专题12.5 逆命题和逆定理（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题12.5 逆命题和逆定理 1.命题的题设与结论拆分：能准确识别不同表述形式命题的 “已知条件” 和 “结论”，尤其是非 “如果… 那么…” 形式的命题（重点） 2.逆命题的规范书写：确保互换题设与结论时不遗漏原命题的隐含条件（重点） 3.线段垂直平分线的性质定理与判定定理的理解：明确性质定理是 “由线（垂直平分线）推距（距离相等）”，判定定理是 “由距（距离相等）推线（垂直平分线）”，二者是 “因果互逆” 关系（重点） 4.角平分线的性质定理与判定定理的理解：明确性质定理是 “由线（角平分线）推距（垂线段相等）”，判定定理是 “由距（垂线段相等且在内部）推线（角平分线）”，二者是 “因果互逆” 关系（重点） 5.含隐含条件命题的逆命题书写：学生易遗漏原命题中的 “限定范围” 或 “隐含前提”，导致逆命题逻辑不成立（难点） 6.性质定理与判定定理的混淆：学生易颠倒 “条件” 与 “结论”，或忽略应用前提（难点） 7.性质定理中 “距离是垂线段” 的理解：学生易将 “点到角两边的任意线段长度” 当作 “距离”，忽略 “垂直” 核心条件（难点） 知识点1 互逆命题 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件那么这两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题 (1)“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以互换，可以规定其中任何一个为原命题，另一个为逆命题。 (2)原命题的真假和其逆命题的真假没有必然联系原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题:原命题是假命题，其逆命题也不一定是假命题 知识点2 互逆定理 1.互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理特别提醒:命题有真有假,而定理都是正确的，即都是真命题 2.互逆命题与互逆定理的关系 每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理;只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理 1.互逆定理是一种特殊的互逆命题，其特殊的地方就是原命题与其逆命题都是真命题，且是定理 2.每个定理不一定都有逆定理 知识点3 线段垂直平分线的性质定理 1.性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 条件:点在线段的垂直平分线上 结论:这个点到线段两端的距离相等 2.几何语言 如图， 用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，它为证明线段相等提供了新方法 知识点4 线段垂直平分线的判定定理 1.判定定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 条件:点到线段两端的距离相等 结论:点在线段的垂直平分线上 2.几何语言 如图，，点 在线段 的垂直平分线上 3.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 证明一条直线是线段的垂直平分线，需证明这条直线上的两个点在线段的垂直平分线上 知识点5 角平分线的性质定理 1.性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等,角平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上; (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度 2.几何语言 如图， 1.角平分线的性质是由“角平分线，垂线段”得到“线段相等” 2.利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段 知识点6 角平分线的判定定理 1.判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 2.几何语言 如图， ∵点 为 内一点， ， ，垂足分别为 ， ，且 ， ∴点 在 的平分线O C上． 3.角平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图，都与点到角两边的距离有关，即条件都具备 (2)点在角平分线上性质、判定（角的内部的)点到角两边的距离相等 1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部。 2.角平分线的判定是由“垂直，线段相等”得到“角平分线” 3.角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷 证明角平分线的方法思路: 1.证明被所要证的线分成的两个角相等 2.证明所要证的线上的点(角的内部)到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点(角的内部)向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可，这样就把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题体现了转化思想。 知识点7 三角形的角平分线的性质 1.性质定理 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 2.几何语言 如图， , 的平分线，A D, B M, C N交于一点 ，且点 到 B C, A B, A C三边的距离 的长）相等，即 ． 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点 题型1 写出命题的逆命题 1．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 （用“如果．．．那么．．．”的形式写出） 【答案】如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等， 故答案为：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等． 2．三角形三条中线的交点是三角形的重心，这个命题的逆命题是 ． 【答案】三角形的重心是三角形三条中线的交点 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题与定理，交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：这个命题：三角形三条中线的交点是三角形的重心， 故它的逆命题是三角形的重心是三角形三条中线的交点， 故答案为：三角形的重心是三角形三条中线的交点， 3．“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是 ；这个命题是 命题（最后一空选填“真”或“假”） 【答案】 等腰三角形有两个角相等 真 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题与定理，掌握相关知识是解决问题的关键．交换命题的题设和结论后可得命题的逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是等腰三角形有两个角相等，这个命题是真命题． 故答案为：等腰三角形有两个角相等，真． 4．下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是 ．（请填写序号） 【答案】②④ 【知识点】相反数的定义、判断命题真假、写出命题的逆命题、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题，难度不大． 写出原命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项． 【详解】解：①若，则，错误，为假命题；其逆命题为若，则，错误，为假命题； ②直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；逆命题为两个角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题； ③如果，那么，正确，为真命题；其逆命题为若，那么，错误，为假命题； ④互为相反数的两个数和为0，是真命题，它的逆命题是：和为0的两个数互为相反数，是真命题． 原命题和逆命题均是真命题的是②④， 故答案为：②④． 题型2 判断是否为互逆命题 5．下列命题的逆命题错误的是（    ）. A．对顶角相等 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C．在一个三角形中，等边对等角 D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 【答案】A 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】根据互逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据相关定理判断即可． 【详解】A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误； B、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的任意一点在线段垂直平分线上，逆命题正确； C、在一个三角形中，等边对等角的逆命题是在一个三角形中，等角对等边，逆命题正确； D、在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等的逆命题是到一个角的两边的距离相等的点在这个角平分线上，逆命题正确； 故选A． 【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 6．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】判断命题真假、写出命题的题设与结论、写出命题的逆命题、判断是否为互逆命题 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 7．下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】运用不等式的基本性质即可判断①的原命题和逆命题是否正确； 运用不等式的基本性质先判断出②的原命题是否正确，再判断逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是否正确；运用直角三角形的性质判断③的原命题正确与否，再判断逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”正确与否，问题即可解答. 【详解】①：原命题“如果a＞b，那么a+c＞b+c”是真命题；逆命题“如果a+c＞b+c，那么a＞b”是真命题. ②：原命题“如果a≥0，b＜0，那么ab≤0”是真命题；逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是假命题，可能还存在a＞0，b≤0，或a＜0，b≥0，或a≤0，b＞0的情况. ③：原命题“直角三角形有两个锐角”是真命题；逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”是假命题，如钝角三角形. 故只有①的原命题与其逆命题都是真命题. 故选A. 【点睛】本题考查判断原命题与逆命题正确与否的问题，首先判断原命题的条件及结论，将其对调即可写出其逆命题是解题的关键. 题型3 互逆定理 8．下列定理中没有逆定理的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．直角三角形中，两锐角互余 C．等腰三角形的两底角相等 D．若，则 【答案】A 【知识点】等边对等角、互逆定理 【分析】本题考查逆定理的定义，根据三角形的性质可判断ABC，根据平方运算和绝对值的性质可判断D． 【详解】解：A：两个三角形三个角相等，这两个三角形不一定全等，故A无逆定理； B：在三角形中，有两个角互余，则根据三角形内角和定理可知第三个角为90°，该三角形为直角三角形，故B有逆定理； C：在三角形中，有两个角相等，则两角的对边相等，这个三角形是等腰三角形，故C有逆定理； D：若，则，故D有逆定理； 故选：A． 9．下列说法错误的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【答案】B 【知识点】判断命题真假、互逆定理 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理.故定理的逆定理一定是真命题，本选项不符合题意； 故选：B． 10．下列定理：①等腰三角形两底角相等；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】两直线平行同位角相等、用SSS证明三角形全等（SSS）、互逆定理、等腰三角形的定义 【分析】本题考查定理与逆定理，分别写出三个命题的逆命题，判断真假，即可得出结果． 【详解】解：①的逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，为真命题； ②的逆命题为：对应边相等的两个三角形全等，为真命题； ③的逆命题为：两直线平行，同位角相等，为真命题； 故三个定理都有逆定理； 故选：D． 11．下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、互逆定理 【分析】本题考查的是命题与定理，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，判断正误，得出结论． 【详解】解：①有两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是等腰三角形有两个角相等，逆命题正确，存在逆定理； ②全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题不正确，不存在逆定理； ③同位角相等，两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题正确，存在逆定理； 综上，存在逆定理的是①③，一共2个， 故选：C． 题型4 线段垂直平分线的性质 12．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，结合的周长为，求出，即可得解． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长， 故选：C． 13．如图，在中，的垂直平分线分别交于点M，P，的垂直平分线分别交于点N，Q，若，则的度数是 ． 【答案】/110度 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 在中，分别是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得，又由三角形的内角和定理可得，结合，求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：在中，分别是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，在等腰中，，垂直平分，为上的动点，为上一动点，若．等腰的面积为8．则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，垂线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短是解题的关键．连接，交于点，连接，结合垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，进一步可求的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵垂线段最短， ∴的最小值为线段，且此时， ∴点为的中点，而， ∴， ∴， 即：，解得， ∴的最小值为. 故答案为：4． 15．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图. 由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 16．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．如图，已知，点D在边上，且． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图和性质，准确作图是关键． （1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据垂直平分线的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；. （2）解：由作图可知，垂直平分， ∴． ∴的周长 题型5 线段垂直平分线的判定 18．如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（   ） A．12 B．19 C．24 D．48 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、三线合一 【分析】本题考查了三线合一 ，中垂线的性质与判定，垂线段最短，作，根据等腰三角形三线合一的性质，与垂直平分线的性质定理得到，根据垂线段最短，得到，结合的最小值为，得到，根据三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接，作，垂足为，连接， ∵，是边的中线， ∴，， ∴是的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线，且点F与点H重合时，有最小值，最小值为的长 ∵的最小值为， ∴， ∴， 故选：A． 19．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为，其中错误的结论为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】由，，可证明垂直平分，可判断①正确；由，推导出，再根据证明，得，，而，则，所以是等边三角形，可判断②正确；设交于点，交于点，则，所以，则，即可证明平分，可判断③正确；求得，由，，求得，则，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：与都是等腰直角三角形，， ，，， ，， 点、点都在的垂直平分线上， 垂直平分， 故①正确； 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， 故②正确； 设交于点，交于点，则， ， ， ，， 平分， 故③正确； ，平分， ， ，，且，， ，， ， ， 故④错误， 故选：D． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 20．如图，在中，，，垂足为点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的判定、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，垂直平分线的判定及性质，熟悉掌握垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 利用等腰三角形的判定及性质判定出垂直平分，把右侧阴影部分三角形填补至左边空白部分，再通过面积公式运算即可． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴垂直平分， ∴右阴影部分三角形可填补至左边空白部分， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 21．如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，；求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，掌握“到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”是解题的关键．根据全等三角形的判定定理证明得，根据线段的垂直平分线的判定证明结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上． 22．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，则___________． 【答案】(1)20 (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 (3) 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论； （3）根据线段垂直平分线的性质得到，进而求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接， 与是，的垂直平分线， ， ， 点在边的垂直平分线上； （3）解：垂直平分线段垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 23．如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为______； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)11 (2) (3)点P在边的垂直平分线上，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）利用等边对等角即可求解； （3）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线l垂直平分边，分别交，于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为19， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：11； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴． （3）解：点P在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 题型6 角平分线的性质定理 24．如图，在中，平分，若，则点D到的距离是（  ） A．15 B．10 C．5 D．4 【答案】C 【知识点】点到直线的距离、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 确定垂线段的长度为点到直线的距离，根据角平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：， 点D到的距离是点D到的垂线段的长度， ∵平分， ∴点D到的距离等于线段的长度， 即为5， 故选：C． 25．如图，中，点、分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点，过点作于点，于点，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】对于①，利用角平分线的性质证明，从而得出平分；对于②，通过四边形内角和定理进行角度推导，得到；对于③，通过证明得到，，从而得出结论；对于④，利用和角平分线性质进行角度关系的推导． 【详解】①过点作于点 平分平分 又 平分．故①正确； ② ．故②错误； ③平分 在和中， , 同理可得 ．故③正确； ④是的外角， ， ．故④正确． 故答案选D 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理及三角形外角性质．通过作辅助线，构造全等三角形，利用角平分线性质进行角度和线段关系的推导是解题的关键． 26．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质 【分析】解题时，首先针对每个结论，结合已知条件逐步分析： ①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误． ②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形． ③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误． ④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 27．如图，的边，，O是三条角平分线的交点，若的面积为15，则的面积为 ． 【答案】18 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得，点到的距离相等，设点到的距离为，根据，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵点是三条角平分线的交点， ∴点到的距离相等， 设点到的距离为， 则， 解得：， ∴， ∴的面积为 18 ． 故答案为：18． 28．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是 ． 【答案】35 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 29．如图，是的外角的平分线，，于点．若，，则的长为 【答案】6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质建立线段之间的关系． 过点作，利用角平分线的性质得到，再通过“”分别证明 和，结合线段和差关系推导出，进而求出的长． 【详解】如图，过点作于， ∵是的角平分线， 在和中， ， ， ， 在和中， 故答案为：6 30．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，且． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，作，垂足为，连接．求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】本题考查了三角形内角和定理、外角定理，线段垂直平分线性质和判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理等知识点． （1）由线段垂直平分线得到，根据，，则有等边对等角，，结合三角形的外角定理以及三角形内角和定理建立方程求解； （2）先证明平分，根据角平分线性质得到，再证明平分，则，再根据线段垂直平分线的判定证明即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， 设，则， ， ， ， ， 在中，， 解得， ； （2）证明：由（1）得，，， ， 平分， ，， ， ， ， ， 平分， ，， , ，， 垂直平分． 31．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，垂足分别为点和点．则． (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程（证明）． (2)【应用】如图3，在中，平分于点，点在上，，若，则的长为___________．（不需证明） (3)【拓展】如图4，在中，平分交于点，于点，若，，则的面积为___________．（不需证明） 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3)16 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由此证明，即可证明； （2）证明，得到，，再证明，得到，根据线段之间的关系推出，代入求解即可； （3）过点作，交于点，由角平分线的定义和性质得到，，再证明，得到，据此利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 平分，， 在和中， ， ， ，， ， ， 又，， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ， ； 故答案为：； （3）解：过点作，交于点，如图， 平分交于点，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和角平分线的性质，等角对等边，三角形内角和定理，证明角平分线的性质定理是解题的关键． 题型7 角平分线的判定定理 32．在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据“角内一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上”判断即可． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴，，均为的角平分线， 故选：B． 33．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽，进而得到平分，得到，即可． 【详解】解：由图和题意，得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽， ∴平分， ∴； 故选：B． 34．如图，在中，，的平分线与的外角的平分线相交于点M，延长得到射线，作射线，有下列四个结论：①；②；③射线是的平分线；④，其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的判定定理、等边对等角 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等． 作于点H，于点F，于点G，由角平分线的性质可得，，进而可得，由角平分线的判定定理可得射线是的平分线，可判断③正确；利用三角形外角的性质及角平分线的定义，可得，，可判断①④正确；假设，则，由角平分线的定义得，，进而可得，推出，与得出的矛盾，可判断②错误． 【详解】解：如图，作于点H，于点F，于点G， 的平分线与的平分线相交于点M， ，， ， 射线是的平分线，故③正确； 由三角形外角的性质得，， 的平分线与的平分线相交于点M， ，， ， ，故①正确； 同理可证， ，故④正确； 假设， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ， ， 假设不成立，故②错误； 综上可知，正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 35．如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，，垂足分别为E，F，相交于点D，得，，而，即可根据“”证明； （2）由（1）知，得，由可得出平分． （3）由，，求得，由平分，可得． 【详解】（1）证明：∵，，垂足分别为E，F，相交于点D， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）知， ∴， 又 ∴平分． （3）解：∵， ∴， 由（2）知，平分． ∴， ∴的度数是． 36．如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【知识点】与余角、补角有关的计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、补角的性质等知识点 ，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据同角的补角相等即可得证； （2）证明，即可得出， （3）由得出，再由等边对等角可得，进而可得，过点A作，垂足为点M．由角平分线的性质定理可得．再由直角三角形的性质可得．从而推出，最后再结合全等三角形的性质以及三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图①，∵，， ∴； （2）证明：在与中， ， ∴． ∴； （3）解：如图，过点A作，垂足为点M． 由（2）可知 ∴，， ∴， ∴，即平分， ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴M为的中点． ∴． ∴． 又， ∴． 37．如图，已知，，连接，，相交于点H． (1)求证：； (2)求的大小； (3)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】（1）由，，，得到，即可证明出，进而即可得到结论； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）首先根据全等三角形的性质得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，即 ∴ ∴； （2）设与交于点B， ∵ ∴ 又∵ ∴，即； （3）如图所示，连接，过点作，， ∵，，，， ∴ ∴平分． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定定理，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识并应用． 38．如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，；由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证． 【详解】证明：连接，， ∵点在的垂直平分线上， ． ，， ． 在和中， ∴， ． 又，， 点在的平分线上，即平分． 题型8 角平分线性质的实际应用 39．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明，可得，根据角平分线的性质，即可得C村到公路的距离． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∵C村到公路的距离为， ∴C村到公路的距离是． 故选：D． 40．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． 故选：D． 41．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 42．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 2 / 46 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.5 逆命题和逆定理 1.命题的题设与结论拆分：能准确识别不同表述形式命题的 “已知条件” 和 “结论”，尤其是非 “如果… 那么…” 形式的命题（重点） 2.逆命题的规范书写：确保互换题设与结论时不遗漏原命题的隐含条件（重点） 3.线段垂直平分线的性质定理与判定定理的理解：明确性质定理是 “由线（垂直平分线）推距（距离相等）”，判定定理是 “由距（距离相等）推线（垂直平分线）”，二者是 “因果互逆” 关系（重点） 4.角平分线的性质定理与判定定理的理解：明确性质定理是 “由线（角平分线）推距（垂线段相等）”，判定定理是 “由距（垂线段相等且在内部）推线（角平分线）”，二者是 “因果互逆” 关系（重点） 5.含隐含条件命题的逆命题书写：学生易遗漏原命题中的 “限定范围” 或 “隐含前提”，导致逆命题逻辑不成立（难点） 6.性质定理与判定定理的混淆：学生易颠倒 “条件” 与 “结论”，或忽略应用前提（难点） 7.性质定理中 “距离是垂线段” 的理解：学生易将 “点到角两边的任意线段长度” 当作 “距离”，忽略 “垂直” 核心条件（难点） 知识点1 互逆命题 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件那么这两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题 (1)“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以互换，可以规定其中任何一个为原命题，另一个为逆命题。 (2)原命题的真假和其逆命题的真假没有必然联系原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题:原命题是假命题，其逆命题也不一定是假命题 知识点2 互逆定理 1.互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理特别提醒:命题有真有假,而定理都是正确的，即都是真命题 2.互逆命题与互逆定理的关系 每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理;只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理 1.互逆定理是一种特殊的互逆命题，其特殊的地方就是原命题与其逆命题都是真命题，且是定理 2.每个定理不一定都有逆定理 知识点3 线段垂直平分线的性质定理 1.性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 条件:点在线段的垂直平分线上 结论:这个点到线段两端的距离相等 2.几何语言 如图， 用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，它为证明线段相等提供了新方法 知识点4 线段垂直平分线的判定定理 1.判定定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 条件:点到线段两端的距离相等 结论:点在线段的垂直平分线上 2.几何语言 如图，，点 在线段 的垂直平分线上 3.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 证明一条直线是线段的垂直平分线，需证明这条直线上的两个点在线段的垂直平分线上 知识点5 角平分线的性质定理 1.性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等,角平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上; (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度 2.几何语言 如图， 1.角平分线的性质是由“角平分线，垂线段”得到“线段相等” 2.利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段 知识点6 角平分线的判定定理 1.判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 2.几何语言 如图， ∵点 为 内一点， ， ，垂足分别为 ， ，且 ， ∴点 在 的平分线O C上． 3.角平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图，都与点到角两边的距离有关，即条件都具备 (2)点在角平分线上性质、判定（角的内部的)点到角两边的距离相等 1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部。 2.角平分线的判定是由“垂直，线段相等”得到“角平分线” 3.角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷 证明角平分线的方法思路: 1.证明被所要证的线分成的两个角相等 2.证明所要证的线上的点(角的内部)到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点(角的内部)向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可，这样就把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题体现了转化思想。 知识点7 三角形的角平分线的性质 1.性质定理 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 2.几何语言 如图， , 的平分线，A D, B M, C N交于一点 ，且点 到 B C, A B, A C三边的距离 的长）相等，即 ． 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点 题型1 写出命题的逆命题 1．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 （用“如果．．．那么．．．”的形式写出） 2．三角形三条中线的交点是三角形的重心，这个命题的逆命题是 ． 3．“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是 ；这个命题是 命题（最后一空选填“真”或“假”） 4．下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是 ．（请填写序号） 题型2 判断是否为互逆命题 5．下列命题的逆命题错误的是（    ）. A．对顶角相等 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C．在一个三角形中，等边对等角 D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 6．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 7．下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角. 其中原命题与其逆命题都是真命题的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 题型3 互逆定理 8．下列定理中没有逆定理的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．直角三角形中，两锐角互余 C．等腰三角形的两底角相等 D．若，则 9．下列说法错误的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 10．下列定理：①等腰三角形两底角相等；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 题型4 线段垂直平分线的性质 12．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，直线与、分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 13．如图，在中，的垂直平分线分别交于点M，P，的垂直平分线分别交于点N，Q，若，则的度数是 ． 14．如图，在等腰中，，垂直平分，为上的动点，为上一动点，若．等腰的面积为8．则的最小值为 ． 15．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为 ． 16．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．如图，已知，点D在边上，且． (1)尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 题型5 线段垂直平分线的判定 18．如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为，则的面积为（   ） A．12 B．19 C．24 D．48 19．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为，其中错误的结论为（   ） A．① B．② C．③ D．④ 20．如图，在中，，，垂足为点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ）． A． B． C． D． 21．如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，；求证：点在的垂直平分线上． 22．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为20． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，则___________． 23．如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为______； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 题型6 角平分线的性质定理 24．如图，在中，平分，若，则点D到的距离是（  ） A．15 B．10 C．5 D．4 25．如图，中，点、分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点，过点作于点，于点，连结．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 26．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．如图，的边，，O是三条角平分线的交点，若的面积为15，则的面积为 ． 28．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是 ． 29．如图，是的外角的平分线，，于点．若，，则的长为 30．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，且． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，作，垂足为，连接．求证：垂直平分． 31．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，是的平分线，点是上的任何一点，，垂足分别为点和点．则． (1)请根据教材内容，结合图2，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程（证明）． (2)【应用】如图3，在中，平分于点，点在上，，若，则的长为___________．（不需证明） (3)【拓展】如图4，在中，平分交于点，于点，若，，则的面积为___________．（不需证明） 题型7 角平分线的判定定理 32．在的内部取点P，使得点P到三边的距离相等，则，，均为的（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 33．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 34．如图，在中，，的平分线与的外角的平分线相交于点M，延长得到射线，作射线，有下列四个结论：①；②；③射线是的平分线；④，其中正确结论的序号是 ． 35．如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，求的度数． 36．如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图②，若是的边上的高，已知，求四边形的面积． 37．如图，已知，，连接，，相交于点H． (1)求证：； (2)求的大小； (3)连接，求证：平分． 38．如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分． 题型8 角平分线性质的实际应用 39．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 40．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 41．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 42．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 2 / 46 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $