第二章 重点突破1 基本不等式的综合应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

重点突破1 基本不等式的综合应用 　 第二章　一元二次函数、方程和不等式 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用. 2.能构造基本不等式求最值，并求解一些综合问题，培养逻辑推理及数学运算的核心素养. 类型一　利用基本不等式求最值 1 类型二　利用基本不等式求参数的值(范围) 2 类型三　利用基本不等式证明不等式 3 内容索引 随堂评价 4 类型一　利用基本不等式求最值 返回 角度1　巧用“1”的代换求最值 已知a＞0，b＞0，3a＋b＝2ab，求a＋b的最小值. 解：因为a＞0，b＞0，且3a＋b＝2ab， 所以＋＝1， 则a＋b＝(a＋b)＝2＋＋ ≥2＋2＝2＋， 当且仅当＝时等号成立， 即a＝，b＝时取等号， 则a＋b的最小值为2＋. 典例1 规律方法 　　常数代换通常是指“1”的代换，“1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形. 角度2　消元法求最值 已知实数x，y满足xy＋3x＝3，且0＜x＜，求＋的最小值. 解：因为实数x，y满足xy＋3x＝3， 所以x＝，所以0＜＜，解得y＞3. 则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6 ≥2＋6＝8， 当且仅当y－3＝，即y＝4，x＝时，等号成立. 故＋的最小值为8. 典例2 规律方法 　　对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，转化为只含一个变量的最值问题. 角度3　换元法求最值 若a＞0，b＞0，且＋＝1，求a＋2b的最小值. 解：令 所以＋＝1，a＋2b＝＋－， 因为＋＝＝2＋＋≥2＋，当且仅当＝，即m＝n＞0时取等号， 所以a＋2b＝＋－≥ ＋. 故a＋2b的最小值为＋. 典例2 规律方法 　　若题目中的条件是含两个分式的求最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分别运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系. 对点练1．(1)已知x＞0，y＞0，x＋8y＝xy，则x＋2y的最小值为_____. 18 因为x＞0，y＞0，x＋8y＝xy，所以＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y) ＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当 时等号成立.所以x＋2y的最小值为18. (2)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，x＋2y的最小值为___. 4 由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝，因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜8， 所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝(x＋1)＋－2≥ 2－2＝4，当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立.所 以x＋2y的最小值为4. (3)已知x，y为正实数，则＋的最小值为________. 6－4 令＝t＞0，则＋＝2t＋＝2(t＋2)＋－4≥2－4 ＝6－4，当且仅当2(t＋2)＝，即＝t＝－2时，等号成立.所以＋的最小值为6－4. 返回 类型二　利用基本不等式求参数的值(范围) 返回 已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则实数m的最大值等于 A.10 B.9 C.8 D.7 典例4 因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使＋≥恒成立，只需 m≤(2a＋b)恒成立，又(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.故实数m的最大值为9.故选B. √ 规律方法 求参数的值或取值范围的一般方法 1.分离参数，转化为求代数式的最值问题. 2.观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或取值范围. 3.注意等号的取舍，防止失误. 对点练2．若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y＞4＋2m恒成立，则实数m的取值范围是___________. 因为x＞0，y＞0，且＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋ 2≥4＋2＝8，当且仅当＝，即4y2＝x2时等号成立.由x＋2y＞4 ＋2m恒成立，可知4＋2m＜8，解得m＜2，所以实数m的取值范围是{m｜m＜2}. {m｜m＜2} 返回 类型三　利用基本不等式证明不等式 返回 已知a＞0，b＞0，c＞0，且abc＝1，a，b，c不全相等，求证：＋＋＋＋. 证明：因为a＞0，b＞0，c＞0， 所以＋≥①，当且仅当a＝b时等号成立， ＋≥②，当且仅当b＝c时等号成立， ＋≥③，当且仅当a＝c时等号成立， 由①＋②＋③，得 典例5 2≥2，当且仅当a＝b＝c时等号成立， 所以＋＋≥＋＋ ＝， 又abc＝1，且a，b，c不全相等， 所以＋＋＋＋. 规律方法 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 1.策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所求证的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“求知”. 2.注意事项：(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用. 对点练3．已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明：因为x，y都是正数， 所以x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0， 所以x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0，当且仅当x＝y时等号成立， 所以(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立. 返回 随堂评价 返回 1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是 A.s≥t B.s＞t C.s≤t D.s＜t √ 因为b2＋1≥2b，所以a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s，当且仅当b＝1时，等号成立.故选A. 2.若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则的最大值为 A. B. C. D.1 √ 由x＋4y－xy＝0，得x＋4y＝xy，则＋＝1.求的最大值，即求＝ ＋的最小值，所以×1＝＝＋＋≥2＋＝3，当且仅当＝，即x＝6，y＝3时取等号，所以.故选A. 3.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为__________. 由2a＋b＝ab－1，得a＝，因为a＞0，b＞0，所以a＝＞0，b＋1＞0，所以b＞2，所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2，当且仅当2(b－2)＝，即b ＝2＋时等号成立.所以a＋2b的最小值为5＋2. 5＋2 4.设a＞0，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为______. 设＝m，＝n，所以m＞0，n＞0，且m2＋n2＝a＋b＋4＝9.由(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)，则(m＋n)2≤18，所以0＜m＋ n≤3，当且仅当m＝n＝时，等号成立，故＋的最大 值为3. 3 返回 谢 谢 观 看 第二章 一元二次函数、方程和不等式 返回 $