专题13.1 勾股定理及其逆定理（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题13.1 勾股定理及其逆定理 1.掌握勾股定理的内容和验证 2.掌握勾股定理的逆定理及它与勾股定理的关系 3.会运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题(如测量湖的宽度、判定直角三角形等). 4. 了解勾股数的概念 5.了解反证法以及反证法的一般步骤,体会反证法的思想 6.会用反证法进行简单的几何证明 知识点1 勾股定理 1．勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 几何语言：在Rt 中， ， ，则 ． 2.基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 1.勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系只有在直角三角形中才可以使用勾股定理 2.利用勾股定理，已知直角三角形的其中任意两边可以求出第三边 3.运用勾股定理求解时，若分不清哪条边是斜边，则要分类讨论，写出所有可能的情况，以免漏解或错解 知识点2 勾股定理的证明 1. 常用证法 验证勾股定理的方法有很多，如测量法、几何证明法等，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系来验证 2.著名证法举例 方法 图形 证明 赵爽的“赵爽弦图” ∵ 大正方形的边长为 大正方形的面积为 ．又 ∵ 大正方形的面积 刘徽的“青朱出入图” 设大正方形的面积为 ，则 ．根据 ＂出入相补，以盈补虚＂的原理，有 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积 ，由 图②得 大 正 方 形 的 面 积 ，易得 通过拼图证明命题的思路: 1.图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙面积就不会改变: 2.根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式 3.利用等式的性质验证结论成立 即拼出图形→写出图形面积的表达式→列出等式→恒等变形→证明命题结论 知识点3 直角三角形的判定 1．判定方法 1 两个角互余的三角形是直角三角形． 2．判定方法2（勾股定理的逆定理）如果三角形的三边长 a, b, c 有关系 ，那么这个三角形是直角三角形，且边 所对的角为直角． 1．勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说＂在直角三角形中＂＂直角边＂＂斜边＂，因为还没有确定是直角三角形． 2． 只是一种表现形式，满足 或 的也是直角三角形，只是这时 或 为斜边． 3.利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)“找”:找出三角形三边中的最长边 (2)“算”:计算其他两边的平方和与最长边的平方, (3)“判”:若两者相等，则这个三角形是直角三角形否则不是 4.拓展 当两短边的平方和大于最长边的平方时，该三角形为锐角三角形;当两短边的平方和小于最长边的平方时，该三角形为钝角三角形 知识点4 勾股数 1.勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数必须同时满足两个条件:(1)三个数都是正整数;(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方 2.判别一组数是不是勾股数的一般步骤 (1)“看”:看是不是三个正整数, (2)“找”:找最大数; (3)“算”:计算最大数的平方与两个较小数的平方和 (4)“判”:若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数。 1.勾股数有无数组 2.一组勾股数中的各数都乘相同的正整数可以得到一组新的勾股数:如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15 也是勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数 知识点5 反证法 1.定义 反证法是一种论证方式，首先假设命题的结论的反面是正确的，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证 2.反证法证明命题的一般步骤 反设--归谬--结论，即: (1)假设命题的结论的反面是正确的， (2)从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实已证的定理、定义或已知条件相矛盾; (3)由矛盾判定假设不成立，从而得出原结论正确 1.若结论的反面只有一种情况，则反设单一，只需驳倒这种情况，即可达到反证的目的 2.若结论的反面不止一种情况，那么要把各种情况一一驳倒，才能证明原结论正确 题型1 用勾股定理解三角形 1．如图，在四边形中，，，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理的应用以及几何图形中的垂直关系，证明，通过勾股定理计算出是解题的关键． 首先利用全等三角形对应边相等得到，再通过勾股定理求出的长度，最后依据全等三角形对应边相等得出的长度． 【详解】解：， ， ，且, ， ， ， 即是直角三角形， 在中， ，即：， ， ， 故选：A． 2．如图，在中，．将其绕点顺时针旋转一周，则分别以为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理把两个圆的半径的平方差进行转化成已知的数据是解题的关键．根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆的面积，即可求出答案． 【详解】解：圆环的面积为：， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，在中，，底边上的高，，这个三角形的边长为（  ） A． B．， C． D．， 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查勾股定理的应用及等腰三角形的性质，设，则，在中运用勾股定理列出有关的方程，继而即可求各边的长． 【详解】解．设， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：． ， 故选：A． 4．图1是第七届国际数学教育大会（ICME—7）的会徽图案．如图2所示，如果，那么的长为 ． 【答案】6 【知识点】用勾股定理解三角形、图形类规律探索 【分析】本题考查勾股定理、数字类规律探索．根据勾股定理可以求得的值，即可发现数值的变化特点，从而可以求得的长． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ……， 由此发现，， ∴． 故答案为：6 5．如图，阴影部分是长方形，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．先根据勾股定理求出阴影长方形的长为，即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为， 即阴影长方形的长为， ∵阴影部分是长方形， ∴阴影部分面积是， 故答案为：． 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 6．如图所示，直线上有三个正方形，若的面积分别为2和4，则正方形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键． 根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∴在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积分别为2和4， ∴，， ∴， 即正方形的面积为6． 故选：C． 7．如图，在中，，分别以为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，由勾股定理可得，进而即可求解，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：在中，∵，， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先求出，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由正方形的性质得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：4． 题型3 勾股定理与折叠问题 9．如图，在一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点重合，折痕为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题的关键是得到．由翻折易得，在直角三角形中，利用勾股定理即可求得长． 【详解】解：由题意得； 设，则， ， ， 即， 解得：； 即． 故选：A． 10．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B． 11．如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键． 先在中由勾股定理求出，再利用翻折的性质求出，再求的长． 【详解】在中，，，， ， 由翻折的性质知，， ． 故选：B． 12．如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 13．如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是 ；若，，则的长为 ． 【答案】 3 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：；3． 题型4 以弦图为背景的计算题 14．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 15．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】首先根据已知条件设出和的长度，再利用勾股定理求出的长度，最后再次利用勾股定理求出的长度．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：， 设， 由题意得，， ， ， ， ， ， ， 故选： 16．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 【答案】C 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长． 【详解】解：∵小正方形的面积为49， ∴小正方形的边长为7， 设直角三角形的短直角边长为， ∴直角三角形的长直角边为：， ∵直角三角形两直角边和为17， ∴， 解得， ∴直角三角形两直角边分别为5和12， ∴直角三角形的斜边， 即大正方形的边长为13， 故选：C． 题型5 用勾股定理构造图形解决问题 17．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：， 即绳索的长是10米． 故选：A． 18．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 19．两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发，一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行，一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行，10分钟之后两只蚂蚁相距（    ） A．120cm B．160cm C．200cm D．280cm 【答案】C 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】根据题意，画出图形，可知两只蚂蚁爬行的路程和两只蚂蚁的距离构成了一个直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】12×10=120（cm），16×10=160（cm） 由勾股定理可得：两只蚂蚁间的距离=（cm） 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意构建直角三角形用勾股定理求解是解题的关键． 20．一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 21．如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，则蚂蚁走的最短路径长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】将长方体沿剪开，使处于同一平面，连接，此时长度最短，在直角三角形中，用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图 由题意可知处于同一平面，连接、， ∴在中，， 在中，， ∵ ∴蚂蚁的最短路径为 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体的展开图与勾股定理．解题的关键在于将几何体展开找到最短路径． 题型6 判断三边能否构成直角三角形 22．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形、在网格中判断直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 23．将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、，，故选项A不符合题意； B、，，故选项B不符合题意； C、，，故选项C符合题意； D、，，故选项D不符合题意； 故选：C． 24．下列长度的三条线段，不能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．8，13，15 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形即可． 【详解】解：A、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意； B、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意； C、，故能组成直角三角形，本选项不符合题意； D、，故不能组成直角三角形，本选项符合题意． 故选：D． 25．下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，根据勾股定理的逆定理判断A和B即可；根据三角形的内角和定理判断C和D即可． 【详解】解：A．∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴设三边分别为， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵ ∴，则， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴是最大角， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 26．若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是 ． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 三角形是直角三角形． ∵， ∴， ∴这个三角形的面积是， 故答案为：． 题型7 在网格中判断直角三角形 27．如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，证明是解题的关键． 28．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． (1)请以，，作为三角形的三边长，在图中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形，理由见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题主要考查了网格图形和勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）借助网格，利用勾股定理画出三角形即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：结论：是直角三角形． 理由：∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 29．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)直接写出：的面积为______；______． 【答案】(1)见解析 (2)；90 【知识点】利用网格求三角形面积、勾股定理与网格问题、画轴对称图形、在网格中判断直角三角形 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、利用网格求三角形面积、勾股定理及其逆定理等知识，熟记几何图形性质是解题的关键． （1）根据图形的对称性，分别作A、B、C三点关于y轴对称的点、、，连接三点即得所求图形； （2）用所在长方形面积减去周围小三角形面积即可；根据勾股定理的逆定理即可求出． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：的面积为； ∵，，， ∴， ∴． 30．如图是的正方形网格，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的垂线； (2)在图2的上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、作垂线(尺规作图)、格点图中画等腰三角形、在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题； （1）取格点，作直线即可； （2）构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，直线即为所求； （2）如图2，点即为所求． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 题型8 利用勾股定理的逆定理求解 31．如果三角形满足，一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】本题考查了直角三角形，三角函数，勾股定理的逆定理．直接利用直角三角形的性质结合勾股定理的逆定理进而分析得出答案． 【详解】A、，，，构成的是等边三角形，三角形三个内角都为，故不符合题意； B、，构成的是等腰直角三角形，三个内角的度数分别为、、，故不符合题意； C、解直角三角形可知该三角形是三个角分别、、的直角三角形，其中，符合“和谐三角形”的定义，故选项正确； D、，，，构成的是直角三角形，根据三角函数值可知不符合“和谐三角形”，故该选项错误； 故选：C． 32．在下列三角形中能从几何角度验证的图(不添加任何辅助线)是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线段最短、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】四个选项中只有B选项可以通过垂线段最短来说明． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∴CA＞CB（直线外一点与直线上各点的连线段中，垂线段最短）， 即：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短的应用，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键． 33．已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度． 【答案】30 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理的逆定理求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再证明得到，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，中，，点D是延长线上一点，且， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为30度， 故答案为：30． 34．如图，在四边形中，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点．作，可推出是等腰直角三角形，即可证，利用即可求解． 【详解】解：作的延长线，垂足为M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 35．如图，，，，，，则 ．    【答案】/度 【知识点】等腰三角形的定义、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答． 【详解】解：，，， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 题型9 勾股定理逆定理的实际应用 36．小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（    ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 【详解】解：∵小淇同学握住第7个结， ∴小惠和小淇之间有6个单位长度， ∵6，8，10是一组勾股数，且， ∴小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形， 故选：C． 37．如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与无理数、勾股定理逆定理的实际应用、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了勾股定理的应用和实数与数轴，利用勾股定理求得的长度，然后结合数轴求得的值即可． 【详解】解：在中，，， ， 设点A所表示的数为， ∵， ∴， ∴， 数轴上点所表示的数是：． 故选：D． 38．如图，已知在中，．，分别是的中点，连接．若，则的面积是 ．    【答案】24 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据三角形的面积公式计算，即可得到答案． 【详解】解：分别是的中点，， ， ， ， 是直角三角形， ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，是解题的关键． 39．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向． 【答案】南偏东度 【知识点】与方向角有关的计算题、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先计算出甲乙两船的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据C岛在A北偏东方向，可得B岛在A南偏东方向． 【详解】解：由题意得：甲船1小时的路程：（海里）， 乙船1小时的路程：（海里）， ∵， 即 ∴， ∵C岛在A北偏东方向， ∴ ∴B岛在A南偏东方向． ∴乙船航行的角度是南偏东方向． 40．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 【答案】米 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，正确得出三角形是直角三角形是解题的关键．先判定三角形为直角三角形，推出三角形为直角三角形，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 题型10 勾股树（数）问题 41．下列各组数中，是勾股数的是（  ） A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，5，6 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义. 根据勾股数的定义判断即可. 【详解】A选项：，而，，不满足勾股数条件； B选项：，而，，不满足勾股数条件； C选项：，而，，满足勾股数条件； D选项：，而，，不满足勾股数条件； 故选：C. 42．下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义，可以进行判断，解题的关键是要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 【详解】解：、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这不是一组勾股数，符合题意； 故选：． 43．在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当时，的值为（   ） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．722 B．800 C．882 D．968 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题、数字类规律探索 【分析】此题考查了勾股数，通过观察表格中a、b、c的规律，发现c = b + 2，且满足勾股定理．将代入方程求解b和c，再求和即可． 【详解】根据表格规律得，，且． 将代入得， 解得 ∴． 故选C． 44．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 【答案】13 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是13， 故答案为：13． 题型11 勾股定理与无理数 45．如图，，则数轴上点C所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查实数与数轴，利用勾股定理求出AB的值为解决本题的关键．可利用勾股定理求出AB的值，即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 即， ∵A为数轴上的， ∴数轴上点C表示的数为． 故选：B． 46．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题、勾股定理与无理数 【分析】本题考查勾股定理，求出的长是解答的关键．如图，连接，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，连接，则， ， ∴在中， 由勾股定理得：， ， 故选：B． 47．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（   ） A． B．0．8 C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理与无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 如图，连接，则，由图可知，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接，则， 由图可知，， 由勾股定理得，， ， 故选：D． 48．如图，，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 ． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了实数与数轴．先利用勾股定理求出的长从而得到的长，再根据数轴上两点距离公式求解即可． 【详解】解：利用勾股定理算得， ， 数轴上点所表示的数为：． 故答案为：． 49．如图，正方形的面积为，点表示的数为，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为 ． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】根据正方形的面积公式求出，从而求出，设点表示的数为，然后根据两点间的距离公式列出关于的方程，解方程求出即可． 本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 【详解】解：由题意可知：， 正方形的面积为， ， 设点表示的数为， ， 解得：， 点表示的数为：， 故答案为：． 题型12 反证法证明中的假设 50．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的步骤，首先假设原命题的结论不成立，原命题结论为“”，其否定应为“”，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，在中，若，则， ∴用反证法证明上述命题，第一步应假设， 故选：C． 51．用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案．了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立． 【详解】解：原命题为“若，则”， 根据反证法，需假设结论不成立，“”， 则用反证法证明“如果，那么”时，应先假设“”． 故选：A． 52．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 【答案】A 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法的应用，反证法的关键是假设原命题结论不成立，即结论的反面成立，原命题结论为“至少有一个锐角不大于”，其反面应为“两个锐角都大于” ． 【详解】解：原命题“至少有一个锐角不大于”的否定是 “两个锐角都大于”，故应假设直角三角形中两锐角都大于． 故选：A． 53．若用反证法证明命题“若，则”，应假设 ． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查了反证法的概念，理解反证法的概念是解题的关键．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：用反证法证明“若，则”时，应假设． 故答案为：． 54．用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设 ． 【答案】三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角 【知识点】反证法证明中的假设、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角和的性质． 使用反证法应先假设结论的反面成立；然后利用已知条件、假设以及已有定理进行推理，得到新结论与原有条件或者已有定理、定义等矛盾，究其矛盾原因，由于假设造成，故假设不成立，原结论成立． 【详解】使用反证法应先假设结论的反面成立，即“三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角”． 故答案为：三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角. 题型13 用反证法证明命题 55．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、用反证法证明命题 【分析】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 根据反证法的步骤即可判断． 【详解】解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 所以，正确的步骤是③①②． 故选：D． 56．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（    ） A．①②③④） B．③④②① C．③④①② D．④③②① 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、用反证法证明命题 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于， 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾， 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 则四个步骤正确的顺序是③④①②， 故选：C． 57．已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题主要考查了反证法的步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，据此可得答案． 【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②， 故选D． 58．如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合． 【答案】假设点M与点D重合，延长到N，使，连接，可证得，则有和，根据角平分线的性质得，可得到得出矛盾，假设不成立． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用反证法证明命题、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查反证法，涉及全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质．假设点M与点D重合，延长到N，使，连接，可证得，有和，根据角平分线的性质得，可得到得出矛盾，假设不成立． 【详解】证明：假设点M与点D重合．延长到N，使，连接． 在和中， ∵是边上的中线． ∴， ∵，， ∴； ∴，； ∵（）是的平分线， ∴， ∴， 则， 即，与相矛盾． 因而M与点D重合是错误的． 所以点M与点D不重合． 59．用反证法证明命题“若，则”时，应假设 ． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设、用反证法证明命题 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：用反证法证明“若，则”时，应假设． 故答案为： 【点睛】本题考查了反证法的概念，理解反证法的概念是解题的关键． 2 / 44 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.1 勾股定理及其逆定理 1.掌握勾股定理的内容和验证 2.掌握勾股定理的逆定理及它与勾股定理的关系 3.会运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题(如测量湖的宽度、判定直角三角形等). 4. 了解勾股数的概念 5.了解反证法以及反证法的一般步骤,体会反证法的思想 6.会用反证法进行简单的几何证明 知识点1 勾股定理 1．勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 几何语言：在Rt 中， ， ，则 ． 2.基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 1.勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系只有在直角三角形中才可以使用勾股定理 2.利用勾股定理，已知直角三角形的其中任意两边可以求出第三边 3.运用勾股定理求解时，若分不清哪条边是斜边，则要分类讨论，写出所有可能的情况，以免漏解或错解 知识点2 勾股定理的证明 1. 常用证法 验证勾股定理的方法有很多，如测量法、几何证明法等，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系来验证 2.著名证法举例 方法 图形 证明 赵爽的“赵爽弦图” ∵ 大正方形的边长为 大正方形的面积为 ．又 ∵ 大正方形的面积 刘徽的“青朱出入图” 设大正方形的面积为 ，则 ．根据 ＂出入相补，以盈补虚＂的原理，有 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积 ，由 图②得 大 正 方 形 的 面 积 ，易得 通过拼图证明命题的思路: 1.图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙面积就不会改变: 2.根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式 3.利用等式的性质验证结论成立 即拼出图形→写出图形面积的表达式→列出等式→恒等变形→证明命题结论 知识点3 直角三角形的判定 1．判定方法 1 两个角互余的三角形是直角三角形． 2．判定方法2（勾股定理的逆定理）如果三角形的三边长 a, b, c 有关系 ，那么这个三角形是直角三角形，且边 所对的角为直角． 1．勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说＂在直角三角形中＂＂直角边＂＂斜边＂，因为还没有确定是直角三角形． 2． 只是一种表现形式，满足 或 的也是直角三角形，只是这时 或 为斜边． 3.利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)“找”:找出三角形三边中的最长边 (2)“算”:计算其他两边的平方和与最长边的平方, (3)“判”:若两者相等，则这个三角形是直角三角形否则不是 4.拓展 当两短边的平方和大于最长边的平方时，该三角形为锐角三角形;当两短边的平方和小于最长边的平方时，该三角形为钝角三角形 知识点4 勾股数 1.勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数必须同时满足两个条件:(1)三个数都是正整数;(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方 2.判别一组数是不是勾股数的一般步骤 (1)“看”:看是不是三个正整数, (2)“找”:找最大数; (3)“算”:计算最大数的平方与两个较小数的平方和 (4)“判”:若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是一组勾股数。 1.勾股数有无数组 2.一组勾股数中的各数都乘相同的正整数可以得到一组新的勾股数:如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15 也是勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数 知识点5 反证法 1.定义 反证法是一种论证方式，首先假设命题的结论的反面是正确的，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证 2.反证法证明命题的一般步骤 反设--归谬--结论，即: (1)假设命题的结论的反面是正确的， (2)从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实已证的定理、定义或已知条件相矛盾; (3)由矛盾判定假设不成立，从而得出原结论正确 1.若结论的反面只有一种情况，则反设单一，只需驳倒这种情况，即可达到反证的目的 2.若结论的反面不止一种情况，那么要把各种情况一一驳倒，才能证明原结论正确 题型1 用勾股定理解三角形 1．如图，在四边形中，，，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在中，．将其绕点顺时针旋转一周，则分别以为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，底边上的高，，这个三角形的边长为（  ） A． B．， C． D．， 4．图1是第七届国际数学教育大会（ICME—7）的会徽图案．如图2所示，如果，那么的长为 ． 5．如图，阴影部分是长方形，则阴影部分面积为 ． 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 6．如图所示，直线上有三个正方形，若的面积分别为2和4，则正方形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 7．如图，在中，，分别以为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，则的长为 ． 题型3 勾股定理与折叠问题 9．如图，在一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点重合，折痕为，则长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 13．如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是 ；若，，则的长为 ． 题型4 以弦图为背景的计算题 14．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，连接，分别交，于点，已知，且，则（　　） A．1 B． C． D． 16．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（   ） A．17 B．15 C．13 D．10 题型5 用勾股定理构造图形解决问题 17．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 18．如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 19．两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发，一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行，一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行，10分钟之后两只蚂蚁相距（    ） A．120cm B．160cm C．200cm D．280cm 20．一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为 ． 21．如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，则蚂蚁走的最短路径长为 ． 题型6 判断三边能否构成直角三角形 22．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 23．将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 24．下列长度的三条线段，不能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．8，13，15 25．下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 26．若三角形的三边长、、满足，则这个三角形的面积是 ． 题型7 在网格中判断直角三角形 27．如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则和的关系是（ ） A． B． C． D． 28．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． (1)请以，，作为三角形的三边长，在图中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． (2)判断的形状，并说明理由． 29．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)直接写出：的面积为______；______． 30．如图是的正方形网格，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中过点作的垂线； (2)在图2的上找一点，使得． 题型8 利用勾股定理的逆定理求解 31．如果三角形满足，一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 32．在下列三角形中能从几何角度验证的图(不添加任何辅助线)是（  ） A． B． C． D． 33．已知三角形的三边长为1、2、，则它的最小角为 度． 34．如图，在四边形中，，则的长为 ． 35．如图，，，，，，则 ．    题型9 勾股定理逆定理的实际应用 36．小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（    ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形． A．13 B．14 C．15 D．16 37．如图， 在中，，，，则数轴上点A所表示的数是（   ）      A． B． C． D． 38．如图，已知在中，．，分别是的中点，连接．若，则的面积是 ．    39．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向． 40．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 题型10 勾股树（数）问题 41．下列各组数中，是勾股数的是（  ） A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，5，6 42．下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 43．在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当时，的值为（   ） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．722 B．800 C．882 D．968 44．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 题型11 勾股定理与无理数 45．如图，，则数轴上点C所表示的数为（   ） A． B． C． D． 46．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 47．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（   ） A． B．0．8 C． D． 48．如图，，到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为 ． 49．如图，正方形的面积为，点表示的数为，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为 ． 题型12 反证法证明中的假设 50．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 51．用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 52．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 53．若用反证法证明命题“若，则”，应假设 ． 54．用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设 ． 题型13 用反证法证明命题 55．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 56．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（    ） A．①②③④） B．③④②① C．③④①② D．④③②① 57．已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 58．如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合． 59．用反证法证明命题“若，则”时，应假设 ． 2 / 44 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $