精品解析： 　贵州省贵阳市南明区华东师范大学附属贵阳学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

贵州省贵阳市南明区华东师范大学附属贵阳学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得一次项为，即可求解． 【详解】解：由题意可得：一次项为，其系数为 故选B 【点睛】此题考查了一元二次方程的有关概念，解题的关键是确定一次项，掌握单项式系数的概念，单项式中的数字因数为单项式的系数． 2. 如图，在菱形中，点为和的交点，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的四条边相等且对角线互相垂直平分，据此可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，点为和的交点， ∴，，， 根据现有条件不能得到， 故选：A． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解；A、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则b的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，根据方程解的定义，将已知的方程解代入方程求解即可． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程的一个根为， 所以，将代入方程可得， 解得，， 故选：A． 5. 下列结论中，正确的是（　　） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 正方形两条对角线相等，但不互相垂直平分 D. 矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质 【答案】B 【解析】 【详解】A.可判断为菱形，故本选项错误， B.对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确， C.正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，故本选项错误， D.菱形的对角线不一定相等，故本选项错误， 故选：B． 6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，确定二次项系数，一次项系数，常数项，当二次项系数为时，运用等式的性质，配方为一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解： 移项得，，一次项系数为， ∴配方为，，整理得，， ∴， 故选：D． 7. 如图所示，菱形的对角线、相交于点O，若，，，垂足为E，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据建立等量关系即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴． ∵， ∴， 解得：． 故选：C 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理的应用．抓住是解题关键． 8. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式依次判断即可. 【详解】A、，，有实数根，故A选项错误； B、，，有实数根，故B选项错误； C、，，没有实数根，故C选项正确； D、，，由实数根，故D选项错误； 故选C. 【点睛】本题是对一元二次方程根的考查，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决本题的关键. 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理. 由矩形性质得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， 即点F是边的中点， 点是边的中点， 为的中位线， ． 故选：B． 10. 如图，将两条宽度相同的纸条相交成30°角叠放，重合部分构成四边形，已知，则原纸条的宽度为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键． 先可判断重叠部分为平行四边形，再由平行四边形的面积可得邻边相等，即重叠部分为菱形可得，然后由含角的直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：过点A作于E，于F， ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 11. 小星利用表格中的数据，估算一元二次方程的根， x … 0 1.1 1.2 1.3 1.4 … … －2 －0.68 －0.32 0.08 0.52 … 由此可以确定，方程的一个根的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围． 12. 若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ） A. 2018 B. 2020 C. 2025 D. 2030 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义，把方程化成定义型方程，利用恒等式性质，确定a，b的值，后代入，配方，利用非负性求最值即可． 本题考查了一元二次方程新定义问题，配方法求最值是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 又与是“同族二次方程”． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值，且为2020， 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空填（共4小题，每小题4分，共16分） 13. 方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 即． 14. 如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可． 【详解】解：添加条件，那么为菱形．理由： ∵四边形是平行四边形，， ∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， ， 故答案为：． 16. 如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】作交于点，交于点，结合正方形的性质，得到，然后证明，得到，那么四边形为正方形，然后证明，得到，那么，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作交于点，交于点， 四边形为正方形, ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， 四边形为正方形， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， 四边形为正方形，， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题 17. 用恰当的方法解下列方程 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法，公式法是解题的关键． （1）利用十字相乘法解题即可； （2）利用公式法解题即可； （3）利用因式分解法解题即可． 【小问1详解】 解： ， 或， ； 【小问2详解】 解： 这里， ， ， ； 【小问3详解】 解： 或 ． 18. 如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，，有下列条件： ①，②． 请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形． 【答案】 解：选择①： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 选择②： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，选择①，根据，，得到四边形为平行四边形，再根据有一个角是90度的平行四边形是矩形，即可得证，选择②，根据，，得到四边形为平行四边形，再根据有一个角是90度的平行四边形是矩形，即可得证． 【详解】略 19. 关于x的一元二次方程 （1）当时，求这个方程的根； （2）当k取何值时，方程有两个相等的实数根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式： （1）将代入方程，因式分解法解方程即可； （2）根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，原方程化为：， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 20. 如图，矩形的对角线，相交于点O，过点C作的平行线交的延长线于点E，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． 【解析】 【分析】根据矩形的性质可以得到，根据平行四边形的判定和性质可以得到，从而可以得到． 【详解】略 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，求出． 21. 华东学校计划建设一个校园种菜基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为多少？ 【答案】所修道路的宽为1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．设所修道路的宽为，可知种植区可以合并成长为，宽为的长方形，然后根据题意列出方程，解出答案即可． 【详解】解：设所修道路的宽为， 解得（舍去） 故所修道路的宽为1， 答：所修道路的宽为1． 22. 如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接． （1）求证：； （2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 是的中点， ， 在和中， ∵， ∴， ， 在中，，是中线， ， ； （2） 解：四边形是正方形．证明如下： ，， 四边形是平行四边形， ，是中线， ， ， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）证明，则，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，进而结论得证； （2）先证四边形是平行四边形，然后根据，，证明四边形是正方形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行四边形、正方形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23. 如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的面积等于，求平行线与间的距离． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形； （2）连接，先求得，再证，，于是有，得，再证，从而根据面积公式即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于， ∴， ∴平行线与间的距离． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键． 24. 【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ， 当时，的最小值是4． （1）【类比探究】求代数式的最小值； （2）【举一反三】若代数式：当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； （3）【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）3 （2），大，1 （3）当时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了配方法求代数式最大值中的应用，不等式的性质，实际应用题中几何关系的建模．正确的配方是解题的关键． （1）将原式配方，根据，再根据不等式的性质求解即可； （2）对代数式进行配方，，结合，再根据不等式的性质求解即可； （3）设，由长方形与长方形面积比为，得到，再根据栅栏总长度表示出的长度，由面积公式建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值，注意的取值范围． 【小问1详解】 解： ， ， 时，取最小值，且最小值为3； 【小问2详解】 解： ， ， 时，取最大值，且最大值为1， 故答案为：，大，1； 【小问3详解】 解：设， ∵长方形与长方形面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为48， 即当时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为． 25. 在正方形中经常会出现翻折等变换，可通过、等全等条件构造两个三角形全等．如图1，正方形中，E是边上一点，将折叠至位置，延长交边于点F，可证出． （1）如图2，点M、N分别在正方形的边、边上，将正方形沿折叠，点C对应点E落在边上，点B对应点为点F，线段交边于点G，若，证明：． （2）如图2，在（1）条件下连接，则 ． （3）如图3，M为正方形边中点，将沿折叠至，连接，作交延长线于点H，若求线段长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：垂直平分，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据余角的性质证明，根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （3）过点A作于点E，延长，，交于点F，延长，交于点G，连接，证明，得出，，证明，得出，证明，得出，，根据勾股定理求出，根据，即可得出，最后求出x的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：过点A作于点E，延长，，交于点F，延长，交于点G，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省贵阳市南明区华东师范大学附属贵阳学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 5 B. C. 2 D. 0 2. 如图，在菱形中，点为和的交点，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则b的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 下列结论中，正确的是（　　） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 正方形两条对角线相等，但不互相垂直平分 D. 矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质 6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图所示，菱形的对角线、相交于点O，若，，，垂足为E，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E是边的中点，点F在对角线上，且，连接．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 10. 如图，将两条宽度相同的纸条相交成30°角叠放，重合部分构成四边形，已知，则原纸条的宽度为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 无法确定 11. 小星利用表格中的数据，估算一元二次方程的根， x … 0 1.1 1.2 1.3 1.4 … … －2 －0.68 －0.32 0.08 0.52 … 由此可以确定，方程的一个根的大致范围是（ ） A. B. C. D. 12. 若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ） A. 2018 B. 2020 C. 2025 D. 2030 第II卷（非选择题） 二、填空填（共4小题，每小题4分，共16分） 13. 方程的解为__________． 14. 如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可） 15. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为__________． 16. 如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．则__________． 三、解答题 17. 用恰当的方法解下列方程 （1） （2） （3） 18. 如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，，有下列条件： ①，②． 请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形． 19. 关于x的一元二次方程 （1）当时，求这个方程的根； （2）当k取何值时，方程有两个相等的实数根． 20. 如图，矩形的对角线，相交于点O，过点C作的平行线交的延长线于点E，求证：． 21. 华东学校计划建设一个校园种菜基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为多少？ 22. 如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接． （1）求证：； （2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 23. 如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的面积等于，求平行线与间的距离． 24. 【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ， 当时，的最小值是4． （1）【类比探究】求代数式的最小值； （2）【举一反三】若代数式：当__________时，有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； （3）【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 25. 在正方形中经常会出现翻折等变换，可通过、等全等条件构造两个三角形全等．如图1，正方形中，E是边上一点，将折叠至位置，延长交边于点F，可证出． （1）如图2，点M、N分别在正方形的边、边上，将正方形沿折叠，点C对应点E落在边上，点B对应点为点F，线段交边于点G，若，证明：． （2）如图2，在（1）条件下连接，则 ． （3）如图3，M为正方形边中点，将沿折叠至，连接，作交延长线于点H，若求线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $