断正确选项. 【详解】，函数定义域为， 有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合. 故选：C. 三、解答题 5．（2024秋•金山区期末）已知幂函数y＝f（x）在其定义域上是严格增函数，且（m∈Z）． （1）求m的值； （2）解不等式：． 【分析】（1）根据幂函数的图象与性质，结合题意求出m的值； （2）由题意不等式化为|x|﹣2＜，讨论x的取值去掉绝对值，由此求出不等式的解集． 【解答】解：（1）因为幂函数y＝f（x）在其定义域上是严格增函数，且（m∈Z）， 所以＞0，解得0＜m＜2， 又因为m∈Z，所以m＝1； （2）由（1）知，f（x）＝，x∈[0，+∞）， 所以不等式可化为0≤|x|﹣2＜， 等价于或， 解得2≤x＜3， 所以不等式的解集为[2，3）． 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了函数的性质应用问题，是基础题． 18. （2024-25奉贤中学高一上期中）已知幂函数在上为严格增函数． （1）求的解析式； （2）若对任意x都成立，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性列式求解即可； （2）分析可知原题意即为对任意x都成立，分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立问题列式求解即可. 【小问1详解】 由题意可得：，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，即，可得， 原题意即为对任意x都成立， 若，即时，不恒成立，不合题意； 若，即时，则，解得， 所以k的取值范围为. 19．（2023·上海市第二中学）已知函数，其中. （1）求函数的定义域； （2）解不等式. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为； （2）等价于， 当时，单调递增， 所以，解得：， 又因为， 所以， 所以不等式的解集为. 【点评】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，是基础题． 20．（24-25高一上·上海松江·期中）已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，使得结论成立，理由见解析 【分析】（1）变形得到，利用对数函数的单调性、定义域求解出不等式解集； （2）利用换元法，可化为在上恒成立，参变分离，结合基本不等式求解； （3）先由定义域得到，研究在上的单调性，得到在上的最大值必在端点处产生，从而得到不等式组，无解，故不存在，使得结论成立． 【详解】（1）由已知得， 即，因为是增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为； （2）由题意令，因为，所以， 所以不等式在上恒成立， 可化为在上恒成立， 分离参数得，因为，当且仅当时取等号， 则要使原式恒成立，只需即可，即实数的取值范围为； （3）首先要使函数在上有意义，需，所以， 易知函数在上的最大值必在端点处产生， 故只需，或， 由①得或4，由②得，故无解，舍去； 由④得或，由③得，故无解，舍去； 综上可知，不存在a使结论成立． 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 21. （2024学年闵行中学高一上期中）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. （1）若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，是“距”增函数，求实数的取值范围； （3）若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】（1）为“1距”增函数. （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“1距”增函数. （2）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （3）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求参数的范围. 【小问1详解】 因为，故， 故为“1距”增函数. 【小问2详解】 由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立， 若，因不成立，故舍， 故，解得. 【小问3详解】 因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立且恒成立， 故且， 故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第4章幂函数 指数函数与对数函数单元测试（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题 1. （2024-25高一上黄浦区卢湾高级中学期中）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为___________. 2．（2024秋•普陀区校级月考）函数y＝ln（2﹣x）的定义域为　　． 3. （2024-25奉贤中学高一上期中）已知指数函数的图象经过点，则______． 4．（2023秋•静安区期中）已知函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm（x≠0）是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则m＝　　． 5．（2023秋•徐汇区校级月考）已知函数f（x）＝4+ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是　　． 6．（2024秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于_____ 7．（2024上·甘肃白银·高一校考期末）已知幂函数满足,则 . 8．（2024秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）函数的严格增区间为 . 9.（2024·上海高一上阶段练习）不等式的解集为_____ 10．（2024秋·江西上饶·高三上饶市第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是_______ 11．（2023秋•临澧县校级期末）某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝ae﹣bt，其中a，b都是正常数，则该种放射性元素的原子数由a个减少到个时所经历的时间为t1，由个减少到个时所经历的时间为t2，则＝__________ 12．（2023·上海高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_________. 二、选择题 13.（2024-25奉贤中学高一上期中） 下列图象中，最符合函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 14. （2024-25大同中学高一上期中）已知，令，，，那么之间的大小关系为 A. B. C. D. 15．（2024-25上海师大附中高一上期中）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 16．（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）函数（ 且 ）的图像大致为（    ） A．B．C． D． 三、解答题 5．（2024秋•金山区期末）已知幂函数y＝f（x）在其定义域上是严格增函数，且（m∈Z）． （1）求m的值； （2）解不等式：． 18. （2024-25奉贤中学高一上期中）已知幂函数在上为严格增函数． （1）求的解析式； （2）若对任意x都成立，求k的取值范围． 19．（2023·上海市第二中学）已知函数，其中. （1）求函数的定义域； （2）解不等式. 20．（24-25高一上·上海松江·期中）已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 21. （2024学年闵行中学高一上期中）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. （1）若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； （2）若，是“距”增函数，求实数的取值范围； （3）若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $