第一章 集合与常用逻辑用语 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

章末综合提升 　 第一章　集合与常用逻辑用语 体系构建 1 分层探究 2 考教衔接 3 单元检测卷 4 内容索引 体 系 构 建 返回 返回 分 层 探 究 返回 探究点一　集合的基本概念 (1)已知集合A＝{(x，y)｜x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为 A.9 B.8 C.5 D.4 典例1 由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以 x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}.所以A＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1， 1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，所以A中元素的个数为9.故选A. √ (2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y｜x∈A，y∈A}中元素的个数是 A.1 B.3 C.5 D.9 ①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1；③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个.故选C. √ 规律方法 解决集合的概念问题的关注点 1.研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么. 2.对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 对点练1．(1)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x｜x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是 A.4 B.5 C.6 D.7 因为a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2，3，4，5，6，8，所以B中有6个元素.故选C. √ (2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为______. 当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1，5，13}，符合题意；当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1.若m＝1，M＝{1，3，5}，符合题意；若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，故m＝3或1. 3或1 探究点二　集合间的基本关系 (1)设全集U＝{x｜｜x｜＜4，且x∈Z}，S＝{－2，1，3}，若P⊆U，(∁UP)⊆S，则这样的集合P共有 A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 易知U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，因为∁U(∁UP)＝P，所以存在一个∁UP，则有一个相应的P.由于S＝{－2，1，3}，且(∁UP)⊆S，则集合S的子集∁UP共有8个，所以集合P也有8个.故选D. √ 典例2 (2)已知集合A＝{x｜－2≤x≤7}，B＝{x｜m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是___________. 当B＝⌀时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠⌀时，若B⊆A，如图. 则解得2＜m≤4.综上，实数m的取值范围为{m｜m≤4}. {m｜m≤4} 规律方法 处理集合间关系问题的关键点 1.判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素. 2.利用集合间的关系求参数的取值范围要注意数形结合与分类讨论思想的活用. 对点练2．已知集合A＝{x｜x＜－1，或x≥1}，B＝{x｜2a＜x≤a＋1，a＜ 1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为_________________________. 因为a＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠⌀.画数轴如图所示. 由B⊆A知，a＋1＜－1或2a≥1，解得a＜－2或a≥.由已知a＜1，所以a＜－2或≤a＜1，故实数a的取值范围是. 探究点三　集合的基本运算 (多选)已知集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}，则 A.A∩B＝ B.A∩(∁RB)＝ C.A∪B＝ D.(∁RA)∪B＝R √ 典例3 √ 因为A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}＝，∁RA＝{x｜x≥2}， ∁RB＝，所以A∩B＝，故A正确；A∩(∁RB)＝，故B正确；A∪B＝{x｜x＜2}，故C错误；(∁RA)∪B＝，故D错误.故选AB. 规律方法 集合基本运算的方法 1.定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解. 2.数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解. 对点练3．(双空题)已知集合A＝{x｜－3＜x≤6}，B＝{x｜b－3＜x＜b＋7}，M＝{x｜－4≤x＜5}，全集U＝R. (1)A∩M＝________________； 因为A＝{x｜－3＜x≤6}，M＝{x｜－4≤x＜5}，所以A∩M＝{x｜－3＜x＜5}. {x｜－3＜x＜5} (2)若B∪(∁UM)＝R，则实数b的取值范围为_________________. 因为M＝{x｜－4≤x＜5}，所以∁UM＝{x｜x＜－4，或x≥5}，又B＝ {x｜b－3＜x＜b＋7}，B∪(∁UM)＝R，所以解得－2≤b＜ －1.所以实数b的取值范围是{b｜－2≤b＜－1}. {b｜－2≤b＜－1} 探究点四　充分条件与必要条件 (1)“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴只有一个交点”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 当a＝0时，函数y＝ax2＋2x－1＝2x－1的图象与x轴只有一个交点；当a≠0时，令Δ＝22－4×a×(－1)＝0，得a＝－1，故函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴只有一个交点时，a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴只有一个交点”的充分不必要条件.故选B. √ 典例4 (2)设集合U＝{(x，y)｜x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)｜2x－y＋m＞0，m∈R}，B＝{(x，y)｜x＋y－n≤0，n∈R}，则(2，3)∈[A∩(∁UB)]的充要条件是 A.m＞－1，n＜5 B.m＜－1，n＜5 C.m＞－1，n＞5 D.m＜－1，n＞5 由题意可得A∩(∁UB)＝，因为(2，3) ∈[A∩(∁UB)]，所以反之也成立， 所以(2，3)∈[A∩(∁UB)]的充要条件是m＞－1，n＜5.故选A. √ 规律方法 判定充分条件与必要条件的常用方法 1.利用定义：判断若p，则q的真假. 2.利用集合间的包含关系判断. 对点练4．(1)设a∈R，则“a＝1”是“a2＝a”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 由a2＝a得a＝1或a＝0，反之，由a＝1得a2＝a，则“a＝1”是“a2＝a”的充分不必要条件.故选A. √ (2)已知集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜x1＜x＜x2}，其中x1，x2(x1＜x2)是关于x的方程x2－2x－a2＋1＝0的两个不同的实数根. ①是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由； 假设存在满足条件的实数a，则B＝A，即x1＝－1，x2＝3. 因为x1，x2是关于x的方程x2－2x－a2＋1＝0的两个不同的实数根， 所以－1×3＝－a2＋1，即a2＝4，解得a＝±2， 故当a＝±2时，“x∈A”是“x∈B”的充要条件. ②若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围. 关于x的方程x2－2x－a2＋1＝0的两根分别为1－a和1＋a. 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 所以B⫋A. 当1－a＞1＋a，即a＜0时， B＝{x｜1＋a＜x＜1－a}， 则解得－2＜a＜0； 当1－a＜1＋a，即a＞0时， B＝{x｜1－a＜x＜1＋a}， 则解得0＜a＜2. 综上，a的取值范围是{a｜－2＜a＜0，或0＜a＜2}. 探究点五　全称量词命题与存在量词命题 (1)若命题p：∀x∈{x｜1≤x≤5}，x2－4x＞5，则¬p为 A.∃x∈{x｜1≤x≤5}，x2－4x≤5 B.∃x∉{x｜1≤x≤5}，x2－4x≤5 C.∀x∉{x｜1≤x≤5}，x2－4x≤5 D.∀x∈{x｜1≤x≤5}，x2－4x≤5 原命题为全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即∃x∈{x｜1≤x≤5}，x2－4x≤5.故选A. √ 典例5 (2)下列命题的否定是假命题的是 A.p：能被3整除的整数是奇数 B.p：每一个四边形的四个顶点都共圆 C.p：有的三角形为正三角形 D.p：∃x∈R，x2＋4x＋5≤0 A中，¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数，实数12不是奇数，但能被3整除，所以¬p是真命题；B中，命题p为假命题，所以綈p是真命题；C中，命题p为真命题，所以¬p是假命题；D中，綈p：∀x∈R，都有x2＋4x＋5＞0，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0，所以¬p是真命题.故选C. √ 规律方法 1.全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.对含有量词命题进行否定：一是改写量词，二是对结论进行否定. 2.根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决.解题过程中要注意变量取值范围的限制. 对点练5．(1)已知p：x＞1或x＜－3，q：x＞a(a∈R).若¬q的一个充分不必要条件是¬ p，则实数a的取值范围是_________. 由已知得¬p：－3≤x≤1，¬q：x≤a.设A＝{x｜－3≤x≤1}，B＝{x｜x≤a}，若¬綈p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q ¬p，所以A⫋B，所以a≥1.所以实数a的取值范围是{a｜a≥1}. {a｜a≥1} (2)设全集U＝R，集合A＝{x｜1≤x≤5}，非空集合B＝{x｜－1－2a≤x≤a－2}. ①若A∩B＝A，求实数a的取值范围； 因为A∩B＝A，所以A⊆B， 所以解得a≥7， 所以实数a的取值范围是{a｜a≥7}. ②若命题“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数a的取值范围. 命题“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A. 又B≠⌀，所以无解. 故实数a的取值范围是⌀. 返回 考 教 衔 接 返回 (2024·全国甲卷理)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜∈A}，则∁A(A∩B)＝ A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 真题1 B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A(A∩B)＝{2，3，5}.故选D. √ 溯源：(教材P14习题1.3T4) 已知集合A＝{x｜3≤x＜7}，B＝{x｜2＜x＜10}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B，A∪(∁RB). 点评：该高考题主要考查集合的交集与补集运算，与教材习题角度相同，只不过换了集合. (2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝ A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2} D.{2} 法一：因为N＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≤－2，或x≥3}，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C. 法二：因为M＝{－2，－1，0，1，2}，将－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}.故选C. √ 真题2 溯源：(教材P14习题1.3T1)集合A＝{x｜2≤x＜4}，B＝{x｜3x－7≥8－2x}，求A∪B，A∩B. 点评：该高考题主要考查集合的交集运算，与教材习题的考查角度完全相同，对于此类问题一定要注意不等式中端点的取舍. (2023·全国甲卷理)设集合A＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A∪B)＝ A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z} C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.⌀ 因为整数集U＝{x｜x＝3k，k∈Z}∪{x｜x＝3k＋1，k∈Z}∪{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，所以∁U(A∪B)＝{x｜x＝3k，k∈Z}.故选A. √ 真题3 溯源：(教材P13例6)设全集U＝{x｜x是三角形}，A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B). 点评：本高考题主要考查集合的并集与补集运算，与教材例题角度相同，只不过换了用字母表示的集合. (2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝ A.2 B.1 C. D.－1 因为A⊆B ，则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意；综上所述， a＝1.故选B. √ 真题4 溯源：(教材P35复习参考题1T9)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，是否存在实数a，使得A∪B＝A？若存在，试求出实数a的值，若不存在，请说明理由. 点评：教材复习题与高考题都考查由集合间的关系求参数问题，都需要通过集合中元素的互异性对解出的值进行合理取舍. (2022·全国乙卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则 A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M 由题知M＝∁U(∁UM)＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，BCD错误.故 选A. √ 真题5 溯源：(教材P14习题1.3T6)已知全集U＝A∪B＝{x∈N｜0≤x≤10}，A∩(∁UB)＝{1，3，5，7}，试求集合B. 点评：教材习题与高考题都考查了集合运算的逆运用，即已知集合运算的结果，求其中一个集合. (2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96％的学生喜欢足球或游泳，60％的学生喜欢足球，82％的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A.62％ B.56％ C.46％ D.42％ 设该校学生总数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为x；则100× 96％＝100×60％＋100×82％－x，解得x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46％.故选C. √ 真题6 溯源：(教材P35复习参考题1T11) 学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 点评：高考题与教材复习题均以学生喜爱的体育运动为背景考查集合运算的实际应用. (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则 A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题 因为∀x∈R，｜x＋1｜≥0，所以命题p为假命题，所以綈p为真命题.因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以綈p和q都是真命题.故选B. √ 真题7 溯源：(教材P35复习参考题1T7) 写出下列命题的否定，并判断它们的真假： (1)∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根； (2)每个正方形都是平行四边形； (3)∃m∈N， ∈N； (4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360°. 点评：该高考题主要考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判断，与教材复习题角度完全相同. (2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 由a2＝b2可得a＝±b，所以a2＋b2＝2a2或a2＋b2＝2b2，由a2＋b2＝2ab可得(a－b)2＝0，即a＝b，所以a2＝b2，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B. √ 真题8 溯源：(教材P22习题1.4T2) 在下列各题中，判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)： (1)p：三角形是等腰三角形，q：三角形是等边三角形； (2)p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0(a≠0)； (3)p：a∈P∩Q，q：a∈P； (4)p：a∈P∪Q，q：a∈P； (5)p：x＞y，q：x2＞y2. 点评：该高考题主要考查利用充分、必要条件的意义判断命题间的充分、必要性，与教材习题角度完全一致，且难度小于教材习题. 返回 单 元 检 测 卷 返回 A∪B＝.故选B. √ 1.已知集合A＝，B＝，则A∪B＝ A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 2.命题“∀x＞0，都有x3＞x＋1”的否定是 A.∃x＞0，使得x3≤x＋1 B.∃x＞0，使得x3＜x＋1 C.∃x≤0，都有x3≤x＋1 D.∀x＞0，都有x3≤x＋1 根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：命题“∀x＞0，都有x3＞x＋1”的否定是“∃x＞0，使得x3≤x＋1”.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 3.下列命题为真命题的是 A.∀x∈R，x2＞0 B.∃x∈R，x2＜0 C.∀x∈Q，x2－2≠0 D.∃x∈Q，x2－2＝0 当x＝0时，x2＝0，故A是假命题；因为∀x∈R，x2≥0，所以不存在x∈R，x2＜0，故B是假命题；由x2－2＝0⇒x＝±，而±是无理数，故C是真命题，D是假命题.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 易知A＝{2，5}，B＝{2，3，4，5}，又A⊆C⫋B，所以2∈C，5∈C，且3，4至多有一个元素在C中，则C＝{2，5}或{2，5，3}或{2，5，4}.故选C. √ 4.已知集合A＝{x｜x2－7x＋10＝0，x∈R}，B＝{x｜1＜x＜6，x∈N}，则满足条件A⊆C⫋B的集合C的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 5.设集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{0，1，2，3}，定义A*B＝{(x，y)｜x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素个数是 A.7 B.10 C.25 D.52 因为集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{0，1，2，3}，所以A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}，所以A*B＝{(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)}，共有10个元素.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 6.集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－2＜x＜m}，若x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是 A.－1＜m＜2 B.m≥2 C.－2＜m≤2 D.m＞2 A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜－2＜x＜m}，因为x∈B的充分条件是x∈A，所以A⊆B，则m≥2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为命题“∃m∈R，A∩B≠⌀”为假命题，所以，命题“∀m∈R，A∩B＝⌀”为真命题，因为集合A＝，集合B＝.所以，当A＝＝⌀时，a＜0，此时A∩B＝⌀成立， 当A＝≠⌀时，由“∀m∈R，A∩B＝⌀”得解 得a∈{a｜0≤a＜3}，综上，实数a的取值范围为{a｜a＜3}.故选A. 7.已知集合A＝，集合B＝，如果命题“∃m∈R，A∩B≠⌀”为假命题，则实数a的取值范围为 A.{a｜a＜3} B.{a｜a＜4} C.{a｜1＜a＜5} D.{a｜0＜a＜4} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知命题p：∃x∈{x｜0≤x≤1}，x2－2x－2＋a＞0；命题q：∀x∈R，x2－2x－a≠0，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为 A.－1≤a≤3 B.－1≤a≤2 C.0≤a≤2 D.a≤－1 由∃x∈{x｜0≤x≤1}，x2－2x－2＋a＞0，得∃x∈{x｜0≤x≤1}，a＞－x2＋2x＋2，－x2＋2x＋2＝－(x－1)2＋3，x∈{x｜0≤x≤1}，则当x＝0时，－x2＋2x＋2取最小值2，所以a＞2，命题q：∀x∈R，x2－2x－a≠0，则Δ＝(－2)2＋4a＜0，即a＜－1，若命题p，q均为假命题，则a≤2且a≥－1，即－1≤a≤2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.已知集合U＝，M＝，N＝， 则下列结论中正确的是 A.M∩N＝ B.M∪N＝ C.∁UM＝ D.∁UN＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为U＝＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝ ，N＝，对于A，M∩N＝，故A错误；对于B，M∪N＝，故B正确；对于C，∁UM＝，故C错误；对于D，∁UN＝，故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.下列说法中正确的是 A.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件 B.命题p：∀x∈R，x2＞0，则其否定：∃x∈R，x2＜0 C.命题“若a＞b＞0，则＜”的否定是假命题 D.“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，a＞1，b＞1时，易得ab＞1，故A正确；对于B，全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p：∀x∈R，x2＞0的否定：∃x∈R， x2≤0，故B错误；对于C，其否定为“若a＞b＞0，则≥”，当a＝2， b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于D，由“a＞b”并不能推出“a2＞b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 11.定义集合运算：AⓧB＝{z｜z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则 A.当x＝，y＝时，z＝1 B.x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)对应4个式子 C.AⓧB中有4个元素 D.AⓧB的真子集有7个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当x＝，y＝时，z＝(＋)×(－)＝0，故A错误；x可取，，y可取1，，则z可取(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四个式子，故B正确；AⓧB＝{0，1，2}，共3个元素，故C错误；AⓧB的真子集有23－1＝7(个)，故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.已知p：x＞2，q：x＞m，若p的一个充分不必要条件是q，则实数m的取值范围是___________. {m｜m＞2} 由题意，设p对应的集合为P＝{x｜x＞2}，q对应的集合为Q＝{x｜x＞m}，则Q⫋P，可知m＞2，所以实数m的取值范围是{m｜m＞2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中a＋b＋c＝______. 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由Venn图可知：⇒2(a＋b＋c)＋107＝161⇒a＋b ＋c＝27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.若集合A＝{x｜ax2－3x＋1＝0}中只含有一个元素，则a的值为_____； 若A的真子集的个数是3个，则a的取值范围是________________________. (本题第一空2分，第二空3分) 0或 由集合A＝{x｜ax2－3x＋1＝0}中只含有一个元素，易知a＝0或 解得a＝0或a＝.若A的真子集个数是3个，则ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以解得a＜0，或0＜a＜.故a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(13分)已知集合A＝{x｜－3＜x＜4}，集合B＝{x｜m－1＜x＜3m＋3}. (1)当m＝2时，求A∪B； 解：当m＝2时，B＝{x｜1＜x＜9}， 所以A∪B＝{x｜－3＜x＜9}. (2)若A∩B＝⌀，求实数m的取值范围. 解：当B＝⌀时，m－1≥3m＋3，解得m≤－2. 当B≠⌀时，解得m≥5， 综上，实数m的取值范围为{m≥5，或m≤－2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)设命题p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0，命题q：实数x满足2＜x≤3. (1)若a＝1，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围； 解：当a＝1时，命题p：1＜x＜3， 当p为真命题时，实数x的取值范围是1＜x＜3. 当q为真命题时，实数x的取值范围是2＜x≤3， 所以当p，q均为真命题时， 解得2＜x＜3， 所以实数x的取值范围是{x｜2＜x＜3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解：¬p是¬q的充分不必要条件，即¬p⇒¬q且¬q⇒/ ¬p. 设A＝{x｜x≤a，或x≥3a，a＞0}，B＝{x｜x≤2，或x＞3}， 则A⫋B， 所以0＜a≤2且3a＞3，即1＜a≤2. 所以实数a的取值范围是{a｜1＜a≤2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)已知a，b，c为实数，且a＋b＋c≠0，证明：a＝b＝c的充要条件是a3＋b3＋c3＝3abc. 证明：先证明充分性，即a3＋b3＋c3＝3abc⇒a＝b＝c. a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b)3－3ab(a＋b)＋c3－3abc ＝(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c) ＝(a＋b＋c)(a2＋2ab＋b2－bc－ac＋c2－3ab) ＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac). 由a＋b＋c≠0，a3＋b3＋c3－3abc＝0，得a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，即a＝b＝c. 再证明必要性，即a＝b＝c⇒a3＋b3＋c3＝3abc. 当a＝b＝c时，a3＋b3＋c3＝3a3，3abc＝3a3，所以a3＋b3＋c3＝3abc. 故a＝b＝c的充要条件是a3＋b3＋c3＝3abc. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)设集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}. (1)若A∩B＝{2}，求实数a的值； 解：由题意知A＝{1，2}. 因为A∩B＝{2}，所以2∈B，将x＝2代入B中方程，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3. 当a＝－1时，B＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{2}，满足条件. 综上可得，a的值为－1或－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围； 解：由题意知A＝{1，2}. 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0， ①当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)＜0，即a＜－3时，B＝⌀，满足条件； ②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件； ③当Δ＞0，即a＞－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，此时a的值不存在. 综上可知，a的取值范围是{a｜a≤－3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)若U＝R，A∩(∁UB)＝A，求实数a的取值范围. 解：由题意知A＝{1，2}. 因为A∩(∁UB)＝A，所以A⊆(∁UB)，所以A∩B＝⌀， 对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0， ①当Δ＜0，即a＜－3时，B＝⌀，满足条件. ②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，A∩B＝{2}，不满足条件. ③当Δ＞0，即a＞－3时，此时只需1∉B且2∉B即可， 将x＝2代入B中的方程，得a＝－1或a＝－3(舍去)；将x＝1代入B中的方程，得a＝－1±，所以a≠－1且a≠－1±. 综上，a的取值范围是{a｜a≠－1，－3，－1±}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)设A是实数集的非空子集，称集合B＝{uv｜u，v∈A且u≠v}为集合A的生成集. (1)当A＝{2，3，5}时，写出集合A的生成集B； 解：因为A＝{2，3，5}，所以B＝{6，10，15}. (2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； 解：设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，且0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5. 因为a1a2＜a1a3＜a1a4＜a1a5＜a2a5＜a3a5＜a4a5，所以B中元素个数大于或等于7. 不妨设A＝{21，22，23，24，25}，则B＝{23，24，25，26，27，28，29}，此时B中元素个数为7， 所以生成集B中元素个数的最小值为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由. 解：不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合A＝{a，b，c，d}，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，不妨设0＜a＜b＜c＜d，则集合A的生成集B＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}， 则必有ab＝2，cd＝16，4个正实数的乘积abcd＝32；也必有ac＝3，bd＝10，4个正实数的乘积abcd＝30，矛盾. 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 第一章　集合与常用逻辑用语 返回 $