2.3 第1课时 一元二次不等式及其解法-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

第1课时　一元二次不等式及其解法 　 第二章　单元学习五　二次函数与一元二次方程、不等式 本单元在初中学习一元一次函数与方程、不等式的联系的基础上，用二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，借助二次函数求解一元二次不等式，用一元二次不等式解决实际问题，学习计划2课时. 本单元重难点是二次函数与一元二次方程、不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式.在学习的过程中，体会函数思想与数形结合的思想方法，提升逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养. 单元整体设计 学习目标 1.从函数观点看一元二次方程.了解函数的零点与方程根的关系. 2.从函数观点看一元二次不等式.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数形结合的思想方法，培养数学运算的核心素养. 任务一　 1 任务二　 2 任务三　 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　一元二次不等式的概念 返回 问题1．给出下面四个不等式： (1)x2－x－6＞0；(2)x2－x－6≤0； (3)x2－4x＋4≥0；(4)2x2＋x＋5＜0. 以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是 多少？ 提示：每个不等式含有一个未知数；未知数的最高次数是2. 问题导思 新知构建 定义 只含有一个________，并且未知数的最高次数是___的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a≠0，a，b，c均为常数 未知数 2 下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0； ②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有______(填序号). 典例1 ②④ 由一元二次不等式的定义知，符合要求的有②、④. 规律方法 一元二次不等式概念中的关键词 1.一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数). 2.二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 对点练1．(多选)下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是 A.x＋＜－1 B.x2＋mx－1＞0 C.x3＋＋1＜0 D.x2＜1 由于x＋＜－1和x3＋＋1＜0不满足一元二次不等式的定义，故A，C 错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故B，D正确.故选BD. √ √ 返回 任务二　二次函数与一元二次方程、不等式 之间的关系 返回 (阅读教材P50—51，完成探究问题2) 问题2．下表是二次函数y＝x2－x－6的一些对应值表，下图抛物线是其图象. 根据以上图表，你能说出一元二次方程x2－x－6＝0的解吗？你能说出一元二次不等式x2－x－6＞0与x2－x－6≤0的解集吗？ 提示：x1＝－2或x2＝3；{x｜x＜－2，或x＞3}，{x｜－2≤x≤3}. 问题导思 x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 1.二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使_______________的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的______. 新知构建 ax2＋bx＋c＝0 零点 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是该函数图象与x轴的交点吗？ 提示：不是.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是该函数图象与x轴交点的横坐标. 微思考 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0) 的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＞0(a＞0) 的解集 ___________________ ____ ax2＋bx＋c＜0(a＞0) 的解集 __________________ ____ ____ {x｜x＜x1，或x＞x2} R {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ (链教材P52例1、例2、例3)求下列不等式的解集： (1)2x2＋5x－3＜0； 解：Δ＝49＞0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝， 作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示. 由图可得原不等式的解集为. 典例2 (2)－3x2＋6x≤2； 解：原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12＞0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝， 作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为 . (3)4x2＋4x＋1＞0； 解：因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示. 由图可得原不等式的解集为. (4)－x2＋6x－10＞0. 解：原不等式可化为x2－6x＋10＜0， 因为Δ＝－4＜0， 所以方程x2－6x＋10＝0无实根， 所以原不等式的解集为⌀. 规律方法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 第一步(化标准)：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正； 第二步(判别式)：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式； 第三步(求实根)：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； 第四步(画图象)：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象； 第五步(写解集)：根据图象写出不等式的解集. 对点练2．求下列不等式的解集： (1)x2＋x＜0； 解：不等式x2＋x＜0可化为x(x＋1)＜0， 解得－1＜x＜0， 所以不等式的解集为{x｜－1＜x＜0}. (2)4x2－4x＋1＞0； 解：易知方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象，如图所示. 由图可得原不等式的解集为. (3)x2－3x＋2＞0. 解：不等式x2－3x＋2＞0可化为(x－1)(x－2)＞0， 解得x＜1，或x＞2. 所以不等式的解集为{x｜x＜1，或x＞2}. 返回 任务三　含参数的一元二次不等式的解法 返回 角度1　二次项系数不含参数 解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0. 解：原不等式可化为(x＋1)(x－a)＜0，所以x2＋(1－a)x－a＝0的两根为x1＝－1，x2＝a. 又函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜－1}； 当a＝－1时，原不等式的解集为⌀； 当a＞－1时，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜a}. 典例3 角度2　二次项系数含有参数 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.(a＜1) 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1＜0，解得x＞1； ②当a＜0时，原不等式化为(x－1)＞0，解得x＜，或x＞1； ③当0＜a＜1时，即＞1，解得1＜x＜. 综上可知，当a＜0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为 . 典例4 规律方法 1.对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论. 2.若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论. 对点练3．当a≥0时，求关于x的不等式ax2＋(1＋2a)x＋2＜0的解集. 解：由ax2＋(1＋2a)x＋2＜0， 得(ax＋1)(x＋2)＜0. ①当a＝0时，原不等式即为x＋2＜0，解得x＜－2. ②当a＞0时，方程(ax＋1)(x＋2)＝0的两根分别为x1＝－＜0，x2＝－2. 当a＝时，原不等式即为(x＋2)2＜0，该不等式无解； 当－＜－2，即0＜a＜时，解得－＜x＜－2； 当－＞－2，即a＞时，解得－2＜x＜－. 综上，当a＝0时，不等式解集为{x｜x＜－2}； 当0＜a＜时，不等式解集为；当a＝时，不等式解集 为⌀； 当a＞时，不等式解集为. 返回 课堂小结 任务再现 (1)一元二次不等式的概念及解法.(2)含参数的一元二次不等式的解法 方法提炼 数形结合法、分类讨论法 易错警示 解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准 随堂评价 返回 1.下列不等式：①x2＞0；②－x2－x≤5；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0； ⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中是一元二次不等式的有 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 √ 根据一元二次不等式的定义，只有①②满足.故选D. 2.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是 A. B. C.⌀ D. √ 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，所以3x＋1＝0，所以x＝－.故选D. 3.不等式3＋5x－2x2≤0的解集为 A. B. C. D.R √ 3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3，或x≤－.故 选C. 4.若0＜m＜1，则不等式(x－m)(x－)＜0的解集为______________. 因为0＜m＜1，所以＞1＞m，故原不等式的解集为. 返回 课时分层评价 返回 1.不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是 A.{x｜x＜－1} B. C. D. －2x2＋x＋3＜0，即2x2－x－3＞0，即(2x－3)(x＋1)＞0，所以x＜－1，或x＞.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.“－2＜x＜4”是“x2－x－6＜0”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 由x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3，因为－2＜x＜4⇒/ －2＜x＜3，－2＜x＜3⇒－2＜x＜4，故“－2＜x＜4”是“x2－x－6＜0”的必要不充分条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是 A. B. C. D. √ 不等式(x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0，解得－≤x≤1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)＞0的解集是 A.{x｜x＜－n，或x＞m} B.{x｜－n＜x＜m} C.{x｜x＜－m，或x＞n} D.{x｜－m＜x＜n} 不等式变形为(x－m)(x＋n)＜0，由m＋n＞0，得m＞－n，所以不等式的解集为{x｜－n＜x＜m}.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)若方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根x1，x2且x1＜x2，则 A.当a＞0时，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为{x｜x1＜x＜x2} B.当a＞0时，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为{x｜x＜x1，或x＞x2} C.若不等式ax2＋2x＋1＞0的解集为{x｜x1＜x＜x2}，则x1＞0 D.若不等式ax2＋2x＋1＞0的解集为{x｜x1＜x＜x2}，则x2＞0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a＞0时，函数y＝ax2＋2x＋1的图象开口向上，所以不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为{x｜x1＜x＜x2}，故A正确，B错误；若不等式ax2＋2x＋1＞0的解集为{x｜x1＜x＜x2}，则a＜0，函数y＝ax2＋2x＋1的图象开口向下.又函数y＝ax2＋2x＋1的图象过定点(0，1)，则x1＜0，x2＞0，故C错误，D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是 A.不等式的解集可以是{x｜x＞3} B.不等式的解集可以是R C.不等式的解集可以是⌀ D.不等式的解集可以是{x｜－1＜x＜3} √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，假设结论成立，则无实数解，故A错误；对于 B，当a＝1，b＝0时，不等式x2＋3＞0恒成立，则解集是R，故B正确；对于C，当x＝0时，ax2＋bx＋3＝3＞0，则解集不可能为⌀，故C错误； 对于D，假设结论成立，则符合题意，故D正确，故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.使式子有意义的实数x的取值范围是______________. 分析知应使－x2－x＞0，即x2＋x＜0，所以－1＜x＜0，所以实数x的取值范围是{x｜－1＜x＜0}. {x｜－1＜x＜0} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为____________________________. 由x2－2x－3≥0得x≤－1，或x≥3；由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4.所以－2＜x≤－1，或3≤x＜4.所以原不等式的解集为{x｜－2＜x≤－1，或3≤x＜4}. {x｜－2＜x≤－1，或3≤x＜4} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是___________ __________. 方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1＜0，所以a＜－，所 以－a＞5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x｜x＜5a，或x＞－a}. {x｜x＜5a， 或x＞－a} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)求下列不等式的解集： (1)2＋3x－2x2＞0； 解：原不等式可化为2x2－3x－2＜0，所以(2x＋1)(x－2)＜0，解得－＜x＜2， 故原不等式的解集是. (2)x(3－x)≤x(x＋2)－1； 解：原不等式可化为2x2－x－1≥0，所以(2x＋1)(x－1)≥0，解得x≤－，或 x≥1，故原不等式的解集为. (3)x2－2x＋3＞0. 解：对于方程x2－2x＋3＝0，因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，所以原不等式的解集是R. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(新定义)在R上定义运算“☉”：a☉b＝ab＋2a＋b，则满足x☉(x－2)＜0的实数x的取值范围为 A.{x｜0＜x＜2} B.{x｜－2＜x＜1} C.{x｜x＜－2，或x＞1} D.{x｜－1＜x＜2} √ 根据给出的定义得，x☉(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x☉(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，解得－2＜x＜1，故不等式的解集是{x｜－2＜x＜1}.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)下列关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＞0的解集讨论正确的是 A.当a＝1时，解集为⌀ B.当a＞1时，解集为{x｜x＞a} C.当a＜1时，解集为{x｜x＞1，或x＜a} D.无论a取何值，解集均不为空集 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原不等式可化为(x－1)(x－a)＞0. A × 当a＝1时，原不等式为(x－1)2＞0，解得x≠1. B × 当a＞1时，不等式的解集为{x｜x＜1，或x＞a}. C √ 当a＜1时，不等式的解集为{x｜x＞1，或x＜a}. D √ 函数y＝x2－(a＋1)x＋a的图象开口向上，所以无论a取何值，不等式的解集均不为空集. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若a＜0，则关于x的不等式a(x＋1)＜0的解集为 ________________________. 因为a＜0，所以原不等式等价于(x＋1) ＞0，方程(x＋1) ＝0的两根为－1，－，显然－＞0＞－1，所以原不等式的解集为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)解关于x的不等式x2－x－a2＋a＜0(0≤a≤1). 解：由x2－x－a2＋a＜0， 得(x－a)[x－(1－a)]＜0. 因为0≤a≤1， 所以①当1－a＞a，即0≤a＜时，a＜x＜1－a； ②当1－a＝a，即a＝时，＜0，不等式无解； ③当1－a＜a，即＜a≤1时，1－a＜x＜a. 综上所述，当0≤a＜时，解集为{x｜a＜x＜1－a}； 当a＝时，解集为⌀； 当＜a≤1时，解集为{x｜1－a＜x＜a}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)若“0＜x＜1”是“(x－a)[x－(a＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________________. {a｜－1≤a≤0} 由(x－a)[x－(a＋2)]≤0，得a≤x≤a＋2.要使“0＜x＜1”是“(x－a)[x －(a＋2)]≤0”的充分不必要条件，则有所 以－1≤a≤0.故实数a的取值范围是{a｜－1≤a≤0}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)解关于x的不等式(a＋1)x2－(2a＋3)x＋2＜0. 解：①当a＋1＝0，即a＝－1时，原不等式变为－x＋2＜0，即x＞2. ②当a＋1＞0，即a＞－1时，原不等式可化为(x－2)＜0， 若－1＜a＜－，则＞2，解得2＜x＜； 若a＝－，则＝2，无解； 若a＞－，则＜2，解得＜x＜2. ③当a＋1＜0，即a＜－1时，原不等式可化为(x－2)＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a＜－1，所以＜2，解得x＜，或x＞2. 综上可知，当a＞－时，原不等式的解集为；当a＝－时，原不等式的解集为⌀；当－1＜a＜－时，原不等式的解集为 ；当a＝－1时，原不等式的解集为{x｜x＞2}；当a＜－1 时，原不等式的解集为. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回 $