第四章 幂函数、指数函数与对数函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第四章 幂函数、指数函数与对数函数 （单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，设幂函数的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则m的值为 . 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中若，则的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，若，则 ． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）的图像恒过定点P，则点P的坐标为 ；若点P在直线上，其中，则的最小值为 ． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数若函数在上是严格增函数，则a的取值范围为 ． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，，且，下列结论正确的有 ．（填序号） ①；②；③；④． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量大于等于且小于的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时36%的速度减少，那么他至少经过 小时才能驾驶汽车．（参考数据：，） 8．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）若函数在上有最小值（、为常数），则函数在上最大值为 . 9．（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）函数在区间上严格递增，则实数的取值范围是 ． 10．（2023·上海长宁·三模）已知函数的表达式为，若对于任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 11．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在的严格增函数与.若对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 12．（21-22高三上·上海杨浦·阶段练习）设函数在区间上的最大值为，若，则实数t的最大值为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13．（25-26高一上·上海·单元测试）已知函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）若实数满足，则下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海·单元测试）碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（   ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中（且）的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)令，求的最小值及取最小值时x的值． 18．（24-25高一上·上海·课后作业）已知幂函数经过点． (1)当时，求函数的值； (2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 20．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 21．（2023高一·上海·专题练习）已知是偶函数． (1)求实数的值； (2)证明函数在上的单调性，解不等式； (3)记，若对任意的都成立，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 幂函数、指数函数与对数函数 （单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，设幂函数的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则m的值为 . 【答案】1或3 【分析】利用幂函数的性质得到的相关条件，从而得解. 【详解】因为幂函数的图象关于原点成中心对称，且与轴及轴均无交点， 所以且为奇数，则， 又，结合为奇数，可得或3. 故答案为：1或3. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分段考虑求解相应的不等式，然后求并集即得. 【详解】依题意，当时，等价于，解得，，故得； 当时，等价于，解得，故得. 综上可得，的取值范围是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，若，则 ． 【答案】 【分析】先计算，然后利用此结论求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以 因为，所以，得． 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）的图像恒过定点P，则点P的坐标为 ；若点P在直线上，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令指数部分为0解得定点横坐标为4，则可求得指数函数过的定点；由前面的解析可得，结合基本不等式中的乘“1”法即可求得的最小值. 【详解】因为恒过定点， 所以（且）过定点P（4，1）所以，即， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9． 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数若函数在上是严格增函数，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数以及一次函数的单调递增求出的范围，同时需要满足即可． 【详解】解：对数函数在时是增函数，所以， 又，是增函数， ， 当时，取到最大值， 要使得函数在上是严格增函数， 则， 即， 所以， 则a的取值范围为， 故答案为：． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，，且，下列结论正确的有 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③④ 【分析】首先判断函数的单调性，依题意可得，且，从而得到，再对各选项一一分析即可. 【详解】因为， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，且，所以，且，则，故，故①错误； 对于②，，而， 又函数在上单调递增，且当时，所以，故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，，故④正确． 故答案为：③④ 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量低于的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量大于等于且小于的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时36%的速度减少，那么他至少经过 小时才能驾驶汽车．（参考数据：，） 【答案】5 【分析】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则，解出的范围即可求解． 【详解】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，则， ， ， 他至少经过5个小时才能驾驶汽车， 故答案为：5． 8．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）若函数在上有最小值（、为常数），则函数在上最大值为 . 【答案】 【分析】考虑函数，判断得是奇函数，根据奇函数对称性，结合在上的最值情况即可得解. 【详解】考虑函数，定义域为R， 又 ， 所以是奇函数，则， 设的最大值为，最小值为，则， 又， 所以，， 所以， 则，所以， 故答案为：9. 9．（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）函数在区间上严格递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】运用复合函数的单调性分别研究当与时在上的单调性，且在恒成立，结合二次函数的单调性即可求得结果. 【详解】由题意知，且， 令，则其对称轴为， ①当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，且在恒成立， 则，解得， ②当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，且在恒成立， 则，解得， 综述：或. 故答案为：. 10．（2023·上海长宁·三模）已知函数的表达式为，若对于任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】确定函数单调递增，计算，得到，确定，解得答案. 【详解】在上单调递增， 当时，，， ，，即， 故是值域的子集，故，解得. 故答案为：. 11．（23-24高一上·上海·期末）已知定义在的严格增函数与.若对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由的单调性转化得恒成立，从而求得；再由与的相关恒成立条件转化得恒成立，从而利用绝对值不等式求得；由此得解. 【详解】因为在上是严格增函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 而，故； 因为对任意实数，存在实数和，不等式恒成立， 又，所以，即， 则，且在上恒成立， 令，则，恒成立， 若，则存在使得在恒成立， 故存在使得成立，故，故， 当且仅当时等号成立, 若，不妨设， 若即，则存在，使得成立即， 故， 而，故即. 此时，可使得等号成立， 若，则存在，使得成立， 故，故， 综上：. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是取特殊值，利用绝对值不等式求得的最小值，从而得解. 12．（21-22高三上·上海杨浦·阶段练习）设函数在区间上的最大值为，若，则实数t的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为，当时，则有：，可得：，或因此只需要，即可得出． 【详解】解：由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为， 当时， 则有： 那么：① 当或时， 或 只需要， 即： 得：② 把①式代入②， 得：， 化为：， ，解得． 的最大值为． 故答案为：． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13．（25-26高一上·上海·单元测试）已知函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】A 【分析】利用幂函数的定义及性质直接列式计算并判断作答. 【详解】因为函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数， 所以，解得， 故选：A 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）若实数满足，则下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，，即可判断出选项A，B和C的正误；选项D，根据条件，利用不等式性质，即可求解. 【详解】对于选项A，取，，显然有，但，所以选项A错误， 对于选项B，取，，显然有，但，所以选项B错误， 对于选项C，取，，显然有，但，所以选项C错误， 对于选项D，因为，得到，所以，所以选项D正确， 故选：D． 15．（24-25高一上·上海·单元测试）碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据半衰期是5730年，可解得年衰变率. 【详解】设年衰变率为，放射性元素在时的原子核总数为 由题意可得：经过一年原子核总数衰变为，经过5730年原子核总数衰变为， 所以，所以，； 故选：C 16．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先由函数的性质，结合函数的值域，画出函数的图象，并结合端点的取值，结合函数的图象，以及最值，即可判断的取值. 【详解】设 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 单调递增， 所以的图象如图所示， 令，得或， 当时，的值域为，所以，故①正确； 当时， ，， 的值域为，所以,故②正确； ③当时，，而， 所以，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的图象，以及最值问题，本题的关键是结合最值，画出函数的图象，并根据最值，分析端点值的取值范围. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中（且）的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)令，求的最小值及取最小值时x的值． 【答案】(1) (2)时，取得最小值1． 【分析】（1）将和代入解析式中得到方程组，然后求解即可； （2）求出，利用对数的运算整理得到，然后利用基本不等式求解即可． 【详解】（1）由已知，得， 解得， 故； （2）由于 ， ， 故． 于是，当时，取得最小值1． 18．（24-25高一上·上海·课后作业）已知幂函数经过点． (1)当时，求函数的值； (2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）由待定系数法求出幂函数的表达式，再代入即可求解； （2）首先得出，进一步结合函数单调性列出方程组即可求解. 【详解】（1）设幂函数为，∴，∴， ∴，∴当时，． （2）存在． 理由：由（1）得，∴，∴． 因为函数在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 所以当时，函数取最小值，当时，函数取最大值， 解得，． 故存在，满足题意． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪． (1)求时的声音强度； (2)求噪音的能量范围； (3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？ 【答案】(1)30（分贝） (2) (3) 【分析】（1）令，代入求出声音强度； （2）根据题意，得到，解出； （3）令，，解得即可 【详解】（1）当时，代入公式，可得（分贝）． （2）噪音的强度大于60分贝，代入公式可得， 解得． 故噪音的能量范围为． （3）人在100分贝至120分贝的空间内会暂时失聪．令， 解得，令，解得， 所以当能量达到时会暂时失聪． 20．（23-24高一上·上海·期末）已知函数. (1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)该函数的定义域为，奇函数 (2)单调递增，证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据对数的性质，结合函数奇偶性的定义进行求解即可； （2）根据对数的单调性，结合函数单调性的定义进行判断说明即可； （3）根据函数单调性的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【详解】（1）由，或， 因此该函数的定义域为，显然关于原点对称， 因为， 所以该函数是奇函数； （2）函数在上单调递增，理由如下： 设，则有， 因为，所以， 因为函数是正实数集上的减函数， 所以有， 因此函数在上单调递增； （3）， 由（2）可知函数当时单调递增， 而函数当时也单调递增， 所以函数当时也单调递增， 显然当时，函数有最小值， 最小值为， 因此要想对于任意，不等式恒成立， 只需，即实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：利用函数单调性的性质，结合任意性的定义是解题的关键. 21．（2023高一·上海·专题练习）已知是偶函数． (1)求实数的值； (2)证明函数在上的单调性，解不等式； (3)记，若对任意的都成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求得m的值； （2）根据函数单调性的定义可证明函数在上的单调性，利用函数单调性将转化为即可求解； （3）将对任意的都成立，转化为对任意的都成立且，结合分离参数即可求得a的范围. 【详解】（1）依据题意，定义域为R， 由是偶函数，则，即， 得，又，则不恒等于0， 故； （2）证明：任取，且， 则 ， 由于得，， 所以，，故， 所以，则， 又因为，所以在上是增函数， 又为偶函数，则在上是减函数， 则即为， 两边平方得，解得或， 不等式的解集为. （3）由题意得， 即对任意的都成立， 首先对任意的都成立， 由有意义得， 对任意的都成立，得， 其次对任意的都成立， 即，得， 亦即，对任意的都成立， 因为，所以， 即对任意的都成立， 由于，所以， 综上所述. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第（3）问中参数a的范围求解，解答时要利用不等式恒成立等价转化，同时注意对数函数成立的前提条件，继而采用参变分离的方法，求得参数范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$