精品解析：江苏省苏州中学园区校2025-2026学年高一上学期10月阶段性检测数学试题（创优班）

2025-2026学年第一学期10月份阶段性检测 高一数学试题（创优班） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的幂次规律求出的值，再通过复数的运算法则求出，最后根据虚部的定义得出的虚部 【详解】由， 则， 所以的虚部为. 故选：B. 2. 已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求得，然后利用共线的坐标形式列式得，即可得解. 【详解】根据题意，， 则，若三点共线，则， 则有，变形可得. 故选：A 3. 已知的内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理整理代入运算即可． 【详解】由正弦定理，整理得 故选：A． 4. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及共线向量的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】，则，整理得， 而向量均为非零向量，则反向共线且，有； 反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知外接圆的圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件作图,由，外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，所以为等边三角形，得到，表示出所求投影即可得出答案. 【详解】由 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径， 如图： 又，所以为等边三角形， ，则，， 向量在向量上的投影为：． 故投影向量为， 故选：． 6. 平行四边形中，，，，，垂足为，是中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可得，，从而可求出,的长，在中，求出和的值，进而可求出 【详解】解：因为，，， 所以，所以， 因为，所以， 因为， 所以，所以，， 所以， 所以在中，， 所以， 因为是中点，所以， ， 故选：C 7. 如图，某侦察飞机沿水平直线匀速飞行，在A处观测地面目标P，测得俯角，飞行3分钟后到达B处，此时观测地面目标P，测得俯角，又飞行一段时间后到达C处，此时观测地面目标P，测得俯角的余弦值为，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（ ） A. 2分钟 B. 2.25分钟 C. 2.5分钟 D. 2.75分钟 【答案】B 【解析】 【分析】利用解三角形的指数，以及三角函数的基本关系式的恒等变换，即可求解. 【详解】设飞机的飞行速度为，根据分级的飞行图形， 测得俯角为，飞行3分钟后到达B处观测地面目标P，测得俯角， 所以为直角三角形， 过点作于点，则，可得， 设，由，可得， 则，又由，解得. 故选：B. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，从而表示出，最后由面积公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又，所以， 又， 所以， 所以 ， 所以当，即时，取得最大值，且. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A项，由复数的性质可得；BD项，举特例即可判断；C项，先证明命题“若，则，或”成立，再应用所证结论推证可得. 【详解】选项A，，则，故A正确； 选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误； 选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立. 证明：设，， 若，则有， 故有，即，两式相乘变形得，， 则有，或，或， ①当时，，即； ②当，且时，则， 又因为不同时为，所以，即； ③当，且时，则，同理可得，故； 综上所述，命题“若，则，或”成立. 下面我们应用刚证明的结论推证选项C， ，， ，或，即或，故C正确； 选项D，令， 则， 但，不为，故D错误. 故选：. 10. 下列条件中能推导出一定是锐角三角形的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用向量的数量积判断得角为锐角，但确定不了另两个角的范围，由此判断即可；对于B，利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可判断；对于C，利用余弦函数的性质与三角形角的范围分析判断即可；对于D，利用正切函数的性质与和差公式，结合三角形角的范围分析判断即可. 【详解】对于A，因为，即， 又，故角为锐角， 但无法确定另两个角的范围，故不一定是锐角三角形，故A错误； 对于B：因为，由正弦定理得， 令，则， 显然最大角为，且， 所以最大角为锐角，所以一定是锐角三角形，故B正确： 对于C，因为， 若，则或， 又，则除了角为钝角外，还有一角为钝角，矛盾； 同理都不可能， 故，，，即三个角均为锐角，故C正确； 对于D，因为，易知，，则均为锐角， 又，则也为锐角， 所以一定为锐角三角形，故D正确． 故选：BCD． 11. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ） A. 的取值范围是 B. 点经过的外心 C. 点所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D. 【详解】由，又斜边，则，则，A正确； 若为中点，则，故，又， 所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误； 由上，则， 又，则，当且仅当等号成立， 所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，要使该三角形有两解，则实数m的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理直接判断. 【详解】要使三角形有两解，由正弦定理，只需， 即，解得：. 故实数m的取值范围为. 故答案为： 13. 如图，在和中，是的中点，，，若，则与的夹角的余弦值等于______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，由求，又，即可得，进而求与的夹角的余弦值. 【详解】由图知： ，， ∴， 又，且，， ∴， ∴，而，即， 又， ∴. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据几何图形，结合向量加减法的几何应用及数量积的运算律，得到，进而求向量夹角余弦值. 14. 已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，恒成立，则______，的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将不等式两边平方得，进而对于任意的恒成立，利用即可求解答题空1；再结合图形，利用几何意义及对称性即可求解答题空2. 【详解】由两边平方可得，即， ∴对于任意的恒成立， ∴， ∴，即. ∵，∴，∴. 如图所示，设，，，， 则，， ∴. 作点关于的对称点，连接，如图所示，则， ∴当，，三点共线时，取得最小值. 此时，，，， 在中，由余弦定理可得，故. ∴的最小值为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. （1）求复数； （2）若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出复数，化简和，利用实数，虚部为0，即可求出复数； （2）化简复数，利用复数的几何意义转化为不等式组求解即可． 【小问1详解】 为复数，和均为实数， 可设：，， ， 为实数，可得，解得， 复数，； 【小问2详解】 复数， 其复平面上对应的点在第四象限， 可得：，解得或． 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，，∠BAC的平分线交BC于D． （1）求∠BAC； （2）若，求AD． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用所给等式及正弦定理用b表示a、c，再利用余弦定理求出即可得解； （2）求出各边长度进而利用余弦定理求出，再由求出，在中利用正弦定理即可求得AD. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理得，即， 代入已知，整理可得， ∴，结合， 可得． 【小问2详解】 因为，于是由（1）得，． 根据余弦定理得，进而可得， 又∴， 在中，由正弦定理得，即，解得． 17. 在中，角的对边分别是，满足. （1）求角的余弦值； （2）若是边的中点且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理得到，即可求出，从而得解； （2）设，利用正弦定理表示出，，设，利用辅助角公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 在中，由正弦定理有， ， ，即， 在中，由余弦定理，有， ，则，即， ，∴，则； 【小问2详解】 如图，设，则，， 在中,根据正弦定理，有， ，， 设 ， （其中，，易得） 又，所以在上单调递增， 所以，又， 所以的取值范围为． 18. 在中，，． （1）若，求的值； （2）若的最小值为1，求的值； （3）若，P是所在平面上任意一点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量内积公式即可求解； （2）利用向量内积公式得到的表达式，再结合二次函数最小值知识点即可求解； （3）以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，设，求解出y的二次表达式，配方即可得到最小值． 【小问1详解】 ，而，所以． 【小问2详解】 设，，由题意知的最小值为1，也即关于的二次函数，最小值为1，即时， ，解得， 所以，即． 【小问3详解】 以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则由题意可知，，，设，所以，，， 则， 配方得， 当，时，y最小值为． 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； （3）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解； （2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算； （3）利用正弦定理以及，将表示为关于角的函数关系式，再根据锐角三角形求出角的范围，即可求函数值域. 【小问1详解】 由得， 由正弦定理得， 即， 得， 因为，为三角形内角，所以或（舍去）， 所以， 因，则． 【小问2详解】 由（1）得，平分，则， 设，因，则， 因为平分，则由角平分线定理得， 则， 在等腰中，，在中由余弦定理得，， 由，得，， 又因为，则，，所以． 【小问3详解】 在中由正弦定理得， 得，，所以， 又因为， 所以 因为为锐角三角形，则，且， 则，，解得，则， 所以， 所以周长的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期10月份阶段性检测 高一数学试题（创优班） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 2. 已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知的内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 4. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知外接圆的圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 平行四边形中，，，，，垂足为，是中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某侦察飞机沿水平直线匀速飞行，在A处观测地面目标P，测得俯角，飞行3分钟后到达B处，此时观测地面目标P，测得俯角，又飞行一段时间后到达C处，此时观测地面目标P，测得俯角的余弦值为，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（ ） A. 2分钟 B. 2.25分钟 C. 2.5分钟 D. 2.75分钟 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 10. 下列条件中能推导出一定是锐角三角形的有（ ） A. B. C. D. 11. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ） A. 的取值范围是 B. 点经过的外心 C. 点所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，要使该三角形有两解，则实数m的取值范围为_______. 13. 如图，在和中，是的中点，，，若，则与的夹角的余弦值等于______. 14. 已知非零向量，的夹角为，.对于任意的，恒成立，则______，的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位. （1）求复数； （2）若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，，∠BAC的平分线交BC于D． （1）求∠BAC； （2）若，求AD． 17. 在中，角的对边分别是，满足. （1）求角的余弦值； （2）若是边的中点且，求的取值范围. 18. 在中，，． （1）若，求的值； （2）若的最小值为1，求的值； （3）若，P是所在平面上任意一点，求的最小值． 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； （3）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $