第二章 4.1 第2课时 函数奇偶性的应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

第2课时　函数奇偶性的应用 　 第二章　§4　4.1　函数的奇偶性 学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.　 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用于比较大小、求最值和解不等式，培养数学抽象及数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　根据函数奇偶性求函数的解析式 1 任务二　利用函数奇偶性与单调性比较大小 2 任务三　利用函数的单调性与奇偶性解不等式 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　根据函数奇偶性求函数的解析式 返回 问题1.如果函数f(x)和g(x)都是奇函数，那么你能判断下列函数：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，(g(x)≠0)的奇偶性吗？ 如果f(x)和g(x)都是偶函数呢？ 提示：能.如果函数f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)均为奇函数，f(x)·g(x)，(g(x)≠0)均为偶函数；如果函数f(x)和g(x)都是偶函数，则f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，(g(x)≠0)都是偶函数. 问题导思 关于奇、偶函数的几个性质 (1)两个奇函数的和(差)仍是________，两个偶函数的和(差)仍是________. (2)奇偶性相同的两个函数的积(商，分母不为零)为________；奇偶性相反的两个函数的积(商，分母不为零)为________. (3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，则_________. (4)如果函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(｜x｜). 新知构建 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 f(0)＝0 (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式； 解：当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3. 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0. 故f(x)＝ 典例 1 (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式. 解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 因为f(x)＋g(x)＝2x＋x2，① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2. (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 所以f(x)＝x2，g(x)＝2x. 变式探究 　(变条件)将本例(1)中的“奇函数”改为“偶函数”，“x＞0”改为“x＜0”，其他条件不变，求函数f(x)的解析式. 解：当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 因为函数f(x)是偶函数， 所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3， 即当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＋3. 利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 第一步：“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； 第二步：转化到已知区间上，代入已知的解析式； 第三步：利用f(x) 的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x). 规律方法 对点练1.(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x).则当x＜0时，f(x)的解析式为 A.f(x)＝x(1＋x) B.f(x)＝x(x－1) C.f(x)＝－x(x＋1) D.f(x)＝x(1－x) √ 由题意知，当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝x(1－x).故选D. (2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋x，则f(1)＋g(1)＝ A.1 B.3 C.－3 D.－1 因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则有：f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)－g(x)＝x3＋x2＋x①，将其中的x取为－x，则可化简得，f(－x)－g(－x)＝f(x)＋g(x)＝－x3＋x2－x②，由①②联立可求得，f(x)＝x2，g(x)＝－x3－x，于是f(1)＋g(1)＝1－1－1＝－1.故选D. √ 返回 任务二　利用函数奇偶性与单调性比较大小 返回 问题2.想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性又如何？ 提示：奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增. 问题导思 若a，b符号相同 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________，即在对称区间上单调性____________. 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________，即在对称区间上单调性______. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为______. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为____. 新知构建 单调递增 一致(相同) 单调递减 相反 －M N (1)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则下列结论正确的是 A.f(－1)＞f(5)＞f(2) B.f(2)＞f(－1)＞f(5) C.f(－1)＞f(2)＞f(5) D.f(5)＞f(2)＞f(－1) √ 典例 2 由题意知，函数f(x)在上单调递增，且f(－x)＝f(x)，f(－1)＝f(1)＜f(2)＜f(5).故选D. (2)已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是 A.f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B.f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C.f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D.f(－1)＜f(0)＜f(－0.5) √ 因为函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，所以f(－1)＜f(－0.5)＜f(0).故选B. 利用函数奇偶性与单调性比较大小的求解策略 1.若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小. 2.若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 规律方法 对点练2.(1)已知定义在[2a－1，3a]上的奇函数f(x)＝x3＋(2b－1)x2＋x＋(2a－c)，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为 A.f(a)＞f(b)＞f(c) B.f(c)＞f(b)＞f(a) C.f(b)＞f(a)＞f(c) D.f(b)＞f(c)＞f(a) √ 由题意可得2a－1＝－3a，所以a＝，因为函数f(x)＝x3＋(2b－1)x2＋x＋(2a－c)为奇函数，所以所以函数f(x)＝x3＋x，又函数f(x)＝x3＋x在上为单调递增函数，且b＞c＞a，所以f(b)＞f(c)＞f(a).故选D. (2)已知函数f(x)＝，则 A.f＞f＞f(－1) B.f＞f＞f(－1) C.f＞f(－1)＞f D.f(－1)＞f＞f √ 由函数f(x)＝有意义，则满足4－x2＞0，解得－2＜x＜2，所以函数f(x)的定义域为，又由f(－x)＝＝－＝－f(x)，可得f(x)是上的奇函数.当0＜x＜2时，函数f(x)＝＝＝，因为y＝－1在(0，2)上为单调递减函数，可得f(x)在(0，2)上为单调递增函数，又因为f(x)是上的奇函数，所以f(x)在(－2，0)上为单调递增函数，因为x∈(0，2)时，f(x)＞0，x∈(－2，0)时，f(x)＜0，f(0)＝0，所以函数f(x)是上的单调递增函数，因为＞＞－1，所以f＞f＞f(－1).故选A. 返回 任务三　利用函数的单调性与奇偶性解不等式 返回 设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围. 解：因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减， 所以f(x)在[－2，2]上单调递减. 所以不等式f(1－m)＜f(m)等价于 解得－1≤m＜. 所以实数m的取值范围为［－1，). 典例 3 变式探究 1.(变条件)若把本例中“f(1－m)＜f(m)”改为“f(1＋m)＋f(m)＜0”，求实数m的取值范围. 解：由题意知f(x)为奇函数，且在定义域[－2，2]上单调递减， 所以不等式f(1＋m)＋f(m)＜0， 即f(1＋m)＜－f(m)＝f(－m). 则解得－＜m≤1. 故实数m的取值范围为. 2.(变条件)设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[－2，0]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围. 解：因为f(x)为偶函数，且在区间[－2，0]上单调递减，所以f(x)在[0，2]上单调递增. 所以不等式f(1－m)＜f(m)等价于f(｜1－m｜)＜f(｜m｜)，则｜1－m｜＜｜m｜≤2，解得＜m≤2. 故实数m的取值范围为. 利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤 第一步：将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； 第二步：由已知或利用奇偶性得出在区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的 问题. 规律方法 对点练3.(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ax＋1，若f(－3)＝8，则不等式f(x)＞的解集为 A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ √ 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝8，则f(3)＝ －8，则3a＋1＝－8，即a＝－3，即当x＞0时，f(x)＝－3x＋1，设x＜0，则－x＞0，则f(x)＝－f(－x)＝－[－3(－x)＋1]＝－3x－1，则当x＞0时，由f(x)＞可得－3x＋1＞，解得0＜x＜，当x＜0时，由f(x)＞可得－3x－1＞，解得x＜－，所以不等式的解集为∪.故选A. (2)定义在[－1，1]上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)为减函数，则满足不等式f＜f的实数m的取值范围是_________________________. ∪ 因为函数f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数，所以f＜f等价于f＜f，因为当x≥0时，f(x)为减函数，则解得－2≤m＜－，或－＜m≤0，所以实数m的取值范围是［－2，－)∪(－，0］. [教材拓展5]　奇偶函数与对称性(源于教材P65B组T3) 常用结论： 1.函数 y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. 2.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数. (1)已知函数y＝f(2x－1)的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是 A.y＝f＋1 B.y＝f＋1 C.y＝f－1 D.y＝f－1 典例 4 √ 因为函数y＝f(2x－1)的图象关于点(1，－1)对称，所以将函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数y＝f(2(x＋1)－1)＋1，其图象关于原点对称，即y＝f(2x＋1)＋1图象关于原点对称，函数为奇函数.故选B. (2)已知函数f(x＋1)为偶函数，当x＞1时，f(x)＝x2－4x＋1，则当x＜1时，f(x)＝__________. x2－3 由f(x＋1)是偶函数可得：f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(x)＝f(2－x)，所以当x＜1时，2－x＞1，即f(x)＝f(2－x)＝(2－x)2－4(2－x)＋1＝x2－3. (3)已知函数f(x)定义域为[a－1，2a]，且y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，当x∈[0，2a]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x－1)＞f(2x－3a)的解 集是__________. 因为函数y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则f(－x)＝f(x)，故函数f(x)是定义在上的偶函数，则a－1＋2a＝0，解得a＝，所以函数f(x)是定义在上的偶函数，由题意可知，函数f(x)在上单调递减，由f(x－1)＞f(2x－1)可得f＞f，所以＜x≤.因此不等式f(x－1)＞f. 返回 课堂小结 任务 再现 1.利用奇偶性求函数的解析式.2.利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式 方法 提炼 转化法、数形结合法 易错 警示 解不等式时易忽视函数的定义域 随堂评价 返回 1.已知偶函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，f(x)＝ A.－x2＋x B.－x2－x C.x2＋x D.x2－x √ 当x＜0，则－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，又f(x)为偶函数，所以当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝x2－x.故选D. 2.若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上 A.单调递增且有最大值－5 B.单调递增且有最小值－5 C.单调递减且有最大值－5 D.单调递减且有最小值－5 √ 因为f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f(3)＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[－7，－3]上单调递增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故选A. 3.已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，则不等式f(x＋1)＞f(2x)的解集为 A.(－∞，－1) B.(－∞，－1] C.(－∞，1) D.(1，＋∞) √ 因为奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，因为f(x＋1)＞f(2x)，所以x＋1＞2x，解得x＜1，所以不等式的解集为(－∞，1).故选C. 4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x(x＋4)，则函数f(x)在R上的表达式为______________________. f(x)＝ 当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝－2x(－x＋4)＝2x(x－4)，故f(x)＝f(－x)＝2x(x－4)，所以f(x)＝ 返回 课时分层评价 返回 1.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x3＋x，则当x＜0时，f(x)＝ A.－x3＋x B.－x3－x C.x3－x D.x3＋x √ f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋x，则当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋(－x)]＝x3＋x.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A.y＝x2 B.y＝x5＋1 C.y＝ D.y＝x3 √ 对于A，y＝x2是偶函数，故A错误；对于B，y＝x5＋1是非奇非偶函数，故B错误；对于C，y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，故C错误；对于D，y＝x3既是奇函数又是增函数，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若奇函数f(x)在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，则f(－3)＋2f(－6)＝ A.13 B.－13 C.5 D.－5 √ 由f(x)在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，得f(3)＝－1，f(6)＝7.因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，f(－6)＝－f(6)＝－7，所以f(－3)＋2f(－6)＝1＋2×(－7)＝－13.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，f(x)＋g(x)＝x2－x＋1，则f(1)＝ A.1 B.－1 C.2 D.－2 √ 因为f(x)＋g(x)＝x2－x＋1①，所以f(－x)＋g(－x)＝x2＋x＋1，因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以－f(x)＋g(x)＝x2＋x＋1②，①－②得2f(x)＝－2x，所以f(x)＝－x，则f(1)＝－1.故选B. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈时，f(x)＝x2＋x，则下列说法正确的是 A.f(－1)＝－2 B.f(x)在定义域R上为增函数 C.当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x D.不等式f(x－1)＜2的解集为 √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 对于A，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，又当x∈时，f(x)＝x2＋x，所以f(－1)＝f(1)＝2，故A错误；对于B，由二次函数y＝x2＋x＝－可知，f(x)在上单调递增，又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，即f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，故B错误；对于C，当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，则f(x)＝f(－x)＝x2－x，故C正确；对于D，由f(x)的奇偶性与单调性可知，f(x－1)＜2可化为f＜f(1)，所以＜1，解得0＜x＜2，故D正确.故选CD. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.已知定义在区间[－2，2]上的偶函数f(x)，对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，都有＞0成立，若f(2＋m)＜f(2m)，则实数m的取值范围为 A.(－1，－) B.［－1，－) C.(－1，0) D.(－∞，－) √ 由∀x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，都有＞0成立，得函数f(x)在[0，2]上单调递增，又函数f(x)是[－2，2]上的偶函数，则f(2＋m)＜f(2m)⇔f(｜2＋m｜)＜f(｜2m｜)，因此｜m＋2｜＜｜2m｜≤2，解得－1≤m＜－，所以实数m的取值范围为［－1，－).故选B. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.函数f(x)是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)＝－1，则f(－1)＝_____；当x＜0时，函数的解析式为_______________. 因为函数f(x)是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)＝－1，所以f(－1)＝f(1)＝2－1＝1，设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－－1，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－－1，即当x＜0时，函数的解析式为f(x)＝－－1. 1 f(x)＝－－1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.(开放题)若f(x)是R上的奇函数，且在上单调递减，则函数f(x)的解析式可以为f(x)＝________________.(写出符合条件的一个解析式即可) 由函数f(x)是R上的奇函数，且在上单调递减，可取函数f(x)＝ －x(答案不唯一). －x(答案不唯一) 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)＞0，那么实数m的取值范围是__________. 因为f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，由f(m－2)＋f(2m－3)＞0，即f(m－2)＞－f(2m－3)＝f(3－2m)，所以解得1＜m＜，所以实数m的取值范围是. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是减函数. (1)比较f(－1)与f(2)的大小； 解：因为函数y＝f(x)是偶函数， 所以f(2)＝f(－2)， 又f(x)在(－∞，0]上是减函数，－2＜－1＜0，所以有f(－2)＞f(－1)，即f(－1)＜f(2). 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)试比较f(－)与f(2a2－a＋1)的大小. 解：因为函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是减函数， 所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)在上单调递增， 因为2a2－a＋1＝2＋≥＞0， 所以f≥f， 又因为f(－)＝f()， 所以f(－)≤f. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知a＞0，设函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z.若f(x)的最大值为M，最小值为m，则M和m的值可能为 A.4和3 B.3和1 C.5和2 D.7和4 √ 设g(x)＝x5＋2x，则g(x)＝x5＋2x为奇函数，函数g(x)＝x5＋2x在[－a，a]上的最大值与最小值的和为0，所以函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z的最大值M，最小值m满足M＋m＝2b，为偶数.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(x)＋g(x)＝2x2－x＋1，则下列说法正确的有 A.g(2)＝9 B.f(x)在R上单调递增 C.f(x)·g(x)为奇函数 D.xf(x)≤0 √ f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(x)＋g(x)＝2x2－x＋1，则f(－x)＋g(－x)＝2x2＋x＋1，即－f(x)＋g(x)＝2x2＋x＋1，解得f(x)＝－x，g(x)＝2x2＋1.对于A，g(2)＝9，故A正确；对于B，f(x)＝－x在R上单调递减，故B错误；对于C，设F(x)＝f(x)·g(x)，函数定义域为R，F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，函数为奇函数，故C正确；对于D，xf(x)＝－x2≤0，故D正确.故选ACD. √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x，则x＜0时，f(x)＝__________；不等式f(2x＋1)＋f(－5)＞0的解集是__________. －x2＋x (2，＋∞) 当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝x2－x，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋x，所以x＜0时，f(x)＝－x2＋x；由f(2x＋1)＋f(－5)＞0可得：f(2x＋1)＞－f(－5)＝f(5)，当x≥0时，f(x)＝x2＋x在[0，＋∞)上单调递增，因为f(x)是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，所以2x＋1＞5，所以x＞2，所以不等式的解集为(2，＋∞). 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(10分)已知函数f(x)为[－1，1]上的奇函数，当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2－ax＋b，且f(－1)＝2. (1)求函数f(x)的解析式； 解：因为函数f(x)为[－1，1]上的奇函数，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2－ax＋b， 所以f(0)＝b＝0，又f(－1)＝1＋a＝2，解得a＝1，所以当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2－x， 设0＜x≤1，则－1≤－x＜0，所以f(－x)＝x2＋x＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－x， 所以f(x)＝ 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若函数f(x)满足不等式f＞f，求实数t的取值范围. 解：由(1)知f(x)＝可得f(x)在[－1，1]上是减函数， 又f(x)为奇函数，f＞f，所以解得0≤t＜， 所以实数t的取值范围是［0，). 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(开放题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则f(x)＝________________________. ①定义域为R，值域为；②y＝f(x)在定义域内是偶函数；③f(x)＝0有3个根. x2－2｜x｜(答案不唯一) 根据题意，取函数f(x)＝x2－2｜x｜，可得函数f(x)＝x2－2｜x｜＝(｜x｜－1)2－1的定义域为R，值域为，故①符合；因为f(－x)＝x2－2｜x｜＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故②符合；令f(x)＝x2－2｜x｜＝0，解得x＝0或x＝±2，所以y＝f(x)的图象与x轴有3个交点，即f(x)＝0有3个根，所以③符合.综上，函数f(x)＝x2－2｜x｜符合题意(答案不唯一). 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(15分)已知函数f(x)＝是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1. (1)求m，n的值； 解：由题意可知f(0)＝0，故n＝0， 又由f(1)＝1可得f(1)＝＝1，解得m＝2；所以f(x)＝，x∈[－1，1]， 此时f(x)定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)， 故f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，满足题意，所以m＝2，n＝0. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)判断f(x)的单调性，并用定义法证明你的结论； 解：f(x)在[－1，1]上单调递增，证明如下： 取任意x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝， 因为x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2， 所以x1－x2＜0，＋1＞0，＋1＞0，x1x2＜1， 所以1－x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＝＜0，即f(x1)＜f(x2)， 因此f(x)在[－1，1]上单调递增. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)求使f(a－1)＋f＜0成立的实数a的取值范围. 解：由(1)(2)可知，f(x)是在[－1，1]上单调递增的奇函数， 所以由f(a－1)＋f(a2－1)＜0可得f(a－1)＜－f(a2－1)＝f(1－a2)， 因此需满足 解得即0≤a＜1. 故实数a的取值范围为. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 第2课时　函数奇偶性的应用 返回 $