精品解析：湖南省邵阳市邵东市第一中学2025-2026学年高一上学期第一次诊断性练习数学试题

2025年下学期高一第一次诊断性练习 数学试卷 时量120分钟总分150分 一、单选题（本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据集合的元素求出集合的元素，再统计集合中的元素个数． 【详解】， 或，解得或， ，故中共有4个元素． 故选：C． 2. 已知集合满足，则集合的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合关系列举即可得答案. 【详解】满足的集合有， 故集合的个数为4个. 故选：B 3. 已知集合，，，则实数a的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分，，三种情况进行讨论，分别求得的值，即可求出实数a的取值构成的集合. 【详解】对于集合， 当时，，满足，符合题意； 当时，，因为集合，且，所以，或，解得：，或. 当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 所以实数a的取值构成的集合为. 故选：D . 4. 如果x，y是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若“”，则两边平方得，即， 所以，充分性不成立； 若“”，则、同号，故“”，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题是假命题得出全称命题为真，分和，再结合判别式计算求解. 【详解】命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题， 当时，符合题意； 当时，由题知，解得； 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 6. 若，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用不等式性质推理判断B；利用作差法判断CD. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，由，得，则，而，因此，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：B 7. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式求解即可. 【详解】由，，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论去绝对值求解. 【详解】（1）当或时，， 不等式为， 若不等式恒成立，必需 所以； （2）当时，， 不等式为即， （ⅰ）当时，不等式对任意恒成立， （ⅱ）当时， 不等式恒成立即恒成立， 所以，解得， （ⅲ）当时， 不等式恒成立即恒成立， 所以，解得 综上，实数的取值范围是 【点睛】本题考查绝对值不等式，含参数的二次不等式恒成立. 含参数的二次不等式恒成立通常有两种方法：1、根据二次函数的性质转化为不等式组；2、分离参数转化为求函数最值. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，错选得0分． 9. 下列函数相等的是（ ） A. 函数与函数 B. 函数与函数 C. 函数与函数 D. 函数与函数 【答案】AB 【解析】 【分析】利用函数相等的条件是定义域、解析式必须都相同，再来判断这两个要素即可得解. 【详解】因为函数，定义域为， 所以函数与函数是同一个函数，故A正确； 因为函数，定义域为， 所以函数与函数是同一个函数，故B正确； 因为函数，定义域为， 而函数的定义域为，这两个函数因为定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故C错误； 因为函数，定义域为， 而函数的定义域为或，这两个函数因为定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故D错误； 故选：AB. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得到A；二元换一元，代入 ，利用二次函数求出最值，得出B选项；利用即可得到C选项；利用“1”的妙用得出D. 【详解】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误． 故选：BC． 11. 已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的取值与有关 B. 为定值 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简，解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得，则 ，进而求得的取值范围. 【详解】令， 则可化为， 不妨设的解集为， 即， ，即， 故， 又，且， ，且， ，且， 故， 解得， 故选项A错误，选项B正确； ， ， 有解， ，即或， 是方程的两个根， 即是方程的两个根， 故，即， 解得：， ， 故选项C错误，选项D正确. 故答案选：BD. 【点睛】本题考查了二次不等式与二次函数、二次方程间关系的应用，以及集合间相等的应用，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________ 【答案】 【解析】 【分析】使函数表达式有意义即，解不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是求函数的定义域，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 13. 已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 14. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，求出方程的解，由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，确定满足不等式的整数解，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由，可得. 因为，作出函数的图象如下图所示：    当时，， 当时，由， 即，解得或（舍）. 若，则有，且， 若使得满足不等式恰有一个整数解， 由图可知，则该整数解为，且不是不等式的解， 则，即； 若，则，无解； 若，则有， 由图可知，则满足不等式的整数解为， 且与都不是不等式的解，且， 所以，即. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出时集合B，再利用集合的运算即可求出与； （2）根据得出关于的不等式，由此求出实数m的取值范围. 【小问1详解】 集合，时，， 所以， 又因为， 所以或， 【小问2详解】 由，得或， 即或， 所以实数m的取值范围是. 16. （1）已知集合，若命题:“”是命题:“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 【答案】(1)； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据必要不充分条件得出集合间的包含关系，再分情况讨论集合是否为空集来求解的取值范围； （2）分别求出命题和命题成立时的取值范围，再根据与不同时为真命题来确定的取值范围. 【详解】（1）因为命题是命题的必要不充分条件，所以为的真子集，； 当时，满足为的真子集，此时，解得；  当时，即，解得； 要使，则，解得； 解得； 所以此种情况下； 综上，实数的取值范围是； （2）当命题为真命题时， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得 故与不同时为真命题时，的取值范围是. 17. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】（1）18 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算； （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值； （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【小问1详解】 宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. 【小问2详解】 设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 18. 已知函数，函数，其中 （1）若恒成立，求实数t的取值范围； （2）若， ①求使得成立的x的取值范围； ②求在区间上的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）将问题转化为“恒成立”，然后根据与的大小关系求解出的取值范围； （2）①分别考虑时不等式的解集，由此确定出成立的的取值范围； ②先将写成分段函数的形式，然后分段考虑的最大值，其中时注意借助二次函数的单调性进行分析. 【详解】（1）因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，所以，解得， 所以； （2）①当时，，所以，解得； 当时，，所以， 因为，所以， 所以无解， 综上所述：的取值范围是； ②由①可知：， 当时，，所以，所以； 当时，的对称轴为，所以， 且，所以， 令，所以，所以， 综上可知：. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对取最小值函数（）的理解以及分类讨论思想的运用，通过分类讨论的思想确定出的解析式，再分析对应的每段函数的最大值，从而确定出的最大值. 19. 对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； （2）若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; （3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 【答案】（1）最小值，最大值为；是 （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）结合二次函数的图象即可求得； （2）根据题意，讨论对称轴和区间的位置关系，，，，分别求得即可； （3）根据题意，在对称轴取得最小值，讨论对称轴和区间的最大值，再根据和，分别求得. 【小问1详解】 根据题意：，则， 因为，则当时，， 当时，，且， 即函数为上的“聚集函数”. 【小问2详解】 ①若，则，， 根据题意：，无解； ②若，则，， 根据题意：，解得：； ③若，则，， 根据题意：，解得：； ④若，则，， 根据题意：，解得：无解； 综上：实数的取值范围为：. 【小问3详解】 因为，则， ①若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. ②若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. 综上：的最大值为，当且仅当时取等号， 即或时取等号. 因此的最大值为. 【点睛】含参数的二次函数在给定区间上求最值问题主要有三种类型： 轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考虑对称轴和区间的关系，当含有参数时，要根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，当确定了对称轴和区间的关系，就明确了函数的单调性，从而确定了函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期高一第一次诊断性练习 数学试卷 时量120分钟总分150分 一、单选题（本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知集合满足，则集合的个数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，，则实数a的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 如果x，y是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，错选得0分． 9. 下列函数相等的是（ ） A. 函数与函数 B. 函数与函数 C. 函数与函数 D. 函数与函数 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是 B. 最小值为 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11. 已知函数，若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的取值与有关 B. 为定值 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________ 13. 已知，且，则的最小值为_________． 14. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知集合，若命题:“”是命题:“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. （2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围. 17. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 18. 已知函数，函数，其中 （1）若恒成立，求实数t的取值范围； （2）若， ①求使得成立的x的取值范围； ②求在区间上的最大值． 19. 对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； （2）若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; （3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $