2.2 第2课时 基本不等式的应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，涵盖不等式证明、实际生活及几何中的最值问题。通过复习基本不等式导入，以任务一证明、任务二实际应用、任务三几何应用为支架，构建从理论到实践的递进学习脉络。 其亮点是结合动物园笼舍设计、运输成本计算等实例，培养数学建模与运算素养，通过“拆拼凑”技巧总结提升逻辑推理能力。随堂与分层评价题型多样，学生能提升问题解决能力，教师可直接利用丰富资源优化教学。

第2课时　基本不等式的应用 　 第二章　单元学习四　基本不等式 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题，培养数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　利用基本不等式证明不等式 1 任务二　基本不等式的实际应用 2 任务三　基本不等式在几何中的应用 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　利用基本不等式证明不等式 返回 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 所以原不等式得证. 典例1 变式探究 (变设问)保持本例条件不变，试证明：＋＋≥9. 证明：＋＋ ＝＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 所以原不等式得证. 规律方法 利用基本不等式证明不等式的关键点及注意事项 1.借助基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必有“和式”或“积式”，然后利用不等式的性质与基本不等式进行转化，达到放缩的效果. 2.注意事项：(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立.(2)巧用“1”的代换证明不等式.(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，创造使用基本不等式的条件再使用. 对点练1．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0， 所以2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥＋＋. 因为a，b，c为不全相等的正实数， 所以等号不能取得， 故a＋b＋c＞＋＋. 返回 任务二　基本不等式的实际应用 返回 (链教材P47例4)如图，动物园要以墙体为背 面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼. (1)现有36 m长的钢筋网材料，x，y的值分别为多少时，每间虎笼的面积 最大？ 解：设每间虎笼的面积为S m2，由已知可得4x＋5y＝36，由基本不等式 可得S＝xy＝·4x·5y≤＝，当且仅当 即时，等号成立， 因此，x，y的值分别为，时，每间虎笼的面积最大. 典例2 (2)若每间虎笼的面积为20 m2，x，y的值分别为多少时，围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 解：由题知xy＝20，则4x＋5y≥2＝40，当且仅当时，等号成立，因此，x，y的值分别为5，4时，围成四间虎笼的 钢筋网总长最小. 规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤 第一步：理解题意.设变量，并理解变量的实际意义； 第二步：构造定值.利用基本不等式求最值； 第三步：检验.检验等号成立的条件是否满足题意； 第四步：得出结论. 对点练2．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/时. (1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本y(单位：元)用航行速度x(单位：海里/时)表示； 解：由题意，每小时的燃料费用为0.5x2元，从甲地到乙地所用的时间为小时，则y＝0.5x2·＋800·＝150(0＜x≤50). (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 解：由(1)得y＝150≥300·＝12 000， 当且仅当x＝，即x＝40时等号成立. 故要使该货轮从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以40海里/时的速度行驶. 返回 任务三　基本不等式在几何中的应用 返回 (链教材P49T8)如图所示，设矩形ABCD(AB＞BC) 的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB'交DC于点P， 设AB＝x. (1)用x表示DP，并求出x的取值范围； 解：矩形ABCD(AB＞BC)的周长为24， 因为AB＝x，所以AD＝－x＝12－x， 因为AB＞BC＝AD，得x＞12－x，所以6＜x＜12， 在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，从而得DP＝PB'， 所以AP＝AB'－PB'＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，所以DP＝12－(6＜x＜12). 典例3 (2)求△ADP面积的最大值及此时x的值. 解：在Rt△ADP中，S△ADP＝AD·DP＝(12－x)＝108－(6 ＜x＜12). 因为6＜x＜12，所以6x＋≥2 ＝72，当且仅当6x＝，即x ＝6时，等号成立. 所以S△ADP＝108－ ≤108－72， 所以当x＝6时，△ADP的面积取最大值108－72. 规律方法 　　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 对点练3．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝______时，矩形花坛AMPN的面积最小. 4米 设BM＝x(x＞0)，则由DC∥AM得＝，解得 ND＝，所以矩形AMPN的面积为S＝(4＋x)(3＋) ＝24＋3x＋≥24＋2 ＝48，当且仅当3x＝ ，即x＝4时等号成立.所以当BM＝4米时，矩形花坛AMPN的面积最小. 返回 课堂小结 任务再现 (1)基本不等式在生活中的应用.(2)基本不等式在几何中的应用 方法提炼 配凑法、综合法 易错警示 生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围 随堂评价 返回 1.用12 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是 A.3 cm2 B.6 cm2 C.9 cm2 D.12 cm2 √ 设矩形的长、宽分别为x cm，y cm，则有2(x＋y)＝12，即x＋y＝6，则S ＝xy≤＝9，当且仅当x＝y＝3时等号成立，故这个矩形的面积是9 cm2.故选C. 2.为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s(单位：万元)与生产线运转时间t(单位：年)满足二次函数关系：s＝－2t2＋40t－98，现要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间为 A.7年 B.8年 C.9年 D.10年 √ 平均利润(单位：万元)为＝， 因为＝－＋40≤－2＋40＝12，当且仅当 2t＝，即t＝7时取等号，故要使年平均利润最大，则每条生产线要运行7年.故选A. 3.某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则 A.x＝ B.x≤ C.x＞ D.x≥ √ 由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，因为(1 ＋a)(1＋b)≤2，所以1＋x≤＝1＋，所以x≤， 当且仅当a＝b时取等号.故选B. 4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为_____. 400 由题意设矩形花园的长为x(x＞0)，宽为y(y＞0)，矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以＝，又因为AG＝BC＝40，所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，由基本不等式x＋y≥2，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400. 返回 课时分层评价 返回 1.∃x＞0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是 A.a＞2 B.a≥2 C.a＜2 D.a≤2 ∃x＞0，使得＋x－a≤0，等价于x＞0时a≥(x＋)min，因为x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的 A.最小长度为8 B.最小长度为4 C.最大长度为8 D.最大长度为4 √ 设BC＝a，CD＝b，因为矩形的面积为4，所以ab＝4，所以围成矩形 ABCD所需要的篱笆长度为2a＋b＝2a＋≥2 ＝4，当且仅当2a＝，即a＝时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次，期间燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是 A.采用第一种方案合适 B.采用第二种方案合适 C.两种方案一样 D.无法确定 √ 假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升.第一种方案的均 价为＝≥；第二种方案的均价为＝. 所以无论油价如何变化，第二种方案都更合适.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造 价是 A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 设底面相邻两边的长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y＝2时取等号)，故该容器的最低总造价是160元.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a＜b)，其全程的平均速度为v，则下列结论正确的是 A.a＜v＜ B.v＝ C.＜v＜ D.v＝ √ 设甲、乙两地之间的距离为s.因为a＜b，所以v＝＝＜＝ .又v－a＝－a＝＝＞0，所以v＞a，所以a＜v＜ .故选AD. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的运营总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是 A.车辆运营年数越多，收入越高 B.车辆在第6年时，总收入最高 C.车辆在前5年的平均收入最高 D.车辆每年都能盈利 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，y＝－x2＋12x－25，是开口向下的二次函数，故A错误；对称轴x＝6，故B正确；＝－x＋12－＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝5时，等号成立，故C正确；当x＝1时，y＝－14，故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若实数0＜a＜1，0＜b＜1，且满足(1－a)b＞，则a，b的大小关系是______. 因为0＜a＜1，0＜b＜1，且(1－a)b＞，所以，又 ≥，所以，所以a＜b. a＜b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过___ h后，池水中该药品的浓度达到最大. C＝＝.因为t＞0，所以t＋≥2＝4(当且仅当t＝，即t＝2时 等号成立).所以C＝＝5，故当t＝2时，C取得最大值. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上、下空白各宽2 dm，左、右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是_____dm2. 56 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.由 题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2≥8＋2×2 ＝ 56(dm2)，当且仅当x＝，即x＝12时等号成立.即四周空白部分面积的最小值为56 dm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3. 证明：左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1 ＝＋＋－3. 因为a，b，c为正数， 所以＋≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)； ＋≥2(当且仅当a＝c时，等号成立)； ＋≥2(当且仅当b＝c时，等号成立). 从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时，等号成立). 所以＋＋－3≥3，即＋＋≥3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是 A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m √ 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，所以 ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)，当且仅当a＝b＝2时等号成立.故C既够用，浪费也最少.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为___. 设两个正方形边长分别为a，b，则由∠B＝∠C＝45°，可得a＋b＝BC ＝1，S＝a2＋b2≥2×2＝，当且仅当a＝b＝时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为_____. 3 由题意知，p＝7，S＝＝· ＝3，当且仅当7－b＝7－c，即b＝c＝4时，等号成立，因此三角形面积的最大值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)某地欲修建一个384 m2的长方形休闲广场，如图所示，场地上、下两边要留1.5 m宽的空白，左、右两侧要留1 m宽的空白，为节约用地，应选用怎样尺寸的长方形用地？ 解：设休闲广场用地的宽为x m，则长为m，所以长方形用地的宽为(x ＋2)m，长为m， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则长方形用地的面积S＝(x＋2)·＝3x＋＋390≥2＋390 ＝486 m2，当且仅当3x＝，即x＝16时，等号成立，此时长方形用地的 长为27 m，宽为18 m. 所以应选择长为27 m，宽为18 m的长方形用地. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)如图所示，4个长为a，宽为b的长方形拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则 A.(a＋b)2≥4ab B.当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合 C.(a－b)2≤4ab D.(a＋b)2＞(a－b)2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图可知，正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有(a＋b)2≥4ab，故A正确；因为正方形A1B1C1D1的面积为(a－b)2，结合图形可知(a＋b)2＞(a－b)2，且当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合，故B，D正确；正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和的大小关系不确定，因此选项C错误.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(10－0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格. (1)求每套丛书利润y与售价x的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？ 解：因为所以0＜x＜100， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝x－＝x－－20(0＜x＜100)， 当x＝80时，y＝80－－20＝55(元)， 此时销售量为10－0.1×80＝2(万套)， 总利润为2×55＝110(万元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润. 解：y＝x－－20， 因为0＜x＜100，所以100－x＞0， 所以y＝－＋80 ≤－2＋80＝60， 当且仅当＝100－x，即x＝90时，等号成立，即每套丛书售价定为90元时，每套丛书的利润最大，最大利润为60元. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回 $