第一章 4.2 一元二次不等式及其解法-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

4.2　一元二次不等式及其解法 　 第一章　§4　一元二次函数与一元二次不等式 学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.　 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，培养数学抽象和直观想象的核心素养.　 3.掌握解一元二次不等式的方法，培养数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　一元二次不等式的概念 1 任务二　一元二次不等式的求解方法 2 任务三　含参数的一元二次不等式的解法 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　一元二次不等式的概念 返回 问题1.给出下面四个不等式： (1)x2－x－6＞0；(2)x2－x－6≤0；(3)x2－4x＋4≥0；(4)2x2＋x＋5＜0. 以上每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 提示：每个不等式含有一个未知数；未知数的最高次数是2. 问题导思 新知构建 一元二次 不等式 一般地，形如ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，或_______________，或_______________(其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式 一元二 次不等式 的解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的______ ax2＋bx＋c≥0 ax2＋bx＋c≤0 解集 (1)不等式x2＋＞0是一元二次不等式吗？ 提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式. 微思考 (2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ 提示：不可以，若a＝0，就不是二次不等式了. 下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0，其中一定为一元二次不等式的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 典例 1 ①中不含x2项，③中x2的系数a有可能为0，故①不是一元二次不等式，③不一定是一元二次不等式；②④一定是一元二次不等式.故选B. 一元二次不等式概念中的关键词 1.一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数). 2.二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 规律方法 对点练1.(多选题)下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式 的是 A.x3＋5x－6＞0 B.x2－x＞－1 C.x2＋＋1＜0 D.2x2＞3 √ √ 由于x3＋5x－6＞0和x2＋＋1＜0不满足一元二次不等式的定义，故A，C错误，B，D正确.故选BD. 返回 任务二　一元二次不等式的求解方法 返回 问题2.右图是一元二次函数y＝x2－x－6的图象，下表是其 部分对应值表： 根据图表，你能说出方程x2－x－6＝0的解吗？你能说出不 等式x2－x－6＞0的解集吗？x2－x－6＜0呢？ 提示：x＝－2，或x＝3；{x｜x＜－2，或x＞3}；{x｜－2＜x＜3}. 问题导思 x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 一元二次不等式的求解方法 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c＞0和ax2＋bx＋c＜0的解集之间的关系： 新知构建 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1，x2＝ (x1＜x2) x1＝x2 ＝－ 无实数根 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 函数y＝ax2＋bx＋c的图象       不等式ax2＋bx＋c＞0的解集 _____________________ ____ 不等式ax2＋bx＋c＜0的解集 _____________________ ____ ____ {x｜x＜x1，或x＞x2} R {x｜x1＜x＜x2} ∅ ∅ (1)三个二次间的关系：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解⇔y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标；ax2＋bx＋c＞0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应的x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应的x的取值集合.(2)在解一元二次不等式时，应首先将二次项系数a转化为大于0的情况，然后借助于图象解决. 微提醒 (链教材P37例2、例3)求下列不等式的解集： (1)2x2＋5x－3＜0； 解：因为Δ＝49＞0，所以方程2x2＋5x－3＝0有两个不相等的实数根，解得x1＝－3，x2＝.画出一元二次函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示， 观察图象可得原不等式的解集为. 典例 2 (2)－3x2＋6x≤2； 解：原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12＞0，解方程3x2－6x＋2＝0， 得x1＝，x2＝.画出一元二次函数y＝3x2－6x＋2的图象， 如图②所示， 观察图象可得原不等式的解集为{x｜x≤，或x≥}. (3)4x2＋4x＋1＞0； 解：因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－. 画出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示， 观察图象可得原不等式的解集为. (4)－x2＋6x－10＞0. 解：原不等式可化为x2－6x＋10＜0，因为Δ＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实数根， 所以原不等式的解集为∅. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 第一步：化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正； 第二步：判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式； 第三步：求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根； 第四步：画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的草图； 第五步：写解集.根据图象写出不等式的解集. 规律方法 对点练2.(1)(多选题)下列一元二次不等式的解集正确的是 A.x2－5x＋6＞0的解集为 B.9x2－6x＋1＞0的解集为 C.－x2＋2x－3＞0的解集为∅ D.x2＋2x＋3＞0的解集为∅ √ √ √ 对于A，由x2－5x＋6＞0⇒(x－2)(x－3)＞0⇒x＜2或x＞3，故A正确；对于B，由9x2－6x＋1＞0⇒＞0⇒x∈R且x≠，故B正确；对于C，由－x2＋2x－3＞0⇒x2－2x＋3＜0⇒(x－1)2＋2＜0，所以不等式解集为∅，故C正确；对于D，由x2＋2x＋3＞0⇒(x＋1)2＋2＞0，所以不等式的解集为R，故D错误.故选ABC. (2)(多选题)下面不等式的解集为R的是 A.x2＋x＋1≥0 B.x2－2x＋5＞0 C.x2＋6x＋10＞0 D.2x2－3x＋4＜0 √ √ 对于A，由于x2＋x＋1＝＋≥，所以不等式x2＋x＋1≥0的解集为R，符合题意；对于B，不等式x2－2x＋5＝＞0的解集为，不符合题意；对于C，由于x2＋6x＋10＝＋1≥1，所以不等式x2＋6x＋10＞0的解集为R，符合题意；对于D，二次函数y＝2x2－3x＋4的图象开口向上，Δ＝9－32＝－23＜0，所以2x2－3x＋4＜0的解集为∅，不符合题意.故选AC. 返回 任务三　含参数的一元二次不等式的解法 返回 (链教材P38例4)求关于x的不等式－x2＋(2－m)x＋2m≥0的解集，其中m是常数. 解：原不等式可化为x2＋(m－2)x－2m≤0， 即(x＋m)(x－2)≤0， 令(x＋m)(x－2)＝0，解得x1＝－m，x2＝2. 当－m＞2，即m＜－2时，不等式的解集为[2，－m]； 当－m＝2，即m＝－2时，不等式的解集为{2}； 当－m＜2，即m＞－2时，不等式的解集为[－m，2]. 综上所述，当m＜－2时，原不等式的解集为[2，－m]； 当m＝－2时，原不等式的解集为{2}； 当m＞－2时，原不等式的解集为[－m，2]. 典例 3 解含参数的一元二次不等式的步骤 规律方法 对点练3.求关于x的不等式bx2－(3ab－b)x＋2a2b－ab＜0的解集，其中a，b是常数. (1)当b＝1，a＞1时，求原不等式的解集； 解：当b＝1时，原不等式即x2－(3a－1)x＋2a2－a＜0，即(x－a)(x－2a＋1)＜0， 因为a＞1，所以a＜2a－1，所以原不等式的解集为. (2)当b＝a(a≤1)时，求原不等式的解集. 解：当b＝a(a≤1)时，原不等式可化为a(x－a)(x－2a＋1)＜0(a≤1). 当a＝1时，原不等式化为(x－1)2＜0，此时，原不等式的解集为∅； 当0＜a＜1时，a＞2a－1，原不等式的解集为{x｜2a－1＜x＜a}； 当a＝0时，原不等式即0＜0，此时，原不等式的解集为∅； 当a＜0时，原不等式可化为(x－a)(x－2a＋1)＞0， 此时，a＞2a－1，原不等式的解集为{x｜x＜2a－1，或x＞a}. 综上所述，当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为∅； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x｜2a－1＜x＜a}； 当a＜0时，原不等式的解集为{x｜x＜2a－1，或x＞a}. 返回 课堂小结 任务 再现 1.不含参数的一元二次不等式及其解法. 2.含参数的一元二次不等式及其解法 方法 提炼 分类讨论、数形结合 易错 警示 解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准 随堂评价 返回 1.下列不等式：①x2＞0；②－x2－x≤5；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0； ⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.其中一定是一元二次不等式的有 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 √ 根据一元二次不等式的定义，只有①②满足.故选D. 2.不等式(x－1)(x＋2)＞0的解集为 A.{x｜x＜－2，或x＞1} B.{x｜－2＜x＜1} C.{x｜1＜x＜2} D.{x｜x＜1，或x＞2} √ 不等式(x－1)(x＋2)＞0的解集为{x｜x＜－2，或x＞1}.故选A. 3.(多选题)下列不等式的解集是空集的是 A.x2－x＋1≤0 B.－2x2＋x＋1＞0 C.2x－x2＞5 D.x2＞2 √ √ 对于A，对应的二次函数图象开口向上，Δ＜0，所以不等式的解集是空集，故A正确；对于B，由－2x2＋x＋1＞0，可得不等式的解集为，故B错误；对于C，不等式变形为x2－2x＋5＜0，对应的二次函数图象开口向上，Δ＜0，所以解集是空集，故C正确；对于D，由x2＞2，可得不等式的解集为{x｜x＜－，或x＞}，故D错误.故选AC. 4.若0＜a＜1，则不等式(x－a)(x－a2)＞0的解集为____________________. (－∞，a2)∪(a，＋∞) 因为0＜a＜1，所以a＞a2，所以(x－a)(x－a2)＞0的解为x＜a2，或x＞a，则原不等式(x－a)(x－a2)＞0的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞). 返回 课时分层评价 返回 1.不等式－6x2－5x＋6＞0的解集为 A. B. C. D. √ 原不等式可化为＜0，解得－＜x＜，故原不等式的解集为.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若关于x的不等式x2＋px＋q＜0(p，q∈R)的解集为(－2，3)，则p＋q＝ A.－7 B.－5 C.5 D.7 √ 因为不等式x2＋px＋q＜0(p，q∈R)的解集为(－2，3)，所以－2，3是方程x2＋px＋q＝0的根，根据韦达定理，得所以p＋q＝－7.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知0＜a＜1，则关于x的不等式＜0的解集为 A. B. C. D. √ 因为0＜a＜1，所以＞1，原不等式等价于(x－a)＞0，解得x＜a或x＞，所以不等式的解集为{x｜x＜a，或x＞}.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)与不等式x2－x＋2＞0的解集相同的不等式有 A.－x2＋x－2＜0 B.2x2－3x＋2＞0 C.x2－x＋3≥0 D.x2＋x－2＞0 √ 因为Δ＝(－1)2－4×2＝－7＜0，对应的二次函数图象开口向上，所以不等式x2－x＋2＞0的解集为R.对于A，Δ＝1－4×(－1)×(－2)＝－7＜0，对应的二次函数图象开口向下，所以－x2＋x－2＜0的解集为R；对于B，Δ＝(－3)2－4×2×2＝－7＜0，对应的二次函数图象开口向上，所以不等式2x2－3x＋2＞0的解集为R；对于C，Δ＝(－1)2－4×1×3＝－11＜0，对应的二次函数图象开口向上，所以不等式x2－x＋3≥0的解集为R；对于D，x2＋x－2＞0，所以(x＋2)(x－1)＞0，所以x＞1，或x＜－2，与已知不符.故选ABC. √ √ 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.已知关于x的不等式mx＞n的解集是，则关于x的不等式(x－3)＞0的解集是 A.{x｜x＜2，或x＞3} B. C.{x｜x＜－2，或x＞3} D. √ 因为关于x的不等式mx＞n的解集为，所以m＜0，n＝2m，所以(x－3)＞0可化为m(x＋2)(x－3)＞0，即(x＋2)(x－3)＜0，所以－2＜x＜3，所以关于x的不等式(x－3)＞0的解集是.故选D. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)＞0的解集可能为 A.∅ B.{－1} C.(a，－1) D.(－∞，－1)∪(a，＋∞) √ 由于a(x－a)(x＋1)＞0为一元二次不等式，所以a≠0，当a＞0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)开口向上，与x轴的交点横坐标为a，－1，故不等式的解集为∪，当a＜0时，函数y＝a(x－a)(x＋1)开口向下，若a＝－1，不等式解集为∅；若－1＜a＜0，不等式的解集为；若a＜－1，不等式的解集为.综上，ACD选项都可能是一元二次不等式a(x－a)(x＋1)＞0的解集.故选ACD. √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.关于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是____________. 由题意知m＜0，因为不等式(mx－1)(x－2)＞0的解集为，所以方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m＜0，所以实数m的取值范围是{m｜m＜0}. {m｜m＜0} 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.(开放题)若关于x的不等式ax2＋2x＋4a＞0的解集为R，则a的一个取值为________________________________. 依题意当a＝0时，不等式2x＞0的解集为，不合题意；当a＜0时，由不等式对应的二次函数图象开口向下可知其解集不可能为R，不合题意；当a＞0时，若不等式ax2＋2x＋4a＞0的解集为R需满足Δ＝22－16a2＜0，解得a＞或a＜－(舍).综上可知，a＞.所以可得a的一个取值为1.(答案不唯一，只需满足a＞即可). 1(答案不唯一，只需满足a＞即可) 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知x＝2在不等式x2－kx－4≥0的解集中，则实数k的取值范围是____________. 因为x＝2在不等式的解集中，所以把x＝2代入不等式得：4(k－1)－2k－4≥0，解得k≥4，所以实数k的取值范围是[4，＋∞). 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(10分)求下列不等式的解集： (1)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)； 解：由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2， 所以原不等式等价于9x2－12x＋4＞0， 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知， 原不等式的解集为. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)0≤x2－2x－3＜5. 解：由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3； 由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4.所以－2＜x≤－1，或3≤x＜4. 所以原不等式的解集为{x｜－2＜x≤－1，或3≤x＜4}. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(新定义)在R上定义运算“☉”：a☉b＝ab＋2a＋b，则满足x☉(x－2)＜0的实数x的取值范围为 A.{x｜0＜x＜2} B.{x｜－2＜x＜1} C.{x｜x＜－2，或x＞1} D.{x｜－1＜x＜2} √ 根据给出的定义得，x☉(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x☉(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，故不等式的解集是{x｜－2＜x＜1}.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)对于给定实数a，关于x的一元二次不等式(ax－1)(x＋1)＜0的解集可能是 A. B.{x｜x≠－1} C. D.R √ 由(ax－1)(x＋1)＜0，分类讨论a如下：当a＞0时，－1＜x＜；当a＝0时，x＞－1；当－1＜a＜0时，x＜或x＞－1；当a＝－1时，x≠－1；当a＜－1时，x＜－1或x＞.故选AB. √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是 A.{a｜－1＜a≤0，或2≤a＜3} B.{a｜－2≤a＜－1，或3＜a≤4} C.{a｜－2＜a≤－1，或3≤a＜4} D.{a｜－1≤a＜0，或2＜a≤3} √ 由题意得，原不等式可转化为(x－1)(x－a)＜0，当a＞1时，解得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，则3＜a≤4；当a＜1时，解得a＜x＜1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a＜－1；当a＝1时，不等式为(x－1)2＜0，无解，不符合题意.综上所述，实数a的取值范围是{a｜－2≤a＜－1，或3＜a≤4}.故选B. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(10分)已知函数y＝ax2＋(1－a)x＋a. (1)若不等式y≥0对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； 解：由题意知，y≥0对于一切实数x恒成立， 即ax2＋(1－a)x＋a≥0对x∈R恒成立， 当a＝0时，上式为x≥0，不合题意； 当a≠0时，有解得a≥， 综上，实数a的取值范围为. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若a＜0，解关于x的不等式y＜a＋1. 解：不等式y＜a＋1，即ax2＋(1－a)x－1＜0，a＜0， 整理得(x－1)＞0， 当1＜－，即－1＜a＜0时，不等式解集为∪， 当1＝－，即a＝－1时，不等式解集为∪， 当1＞－，即a＜－1时，不等式解集为∪. 综上，当－1＜a＜0时，不等式解集为∪， 当a＝－1时，不等式解集为∪， 当a＜－1时，不等式解集为∪(1，＋∞). 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(开放题)已知实数a为常数，且a≠0，a≠1，函数y＝(x－a).甲同学：y＞0的解集为∪；乙同学：y＜0的解集为∪；丙同学：函数图象的对称轴在y轴右侧.在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则a的取值范围为 A. B. C. D. √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 若甲正确，则a＞0，且＞a，所以a2＜1，则0＜a＜1；若乙正确，则a＜0，且a＜，所以a2＞1，故a＜－1；若丙正确，则对称轴为x＝＞0，所以a＞0；因为只有一个同学的论述是错误的，只能是乙错，所以0＜a＜1.故选C. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(15分)已知函数y＝mx2＋(3－5m)x－n的图象经过点. (1)若n＝5m，求mx2＋4x－15＞0的解集； 解：由函数y＝mx2＋(3－5m)x－n的图象经过点， 代入得，－15＝m·0＋(3－5m)·0－n，解得n＝15，因为n＝5m， 所以m＝3，n＝15，所以3x2＋4x－15＞0，因式分解得(3x－5)(x＋3)＞0， 即解集为 . 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求关于x的不等式mx2＋(3－5m)x－n＞0的解集. 解：因为n＝15，所以原不等式为mx2＋(3－5m)x－15＞0，因式分解得(mx＋3)(x－5)＞0， 当m＝0时，解不等式3x－15＞0得 x＞5； 当m＞0时，－＜5，解不等式(mx＋3)(x－5)＞0得x＜－或x＞5； 当m＜－时，－＜5，解不等式(mx＋3)(x－5)＞0得－＜x＜5； 当m＝－时，不等式为(x－5)2＜0，此时无解； 当－＜m＜0时，－＞5，解不等式(mx＋3)(x－5)＞0得5＜x＜－. 综上：当m＝0时，原不等式的解集为； 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 当m＞0时， 原不等式的解集为{x｜x＜－，或x＞5}； 当m＜－时， 原不等式的解集为{x｜－＜x＜5}； 当m＝－时，原不等式的解集为∅； 当－＜m＜0时， 原不等式的解集为{x｜5＜x＜－}. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 4.2　一元二次不等式及其解法 返回 $