13.2 勾股定理的应用 第1课时教案 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理的应用，核心为最短距离探究与实际问题解决。通过复习勾股定理及逆定理搭建学习支架，衔接前期概念与后续应用，形成“理论-转化-应用”的知识脉络。 资料特色在于以立体图形展开（如正方体、圆柱体蚂蚁爬行）培养空间观念与几何直观，结合钓鱼竿转动等实际问题发展数学建模能力，逻辑推理贯穿探究过程。助力学生提升应用意识，为教师提供结构化教学流程与分层练习设计。

第十三章 勾股定理 13.2 勾股定理的应用 第1课时   一、教材分析 本节课是华师大版八年级上册13章勾股定理应用的第1课时，聚焦“最短距离”和“实际应用问题”，是在学生掌握勾股定理的概念、证明方法后的首次应用拓展.从知识脉络来看，它既是对勾股定理基础知识的巩固，又是后续解决更复杂几何应用问题的铺垫；从能力培养来看，本节课能有效发展学生的空间想象能力、转化与化归思想，提升学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力，符合初中数学“从直观到抽象、从理论到应用”的编排逻辑.   二、教学目标 1.运用勾股定理解决实际生活中与直角三角形边长有关的问题，如测量距离、确定图形边长等； 2.运用勾股定理及其逆定理，探究最短距离问题； 3.经历“实际问题→抽象直角三角形→运用勾股定理→解决问题”的完整过程，提升数学建模能力. 4.通过分析、解决不同类型的实际问题，培养逻辑推理和数学应用能力.   三、教学重难点 重点：运用勾股定理解决实际生活中与直角三角形边长有关的问题，如测量距离、确定图形边长等． 难点：运用勾股定理及其逆定理，探究最短距离问题.   四、教学过程 · 复习回顾 勾股定理 勾股定理的逆定理 文字 语言 对于任意的直角三角形，如果它的两条 直角边分别为a、b，斜边为c，那么一 定有 如果三角形的三边长a，b，c有关系 ，那么这个三角形是直角三角形 符号 语言 在Rt△ABC中，∠C＝90， 则 在△ABC中，若， 则△ABC是直角三角形 师生活动：教师引导学生回顾前面的知识，学生思考后回答． 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用. 设计意图：从已经学过的知识点出发，唤起学生对旧知的记忆，为后续学习它们的应用做好知识铺垫. · 探究新知 活动一：运用勾股定理探究最短距离问题 如图，棱长为10cm的正方体盒子，有一只蚂蚁在A处，想沿表面爬到C1处，爬行的最短距离是多少？ 思考：有哪几种爬行的路径？ 预设答案：第一种：走对角线+棱 ，例如走AB1+B1C1. 爬行距离cm. 第二种：从面上走，需要展成平面，例如走AC1. 爬行距离cm. 24.1>22.36，即第二种爬行距离最短. 追问：依据是什么？ 预设答案：两点之间，线段最短. 解：如图，将正方体两侧面展开，在Rt△ACC1中，由勾股定理得 AC12＝AC2＋CC12，AC1＝cm. 思考：你能总结出求立体图形表面两点间最短距离的方法吗？ 总结： (1)将立体图形展开，转化成平面图形—→展； (2)在平面图中找到对应的起点和终点，即对应点位置—→找； (3)在平面图形中，连接起点和终点，得出线段—→连； (4)构建直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度，比较，得最短路径—→求； (5)答题—→答. 设计意图：在了解勾股定理的基础上，设置思考问题，通过立体图形展开图构建直角三角形，求两点间最短距离，进一步提高对勾股定理的熟悉程度，为后期勾股定理更深层次的应用奠定基础. 活动二：运用勾股定理及其逆定理解决实际问题 如图，已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水面上的鱼线BC长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m，则BB'的长为多少？ 思考：BB'跟直角三角形有什么关系？两个直角三角形有什么关系？ 预设答案：BB′=ABAB′ Rt△ABC和Rt△AB′C′两直角三角形斜边相等 解：∵在Rt△ABC中，AC＝10 m，BC＝6 m， ∴AB＝＝8(m)， ∵在Rt△AB′C′中，AC'＝10 m，B'C'＝8 m， ∴AB'＝＝6(m)， ∴BB'＝AB－AB'＝8－6＝2(m). 总结：将实际问题转化为数学问题，在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题. 做一做：如图，以Rt △ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点，过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形分成四个形状和大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形. 思考：图中出现的三个正方形面积有什么关系？ 分析：因为Rt △ABC，所以，所以小正方形面积+中正方形面积=大正方形面积，刚好填满大正方形. 预设答案： · 应用新知 教材例题 例1 如图，一个圆柱体的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C.求这只蚂蚁爬行的最短路程.(精确到0.01 cm) 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开，得到长方形ABCD，根据“两点之间线段最短”，所求的爬行的最短路程就是这一展开图--长方形ABCD的对角线AC的长. 解：如图，在Rt△ABC中，BC＝圆柱体底面周长的一半＝10 cm. 由勾股定理，可得：AC＝＝＝≈10.77(cm). 故这只蚂蚁爬行的最短路程约为10.77 cm. 典型例题 例2：一长方体如图所示，三只蚂蚁同时从点出发，同速沿长方体表面爬行去点处觅食，蚂蚁甲、乙、丙的爬行路径分别为，，，若三只蚂蚁都爬行自己的最短路径，通过计算说明哪只蚂蚁最先到达，哪只蚂蚁最后到达． 解：蚂蚁甲路程为：，  蚂蚁乙路程为：，  蚂蚁丙路程为： ，蚂蚁甲最先到达，蚂蚁丙最后到达．  教材例题 例3：一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 m，宽1.6 m，要开进厂门形状如图所示的某工厂.问：这辆卡车能否通过该工厂的厂门？(厂门上部分为半圆形拱门) 分析：由于车宽1.6m，所以这辆卡车能否通过该工厂的厂门，只要比较厂门中线0.8m处的高度与车高即可.点D在离厂门中线0.8m处，且CD⊥AB，与地面相交于点H. 解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得 CD＝＝0.6， CH＝CD＋DH＝0.6＋2.3＝2.9>2.5. 可见高度上有0.4 m的余量，因此这辆卡车能通过该工厂的厂门. 师生活动：学生先独立思考再作答. 设计意图：通过经典例题和教材例题，让学生运用勾股定理求最短路径，利用勾股定理建立直角三角形解决实际问题. · 课堂练习 【教材练习】 1.为了加固电线杆，往往需要给它拉上一条固定于地面的钢缆.如图，从电线杆离地面5m处向地面拉一条7m长的钢缆.求钢缆在地面上的固定点A到电线杆底部B的距离.(精确到0.1m) 解：根据题意得电线杆与地面垂直，故△ABC为直角三角形， 根据勾股定理，得：AB(米). 故钢缆在地面上的固定点A到电线杆底部B的距离为4.9米. 2.轮船A以16 kn的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12 kn的速度向西北方向航行.求A，B两船离开港口O 1.5 h后的距离. 解：如图，由题意可得BO＝1.5×12＝18(海里)， AO＝1.5×16＝24(海里)，∠1＝∠2＝45， 故∠AOB＝90，∴AB＝＝30(海里)， 即A，B两船离开港口O1.5 h后的距离为30 kn. 【自选练习】 3.如图，长为的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了       ． 解析：∵点C是AB的中点，CD⊥AB， ∴CD是AB的垂直平分线，∴AD=BD， 在Rt△ACD中，AC= AB= ×48=24(cm)，CD=7cm， 由勾股定理得：(cm)， ∴AD+BD-AB=2AD-AB=2×25-48=2(cm) 即橡皮筋被拉长了2cm，故答案为：2 答案：2 4.如图，有两只猴子都在一棵垂直于地面的树上的点处，且 ，一只猴子先爬下树再走到离树的处，另一只先爬到树顶再沿缆绳滑到处若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？ 解：由题意，得． 设的长度为 ，则的长为， 的长为． 在Rt中，由勾股定理，得，即 解得．答：这棵树高． 5.小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，墙体的长AC＝5米，墙体的宽CD＝3米，墙体的高AE＝BD＝8米，若小南要从点A出发沿墙体表面爬到点B，则小南爬行的最短距离为多少？ (精确到0.1m) 解：平面展开图如图.则AB＝11.3(米). 故小南爬行的最短距离为11.3米. 6.如图，在一张边长为5 cm的正方形纸板ABCD上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与AD平行且相等，横截面是一个边长为1 cm的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为多少？ 解：如图，由题意可知，将木块展开，相当于是(AB＋2)个正方形的边长， ∴长为5＋2×1＝7(cm)；宽为5 cm. 于是最短路径为(cm). 故爬过木块到达C处需要走的最短路程是 cm. 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． 设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握勾股定理的应用，提高学生的解题能力和应用能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.如何利用勾股定理解决立体图形中的最短距离问题？ 3.如何利用勾股定理解决实际问题 设计意图：本节课的课堂总结活动通过三个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容.这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力.同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导.通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $