第5章 5.4 5.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点) 3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点) 1．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正 周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 1．y＝sin x与y＝cos x既是中心对称图形又是轴对称图形．(　　) 2．任何周期函数都有最小正周期．(　　) 3．若存在正数T，使f(x＋T)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2T.(　　) 4．函数f(x)＝sin 2x是奇函数．(　　) 5．函数f(x)＝sin(2x＋)是偶函数．(　　) 【答案】　1.√　2.×　3.√　4.√　5.√ 一、三角函数的周期问题 　求下列函数的周期： (1)y＝sin(2x＋)； (2)y＝|sin x|. 【解】　(1)(定义法)　y＝sin(2x＋)＝sin(2x＋＋2π) ＝sin[2(x＋π)＋]， 所以周期为π. (2)作图如下： 观察图象可知周期为π. 【反思感悟】　求三角函数周期的方法 (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期． 【提醒】　y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝. 1．利用周期函数的定义求下列函数的周期． (1)y＝cos ，x∈R； (2)y＝sin(x－)，x∈R. 【解】　(1)因为cos (x＋4π)＝cos(＋2π)＝cos ， 由周期函数的定义知，y＝cos 的周期为4π. (2)因为sin[(x＋6π)－]＝sin(x＋2π－) ＝sin(x－)， 由周期函数的定义知， y＝sin(x－)的周期为6π. 二、三角函数奇偶性的判断 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin(－x＋)； (2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； (3)f(x)＝. 【解】　(1)显然x∈R，f(x)＝cosx， ∵f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (2)由得－1<sin x<1， 解得定义域为， ∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)， ∴f(－x)＝lg[1－sin (－x)]－lg[1＋ sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1， ∴定义域为{x|x∈R且x≠2kπ－，k∈Z}． ∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数． 【反思感悟】　判断函数奇偶性的两个关键点 (1)看函数的定义域是否关于原点对称； (2)看f(－x)与f(x)的关系． 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 2．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin xcos x； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋. 【解】　(1)函数的定义域为R，关于原点对称． ∵f(－x)＝sin(－x)cos (－x) ＝－sin xcos x＝－f(x)， ∴f(x)＝sin xcos x为奇函数． (2)函数应满足1－sin x≠0， ∴函数的定义域为， 显然定义域不关于原点对称， ∴f(x)＝为非奇非偶函数． (3)由得cos x＝1， ∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称． 当cos x＝1时，f(－x)＝0， f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数． 三、三角函数的奇偶性与周期性的简单应用 　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　) A．y＝cos |2x| B．y＝|sin x| C．y＝sin(＋2x) D．y＝cos(－2x) (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，则f()等于 (　　) A．－ B． C．－ D． 【答案】　(1)D　(2)D 【解析】　(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sin(＋2x)＝cos 2x是偶函数，y＝cos(－2x)＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π. (2)f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝f()＝sin＝. 【反思感悟】　 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值． 3．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f()＝1，则f(－)＝ ． 【答案】　1 【解析】　f(－)＝f(－＋3π)＝f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1. 1．函数f(x)＝sin(2x＋)的最小正周期为(　　) A．4π B．2π C．π D． 【答案】　C 【解析】　由题意T＝＝π，故选C. 2．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　) 【答案】　D 【解析】　对于D，x∈(－1，1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数． 3．函数f(x)＝x＋sin x，x∈R(　　) A．是奇函数，但不是偶函数 B．是偶函数，但不是奇函数 C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，又不是偶函数 【答案】　A 【解析】　由f(－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f(x)可知f(x)是奇函数，不是偶函数． 4．函数f(x)＝sin(－)，x∈R的最小正周期为 ． 【答案】　4 【解析】　由已知得f(x)的最小正周期T＝＝4. 5．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝ ． 【答案】　6 【解析】　由已知得f(x＋2)＝f(x)， 所以f(1)＝f(3)＝f(5)＝6. 1．知识归纳： (1)周期函数的概念，三角函数的周期． (2)三角函数的奇偶性． (3)周期性、奇偶性的应用． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$