第三章 3.1 指数函数的概念 3.2 指数函数的图象和性质(一)-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、图象及性质，通过折叠纸张层数与面积等生活实例导入，引导学生抽象出函数模型，再以问题链、定义解析、典例辨析、规律总结构建学习支架，衔接函数概念与图象性质的学习。 其亮点在于融合直观想象与数学思维，通过列表描点对比不同底数指数函数图象，结合“底大图高”等规律培养学生观察能力，典例与分层评价覆盖选择、开放题等类型，助力学生深化理解，教师可借助清晰结构与素养导向设计高效开展教学。

3.1　指数函数的概念 3.2　指数函数的图象和性质(一) 　 第三章　§3 指数函数 学习目标 1.理解指数函数的概念.　 2.会画指数函数的图象并能简单应用，培养直观想象的核心素养. 内容索引 任务一　指数函数的概念 1 任务二　指数函数的图象和性质 2 任务三　指数函数图象的简单应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　指数函数的概念 返回 问题1.(1)拿一张报纸，将这张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间、折叠次数x与对折后的面积S(设原面积为1)之间的对应关系是什么？ 提示：第x次折叠后对应的层数y＝2x(x∈N＋)，对折后的面积S＝(x∈N＋). 问题导思 (2)上述两个函数关系式共同点是什么？ 提示：两函数关系式都是指数的形式，自变量x在指数位置，底数是常数. 指数函数的概念 新知构建 指数函数 的定义 当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有__________的正数y＝ax与之对应.因此，_______是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数 指数函数的 基本性质 (1)指数函数的定义域为____，函数值大于___； (2)图象过定点(0，1) 唯一确定 y＝ax R 0 指数函数的解析式有什么特征？ 提示：指数函数解析式的四个特征： (1)定义域必须是实数集R.(2)底数a的范围必须是a＞0，且a≠1.(3)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项.(4)指数式只有一项，并且指数式的系数为1. 微思考 (1)(多选题)给出下列函数，不是指数函数的是 A.y＝2·3x B.y＝(－2)x C.y＝3x D.y＝x3 √ 典例 1 √ √ 对于A，3x的系数是2，故A不是指数函数；对于B，底数－2＜0，故B不是指数函数；对于C，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故C是指数函数；对于D，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故D不是指数函数.故选ABD. (2)若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a等于______. 2 由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，可得所以a＝2. 判断一个函数是否为指数函数的方法 1.看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式. 2.明特征：看是否具备指数函数解析式具有的所有特征.只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数. 规律方法 对点练1.(1)若函数y＝ax＋4－2a是指数函数，则有 A.a＝2 B.a＝3 C.a＝2或a＝3 D.a＞2，且a≠3 因为y＝ax＋4－2a是指数函数，所以a2－5a＋7＝1，a2－5a＋6＝0，＝0，且4－2a＝0，所以a＝2.故选A. √ (2)若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为 A.2 B.3 C. D.4 因为函数f(x)＝·ax是指数函数，所以a－3＝1且a＞0且a≠1，解得a＝8， 所以f(x)＝8x，所以f＝＝2.故选A. √ 返回 任务二　指数函数的图象和性质 返回 问题2.用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y＝2x与y＝3x的图象.观察图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？ 问题导思 x －2 －1 0 1 2 y＝2x           y＝3x           提示：y＝2x和y＝3x的图象如图所示. 从y＝2x和y＝3x的图象上看：都在R上是增函数， 公共点(0，1)，且值域是(0，＋∞). 1 2 4 1 3 9 问题3.用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数y＝与y＝的图象. 观察图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？ x －2 －1 0 1 2 y＝           y＝           4 2 1 9 3 1 提示：y＝和y＝的图象如图所示. 从y＝和y＝的图象上看：都在R上是减函数，公共点(0，1)，且值域是(0，＋∞). 问题4.观察y＝2x和y＝3x的图象以及y＝和y＝的图象，它们各具有什么简单性质？ 提示：y＝2x和y＝3x的图象，在(0，＋∞)上都是增函数.x＜0时，函数y＝3x的图象在函数y＝2x的图象下方；x＞0时，函数y＝3x的图象在函数y＝2x的图象上方.y＝和y＝的图象在(0，＋∞)上都是减函数.x＜0时，函数y＝的图象在函数y＝的图象上方；x＞0时，函数y＝的图象在函数y＝的图象下方. 指数函数的图象和简单性质 新知构建   a＞1 0＜a＜1 图 象     简单 性质 定义域为R，值域为___________，过定点________. 在R上是________.当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于__________；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于___ 在R上是减函数.当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于___；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于__________ (0，＋∞) (0，1) 增函数 正无穷大 0 0 正无穷大   a＞1 0＜a＜1 简单 性质 对于函数y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)： 当x＜0时，0＜ax＜bx＜1； 当x＝0时，ax＝bx＝1； 当x＞0时，ax＞bx＞1 对于函数y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)： 当x＜0时，ax＞bx＞1； 当x＝0时，ax＝bx＝1； 当x＞0时，0＜ax＜bx＜1 (1)对任意实数a＜1，且a≠0，关于x的函数y＝(1－a)x＋4图象必过定点 A.(0，4) B.(0，1) C.(0，5) D.(1，5) √ 典例 2 因为a＜1，且a≠0，所以1－a＞0，且1－a≠1，故函数y＝(1－a)x是指数函数，过定点(0，1)，则y＝(1－a)x＋4过定点(0，5).故选C. (2)函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是 A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 由题图，易知直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而＞＞＞，故选C. √ 解决指数函数图象问题的注意点 1.熟记当底数a＞1和0＜a＜1时，图象的大体形状. 2.在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. 规律方法 对点练2.(1)已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为 √ 由于0＜m＜n＜1，故排除A，B；作直线x＝1与两个曲线相交(图略)，交点在下面的是函数y＝mx的图象，在上面的是函数y＝nx的图象.故选C. (2)已知实数a，b满足等式2 024a＝2 025b，给出下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中，可能成立的关系式有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 在同一坐标系中画出函数y＝2 024x与y＝2 025x 的图象如图所示，结合图象可知：若2 024a＝ 2 025b＞1，如图①所示，则0＜b＜a，①可能 成立；若2 024a＝2 025b＝1，则0＝b＝a，⑤ 可能成立；若2 024a＝2 025b＜1，如图②所示，则a＜b＜0，②可能成立.综上，可能成立的关系式有3个.故选C. 返回 任务三　指数函数图象的简单应用 返回 如图所示，函数f(x)＝的图象是 典例 3 √ 因为y＝＝所以x＝1时，y＝0，x≠1时，y＞0.故选B. 变式探究 (变设问)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是__________________；若有两个交点，则实数m的取值范围是_______________. {m｜m≥2，或m＝0} 根据函数f(x)＝的图象，若直线y＝m与函数f(x)＝的图象只有1个交点，则m≥2或m＝0，即实数m的取值范围是{m｜m≥2，或m＝0}.若有两个交点时0＜m＜2，即实数m的取值范围是. 处理函数图象问题的策略 1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点. 2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)和翻折变换. 规律方法 对点练3.(1)(多选题)若函数y＝ax－2b－1(a＞0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则 A.0＜a＜1 B.a＞1 C.b＞0 D.b＜0 √ √ 由题意可知：函数大致图象如图所示，若0＜a＜1，则y＝ax －2b－1的图象必过第二象限，不符合题意，所以a＞1.当a ＞1时，要使y＝ax－2b－1的图象过第一、三、四象限，则 a0－2b－1＜0，解得b＞0.故选BC. (2)对a，b∈R，记max＝则函数f(x)＝max{｜x＋1｜，()x}的最小值为______. 1 在同一坐标系内作出函数y＝｜x＋1｜，y＝()x的图象，如 图，观察图象知，当x＜0时，()x＞｜x＋1｜，当x＝0时， ()x＝｜x＋1｜，当x＞0时，()x＜｜x＋1｜，因此f(x)＝函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝1. 返回 课堂小结 任务 再现 1.指数函数的概念.2.指数函数的图象和性质以及图象的简单应用 方法 提炼 待定系数法、数形结合法 易错 警示 易忽视底数a的限制条件；易忽视对于a是否大于1进行讨论 随堂评价 返回 1.下列各函数中，是指数函数的是 A.y＝ B.y＝－4x C.y＝3x－1 D.y＝ √ 由指数函数的定义知y＝是指数函数.故选D. 2.若函数y＝(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是 A.(0，1)∪(1，＋∞) B.∪(1，＋∞) C.∪(1，＋∞) D.［，＋∞) √ 因为函数y＝(x是自变量)是指数函数，所以解得a＞且a≠1，所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞).故选C. 3.甲同学在同一坐标系画函数y＝2x，y＝3x，y＝的图象(如图)，其中多余的一个是 A.① B.② C.③ D.④ √ 因为y＝＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，且当x＞0时，y＝3x的图象在y＝2x图象的上方，所以①③④存在.故选B. 4.函数f(x)＝ax－3＋2x(a＞0，a≠1)的图象恒过的定点为__________. 令x－3＝0，解得x＝3，且f(3)＝7，所以函数f(x)的图象恒过的定点为. 返回 课时分层评价 返回 1.若指数函数f(x)的图象过点，则f(x)的解析式为 A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3x C.f(x)＝ D.f(x)＝ √ 设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，因为函数f(x)的图象过点，则f(4)＝a4＝81，解得a＝3，所以f(x)＝3x.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选题)若函数f(x)＝ax是指数函数，则实数m的值为 A.－3 B.1 C.－1 D.－2 √ 因为函数f(x)＝ax是指数函数，所以m2＋2m－2＝1，解得m＝1或m＝－3.故选AB. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数y＝与y＝4x的图象 A.关于x轴对称 B.关于直线y＝x对称 C.关于原点对称 D.关于y轴对称 √ 因为＝＝4x，且函数y＝与y＝4x的图象 如图所示，所以函数y＝与y＝4x的图象关于y轴对称. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.要得到函数y＝22x－1的图象，只需将指数函数y＝4x的图象 A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 √ 因为22x－1＝＝，所以为了得到函数y＝22x－1的图象，只需将指数函数y＝4x的图象向右平移个单位.故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.函数y＝xa(x≥0)和函数y＝ax(x≥0)在同一坐标系下的图象可能是 y＝xa(x≥0)的图象必过(0，0)，y＝ax(x≥0)的图象必过(0，1)，故D错误；对于A，由y＝ax图象知a＞1，由y＝xa图象可知0＜a＜1，故A错误；对于B，由y＝ax图象知0＜a＜1，由y＝xa图象可知a＞1，故B错误；对于C，由y＝ax图象知0＜a＜1，由y＝xa图象可知0＜a＜1，故C正确.故选C. √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 A.0＜a＜1 B.a＞1 C.b＜0 D.b＞0 √ 由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的图象的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选AC. √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝______. 因为f(x)＝所以f(－3)＝2－3＝，则f(f(－3))＝f＝＝. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.若函数y＝2x＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是____________. 指数函数y＝2x的图象过点(0，1)，则函数y＝2x＋m的图象过点(0，1＋m)，若图象不经过第二象限，则1＋m≤0，即m≤－1，所以实数m的取值范围是(－∞，－1]. (－∞，－1] 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.函数f(x)＝的图象与平行线y＝m，y＝n，m≠n有且仅有三个交点，则实数m＋n的取值范围是__________. f(x)＝的图象如图所示，不妨设m＞n，因为f(x) ＝的图象与平行线y＝m，y＝n，m≠n有且仅 有三个交点，所以由图可知m＝1，0＜n＜1，所以1＜m＋n＜2，即实数m＋n的取值范围是(1，2). (1，2) 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)已知函数y＝ax－1(a＞0且a≠1)的图象经过点. (1)求实数a的值； 解：将点代入y＝ax－1，得a2－1＝，即a＝，所以a＝. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)作出此函数的图象. 解：由(1)知y＝， 将函数y＝的图象向右平移1个单位长度即可得到函数y＝的图象，如图， 即为函数y＝的图象. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.下列函数中，满足对任意x1，x2∈R恒有f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)的是 A.f(x)＝2x2 B.f(x)＝ C.f(x)＝4x3 D.f(x)＝2x－2 √ 对于A，若f(x)＝2x2，由f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)得2＝16，取x1＝x2＝1，得2＝16，故A不成立；对于B，f(x)＝满足对任意x1，x2∈R恒有f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)，故B正确；对于C，若f(x)＝4x3，由f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)得4＝4·4·4，取x1＝x2＝1，得4＝64，故C不成立；对于D，若f(x)＝2x－2，由f(x1x2)＝4f(x1)f(x2)得＝4··，取x1＝x2＝1，得＝1，故D不成立.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)，则下列结论正确的是 A.函数f(x)恒过定点(0，1) B.函数f(x)的值域为 C.函数f(x)在区间上单调递增 D.若直线y＝2a与函数f(x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是 √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)，则x∈R，对于A，f(0)＝＝0，函数f(x)恒过定点，故A错误；对于B，x∈R，则ax－1＞－1，所以≥0，函数f(x)的值域为，故B正确；对于C，当0＜a＜1时，则y＝ax单调递减，又x≥0，所以ax≤1，所以f(x)＝＝－ax＋1，显然此时f(x)在上单调递增；当a＞1时，则y＝ax单调递增，又x≥0，所以ax≥1，所以f(x)＝＝ax－1，显然此时f(x)在上单调递增，故C正确；对于D，y＝｜ax－1｜的图象由y＝ax的图象向下平移一个单位，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分a＞1和0＜a＜1两种情况分别作图，如图所示： 当a＞1时，2a＞2，显然不合题意；当0＜ a＜1时，此时0＜2a＜1满足有两个公共点， 即0＜a＜，故D错误.故选BC. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(开放题)已知函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(y)；当x＞0时，f(x)＜1.则满足这两个条件的一个函数为_______________________. f(x)＝(答案不唯一) 由∀x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)f(y)，知f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)满足该条件；又当x＞0时，f(x)＜1，可得0＜a＜1，故f(x)可以为f(x)＝(答案不 唯一). 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(10分)已知函数f(x)＝ax，g(x)＝bx，若f(1)＋g(1)＝5，f(1)－g(1)＝1. (1)求f(x)，g(x)的解析式； 解：由解得f(1)＝3，g(1)＝2，即a＝3，b＝2. 所以f(x)＝3x，g(x)＝2x. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若f(m)＝g(n)，试比较m，n的大小. 解：由f(m)＝g(n)，得3m＝2n， 当m＝0时，有2n＝1，所以n＝0，此时m＝n； 当m＞0时，2m＜3m＝2n，此时m＜n； 当m＜0时，2m＞3m＝2n，此时m＞n. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新情境)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f(A)，得到另一数集B，也就是B＝f(A).那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数.已知集合A＝{－2，1，2，4}，B＝{0，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从A到B的函数的是 A.y＝2x B.y＝｜x｜ C.y＝x2 D.y＝2｜－x｜ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，对于数集A中的－2，根据y＝2x可得y＝－4，而B＝{0，2，4，16}中无－4，故A错误；对于B，对于数集A中的1，根据y＝｜x｜可得y＝1，而B＝{0，2，4，16}中无1，故B错误；对于C，对于数集A中的1，根据y＝x2可得y＝1，而B＝{0，2，4，16}中无1，故C错误；对于D，对于数集A中的－2和2，根据y＝2｜－x｜可得y＝4，对于数集A中的1，根据y＝2｜－x｜可得y＝2，对于数集A中的4，根据y＝2｜－x｜可得y＝16，{2，4，16}⊆B，故D正确.故选D. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(15分)(一题多问)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值； 解：因为f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)， 所以解得a＝，b＝－3. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)若f(x)的图象如图②所示，求实数a，b的取值范围； 解：由f(x)为减函数可知实数a的取值范围为(0，1)， 因为f(0)＝1＋b＜0，即b＜－1， 所以实数b的取值范围为(－∞，－1). 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)在(1)中，若｜f(x)｜＝m有且仅有一个实数解，求出实数m的取值范围. 解：由题中图①可知y＝｜f(x)｜的图象如图， 由图可知，若｜f(x)｜＝m有且仅有一个实数解， 则m＝0或m≥3. 所以实数m的取值范围为{m｜m＝0，或m≥3}. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 3.1　指数函数的概念 3.2　指数函数的图象和性质(一) 返回 $