5.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

　 第五章 单元学习十四　三角函数的图象与性质 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 学习目标 1. 理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期，培养数学抽象的核心素养. 2. 会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性，提升直观想象的核心素养. 任务一　正弦函数、余弦函数的周期 1 任务二　正弦函数、余弦函数的奇偶性 2 任务三　三角函数奇偶性与周期性的综合应用 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　正弦函数、余弦函数的周期 返回 (阅读教材P201，完成探究问题1) 问题1．由诱导公式一：其中k∈Z，结合正(余)弦曲 线，可以看出正(余)弦函数怎样的特征？图象变化趋势是怎样的？ 提示：自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出现，图象发生“周而复始”的变化. 问题导思 1.周期函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个____________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且________________，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小______就叫做f(x)的____________. 新知构建 非零常数T f(x＋T)＝f(x) 正数 最小正周期 3.正弦函数、余弦函数的周期性 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 _____ _____ 2π 2π (1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (2)周期性是三角函数的整体性质，我们在研究三角函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可. (3)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期. 微提醒 (链教材P201例2)求下列函数的周期： (1)y＝7sin x，x∈R； 解：因为7sin(x＋2π)＝7sin x，由周期函数的定义知，y＝7sin x的周期为2π. (2)y＝sin 2x，x∈R； 解：因为sin(2x＋2π)＝sin 2(x＋π)＝sin 2x，由周期函数的定义知，y＝sin 2x的周期为π. 典例1 (3)y＝sin，x∈R； 解：因为sin＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π. (4)y＝｜cos x｜，x∈R. 解：y＝｜cos x｜的图象如图(实线部分)所示. 由图象可知，y＝｜cos x｜的周期为π. 规律方法 求三角函数周期的方法 1.定义法：利用周期函数的定义求解. 2.公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是 常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 3.图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可. 对点练1．求下列函数的最小正周期： (1)y＝｜sin x｜； 解：由y＝｜sin x｜，f(x＋π)＝｜sin(x＋π)｜＝｜－sin x｜＝｜sin x｜＝f(x)，得f(x)＝｜sin x｜的最小正周期为π(或通过图象判断). (2)y＝cos 4x； 解：由y＝cos 4x，得T＝＝＝. (3)y＝3sin； 解：由y＝3sin，得T＝＝＝4π. (4)y＝2cos. 解：由y＝2cos，得T＝＝＝π. 返回 任务二　正弦函数、余弦函数的奇偶性 返回 问题2．回顾正弦函数、余弦函数的图象，你能发现其对称性吗？ 提示：正弦函数的图象关于原点对称，余弦函数的图象关于y轴对称. 问题导思 正弦函数、余弦函数的奇偶性 新知构建   正弦函数 余弦函数 图象     定义域 R R 奇偶性 ____函数 ____函数 对称轴 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0)(k∈Z) 奇 偶 (链教材P203练习T3)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝cos； 解：函数的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R，且f(x)＝cos＝ －sin 2x， 又f(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)， 所以函数f(x)＝cos是奇函数. 典例2 (2)f(x)＝｜sin x｜＋cos x； 解：函数f(x)＝｜sin x｜＋cos x的定义域为R， 因为∀x∈R，都有－x∈R， 又f(－x)＝｜sin(－x)｜＋cos(－x)＝｜sin x｜＋cos x＝f(x)， 所以函数f(x)＝｜sin x｜＋cos x是偶函数. (3)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x. 解：函数的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R， 且f(x)＝cos x－x3·sin x， 又f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x) ＝cos x－x3·sin x＝f(x)， 所以f(x)为偶函数. 规律方法 判断函数奇偶性的方法 1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系. 2.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 提醒　研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则. 对点练2．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin； 解：函数的定义域为R，因为f(x)＝sin＝－cos， 且f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)， 所以函数f(x)＝sin是偶函数. (2)f(x)＝sin(cos x). 解：函数f(x)的定义域为R， 因为f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cos x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数. 返回 任务三　三角函数奇偶性与周期性的综合应用 返回 (链教材P203练习T4)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f 的值. 解：因为f(x)的最小正周期是π，所以f＝f＝f. 因为f(x)是R上的偶函数，所以f＝f＝sin ＝.所以f＝. 典例3 变式探究　1.(变设问)若本例条件不变，则f的值为____. f＝f＝f＝f＝sin ＝. . 2.(变条件)若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，则f的值为____. － f＝f＝－f＝－sin ＝－. 规律方法 1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法 　　利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而解决求值问题. 2.常用推论 (1)若f(x＋T)＝f(x)，则函数周期为T； (2)若f(x＋T)＝－f(x)，则函数周期为2T； (3)若f(x＋T)＝，则函数周期为2T； (4)若f(x＋T)＝－，则函数周期为2T. 对点练3．(1)已知函数f(x)＝ cos是奇函数，则φ∈时，φ的值为____. 因为f(x)是奇函数，所以＋φ＝kπ＋，则φ＝kπ＋，k∈Z.又因为φ∈，所以取k＝0，得φ＝. (2)已知f(x)为奇函数，且周期为，若f＝－1，则f＝____. 1 因为T＝，又f(x)为奇函数，所以f＝f＝f＝ －f＝－(－1)＝1. 课堂小结 任务再现 (1)周期函数的概念，三角函数的周期.(2)三角函数的奇偶性.(3)三角函数周期性、奇偶性的综合应用 方法提炼 定义法、公式法、数形结合法 误区警示 函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T＝ 返回 随堂评价 返回 1.如图所示的是定义在R上的四个函数的部分图象，其中不是周期函数的图象的是 √ 观察题中图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象.故选D. 2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是 A.y＝sin B.y＝cos C.y＝cos x D.y＝cos 2x √ A中函数是奇函数且周期不是π，B、C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求.故选D. 3.函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为____. f(x)的最小正周期为＝4. 4 4.(开放题)已知f(x)＝2sin(2x＋3φ)是奇函数，则φ＝______________(写出一个值即可). 因为f(x)＝2sin(2x＋3φ)是奇函数，所以3φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝(k∈Z)，故可取φ＝(答案不唯一). (答案不唯一) 返回 课时分层评价 返回 1.(2025·八省适应性测试)函数f(x)＝cos(x＋)的最小正周期是 A. B. C.π D.2π 由题意，f的最小正周期T＝＝2π.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数f(x)＝2cos A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 √ f(x)＝2cos＝2sin x，因为定义域是R，关于原点对称，且f(－x)＝－2sin x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数f(x)＝sin x(x∈[－π，0)∪(0，π])的图象可能是 √ 因为函数的定义域关于原点对称，且f(－x)＝sin(－x)＝sin x＝f(x)，所以函数f(x)＝sin x为偶函数，故可排除B、D.当x∈(0，π]时，f(x)≥0.故排除A.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则 A.f是奇函数 B.f是偶函数 C.f是奇函数 D.f是偶函数 由题意得ω＝＝2，所以f(x)＝sin，f＝sin，所以f既不是奇函数也不是偶函数，f＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，所以f是奇函数.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有 A.y＝sin B.y＝sin C.y＝sin ｜2x｜ D.y＝｜sin x｜ √ 对于A，y＝sin，函数最小正周期为2π，为非奇非偶函数；对于B，y＝sin＝－cos 2x，函数最小正周期为π，为偶函数；对于C，y＝sin ｜2x｜，函数无周期性，为偶函数；对于D，y＝｜sin x｜，函数最小正周期为π，为偶函数.故选BD. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知函数f(x)＝－sin x(x∈R)，则下列结论正确的是 A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)的图象关于直线x＝对称 C.函数f(x)为偶函数 D.函数f(x)的图象关于点(2π，0)对称 √ √ 函数f(x)的最小正周期为2π，故A错误；函数f(x)＝－sin x满足f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－(－sin x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故C错误；又因为f＝－sin ＝1，故B正确；因为f(2π)＝－sin 2π＝0，故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设函数f(x)＝x3cos x＋1，若f(a)＝2 025，则f(－a)＝__________. 因为f(a)＝a3cos a＋1＝2 025，所以a3cos a＝2 024.所以f(－a)＝－a3cos (－a)＋1＝－a3cos a＋1＝－2 023. －2 023 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.函数y＝cos(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值为______. 由题意得k＞0，T＝≤2，即k≥4π，所以正整数k的最小值是13. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知函数f(x)＝2cos是偶函数，则tan θ＝______. －1 因为函数f(x)是偶函数，所以－－θ＝kπ，k∈Z，则θ＝－－kπ，k∈Z，所以当k∈Z时，tan θ＝tan＝－tan＝－tan ＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝coscos(π＋x)； 解：易知f(x)的定义域为R，关于原点对称. f(x)＝coscos(π＋x)＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x，f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin 2xcos x＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)f(x)＝. 解：对任意x∈R，－1≤sin x≤1， 所以1＋sin x≥0，1－sin x≥0. 所以f(x)＝的定义域为R，关于原点对称. 又f(－x)＝＝＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为π，当x＝时函数图象位于最低点，则f＝ A.－ B.－ C.1 D. √ 由题意得ω＝＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，且f＝sin＝－1，所以f＝sin＝－sin＝1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(φ为常数)为奇函数，那么sin φ＝ A.－1 B.0 C.1 D.±1 由题意得φ＝＋kπ，k∈Z，所以sin φ＝sin，k∈Z，当k为偶数时，sin φ＝sin＝sin＝1，当k为奇数时，sin φ＝sin＝sin＝－sin＝－1.综上，sin φ＝±1.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象与直线y＝a的相邻的四个交点依次为A，B，C，D，且AB＝，BD＝4CD，则函数f(x)的最小正周期为_____. 因为BD＝4CD，所以a≠±1，作出示意图： 由正弦函数的图象和性质可知AB＝CD＝，BD＝4×＝2π.所以函数f(x)的最小正周期为2π. 2π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)已知f(x)＝sin(2x＋φ)，φ∈，且f为偶函数，求φ的值. 解：因为f(x)＝sin(2x＋φ)， 所以f(x－)＝sin＝sin(2x＋φ－). 又因为f为偶函数， 所以φ－＝kπ＋，k∈Z， 所以φ＝kπ＋，k∈Z， 因为φ∈，所以φ＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)已知函数f(x)＝cos x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 026)＝_______. 因为f(1)＝cos ＝，f(2)＝cos ＝－，f(3)＝cos π＝－1，f(4)＝cos ＝－， f(5)＝cos ＝，f(6)＝cos 2π＝1， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0， 易知f(x)的周期为6，即每连续六项的和均为0. 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 026)＝f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)定义在R上的函数f(x)既是偶函数也是周期函数.若f(x)的最小正周期是π，且当x∈ 时，f(x)＝sin x. (1)当x∈[－π，0]时，求f(x)的解析式； 解：若x∈ ，则－x∈ . 因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x. 若x∈［－π，－)，则π＋x∈ ［). 因为f(x)是最小正周期为π的周期函数， 所以f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x， 所以x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图； 解：函数f(x)在[－π，π]上的简图如图所示. (3)当f(x)≥时，求x的取值范围. 解：当x∈[0，π]时，令sin x≥，得≤x≤，又函数的周期为π， 所以x的取值范围是{x｜kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z}. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第五章 三角函数 返回 $