精品解析：广东省江门市新会区华侨中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期高三10月月考试题 数学 本试卷共4页，19小题，满分160分，测试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷与答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 若复数在复平面内对应的点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分. 9. 已知向量，点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点D到平面的距离为 D. 与平面所成的角为 11. 已知函数的定义域为，若，有，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 4为函数的一个周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等差数列的前项和，，则______． 13. 已知“，”为假命题，则的最大值为___________. 14. 设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为______． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数 （1）求函数的对称轴方程； （2）求函数的最大值及相应的值； （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到的图象，求的最小正周期和单调增区间. 19. 已知二次函数对任意的都有，且． （1）求函数的解析式； （2）设函数．若存在实数、，使得在区间上为单调函数，且的值域为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高三10月月考试题 数学 本试卷共4页，19小题，满分160分，测试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷与答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 2. 若复数在复平面内对应的点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得，进而得出复数，最后利用复数乘法运算即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为 又点在直线上， 所以，解得， 所以复数， ， 故选：D. 3. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 5. 折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与的延长线交于圆心，圆心角，扇形半径，根据弧长公式结合题意列方程组求出，再由扇形面积公式即可计算得解. 【详解】如图，与的延长线交于圆心， 设圆心角，扇形半径，则，解得， 则该扇面的面积为. . 故选：B 6. 如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x 的函数表示出来即可. 【详解】于D，， ,, 且 故当时，重合部分为三角形， 三角形的高， 面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项； 当时，重合部分为直角梯形， 上底长为， 下底长为，高为4， 故， 函数图像为一条直线，故排除D选项； 当时，重合部分可以看作两个直角梯形， 左边直角梯形的上底长为， 高为 两个梯形下底长均为， 右边直角梯形上底长为， 高为， 故， 图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项； 故选：C 7. 若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二分法求解方程近似解的方法计算即可. 【详解】令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以． 故选：B. 8. 已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设向量与正半轴夹角为，则，由题可知，利用三角和角公式求值即可. 【详解】设向量与正半轴夹角为，则， 向量绕原点逆时针旋转得到，则， 又， ， 所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分. 9. 已知向量，点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量模长的坐标表示即可判断AB；根据向量垂直和平行的坐标表示即可判断CD. 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 10. 在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点D到平面的距离为 D. 与平面所成的角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建系后求出相关向量的坐标，利用直线的方向向量，平面的法向量之间的关系、以及点面距离与线面夹角公式逐一判定选项即可. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则有，故可取， 因，且平面，故平面，平面，故A、B正确； 点D到平面的距离为 ，故C正确； 设与平面所成的角为，则， 显然，故D错误. 故选：ABC 11. 已知函数的定义域为，若，有，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 4为函数的一个周期 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解. 【详解】根据题意，， 取，得，因为，所以，A正确; 取，得，所以，B错误; 取，得，即， 所以为偶函数，C正确; 取，得，所以， 即4为函数的一个周期，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现；当然要结合所求灵活赋值，根据函数的性质进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是等差数列的前项和，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式及等差数列性质求解即可. 【详解】在等差数列中，，， 所以，. 故答案为：. 13. 已知“，”为假命题，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】问题化为，恒成立，求右侧最小值即可得范围. 【详解】由题设知，为真命题，即，恒成立， 故只需，得，即. 故答案为：1 14. 设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令，由题意在上单调递增， 又，所以为偶函数， 所以在上单调递减， 当时，由，可得，即， ， 当时，由，可得，即， 解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） 由， 得. 又，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干条件进行证明即可； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：，，故； ， ， 两式相减，得 ， ， ， ； 故. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出. （2）利用正弦定理角化边，再利用已知求出三角形面积. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，得，而，且， 则，解得， 所以的面积. 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 在梯形中，，故， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先证明线面垂直，进而得证面面垂直； （2）利用空间向量法计算线面夹角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． 易知． 因为是的中点，点是的中点， 所以，． ，． 设平面的法向量为， 则得 取，则，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 18. 已知函数 （1）求函数的对称轴方程； （2）求函数的最大值及相应的值； （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到的图象，求的最小正周期和单调增区间. 【答案】（1） （2）最大值为3，相应的 （3）最小正周期为，增区间为 【解析】 【分析】（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式，辅助角公式化简可得，令，化简可得结论， （2）结合正弦函数性质可得当，时，取最大值，化简可得结论； （3）根据函数图象变换可得，结合周期公式求周期，令，可求函数的单调递增区间. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，，可得，， 所以函数的对称轴方程为，； 【小问2详解】 由（1）， 故当，，即， 时， 函数取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得函数的图象， 再将函数向右平移个单位，得到的图象， ， 故函数的最小正周期为， 令，，可得，， 所以函数的单调递增区间为. 19. 已知二次函数对任意的都有，且． （1）求函数的解析式； （2）设函数．若存在实数、，使得在区间上为单调函数，且的值域为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题中等式可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）由（1）得，对函数的单调性进行分类讨论，根据函数的值域为可得出关于、的方程组，结合二次方程的根的分布以及二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 设二次函数的解析式为，则， 所以，， 所以，，解得，因此，. 【小问2详解】 由（1）可得，则函数的对称轴为直线， 因为在区间上单调，则或， ①当时，在区间上单调递增，所以， 即、为在上的两个不相等的实根， 即方程在上有两个不相等的实根， 所以，，解得； ②当时，在区间上单调递减， 所以，， 两式相减得，即， 因为，所以，则， 所以，， 由，可得，又因为，则， 因为函数在上单调递减， 所以，，即，即. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $