第一章 重点突破2 不等式恒成立、能成立问题-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦不等式恒成立与能成立问题，系统梳理判别式法、数形结合法、分离参数法等解题方法，构建从R上恒成立、给定区间恒成立、变换主元到能成立问题的递进式学习支架。 资料通过例题解析、方法总结与对点练结合，强化逻辑推理与数学运算核心素养，如变换主元题型培养转化思维，分类讨论提升严谨性。课中助力教师分层授课，课后辅助学生巩固方法，查漏补缺。

学习目标 1.能用判别式法、数形结合法、分离参数法解不等式恒成立、能成立问题.　2.通过不等式的恒成立、能成立问题的应用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 题型一　在R上的恒成立问题 已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立，求实数k的取值范围. 解：当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意. 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y＜0恒成立， 所以其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点， 所以解得－1＜k＜0. 综上，实数k的取值范围是{k｜－1＜k≤0}. 一元二次不等式在R上恒成立 1.ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 2.ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 3.ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 4.ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足 [注意]　若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参数，则一定要讨论二次项系数是否为0. 学生用书⬇第43页 对点练1.(1)若不等式kx2－6kx＋k＋8≥0的解集为R，则实数k的取值范围是(　　) A.0≤k≤1 B.0＜k≤1 C.k＜0或k＞1 D.k≤0或k≥1 (2)若∀x∈R，不等式2kx2＋kx－1＜0都成立，则实数k的取值范围为　　　　. 答案：(1)A　(2) 解析：(1)若k＝0，则不等式为8≥0，满足条件；若k≠0，要使不等式恒成立，则满足所以0＜k≤1.综上，实数k的取值范围为0≤k≤1.故选A. (2)因为∀x∈R，不等式2kx2＋kx－1＜0都成立，若k＝0，则－1＜0，符合题意；若k≠0，则解得－8＜k＜0；综上所述：k的取值范围为. 题型二　在给定区间上的恒成立问题 (1)对任意的≤x≤1，关于x的不等式(a＋2)x2－4x＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A.a≥－2 B.a≥ C.a≥2 D.a≥1 (2)若当1＜x＜2时，关于x的不等式x2＋mx＋4＞0恒成立，则实数m的取值范围为　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)由题意得(a＋2)x2≥4x－1，由≤x≤1，得x2＞0，则a＋2≥＝－＋恒成立.令t＝，得t＝∈，则二次函数y＝－t2＋4t＝－＋4≤4，当t＝2时，取得最大值，所以a＋2≥4，所以a≥2.故选C. (2)记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4＞0(1＜x＜2)恒成立，所以Δ＝m2－4×4＜0或解得－4＜m＜4或m≥4或m＝－4，即m≥－4.故实数m的取值范围为. 在给定范围内的恒成立问题 　　对含参数的一元二次不等式在某一区间上恒成立问题，求解时主要有两种方法： 一是将参数分离，转化为恒成立问题；二是利用二次不等式根的分布及数形结合思想求解. 对点练2.(1)对任意的x∈，x2－2mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A. B. C. D.∪ (2)∀x∈{x｜1＜x＜2}时，不等式x2－x－m＜0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.{m｜m≤2} B.{m｜m≥2} C.{m｜1＜m＜2} D.{m｜m＞2} 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)对任意的x∈，x2－2mx＋1＞0恒成立，即对任意的x∈，m＜恒成立，因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，故m＜1，故实数m的取值范围为.故选B. (2)∀x∈{x｜1＜x＜2}时，不等式x2－x－m＜0恒成立，即解得m≥2，所以实数m的取值范围是{m｜m≥2}.故选B. 题型三　变换主元解决恒成立问题 不等式mx2－mx－6＋m＜0对满足1≤m≤3的所有m均成立，求实数x的取值范围. 解：mx2－mx－6＋m＜0⇔(x2－x＋1)m－6＜0， 设y＝(x2－x＋1)m－6，该函数为以m为自变量的一元一次函数， 因为1≤m≤3，所以该函数的图象为一条线段， 要使y＝(x2－x＋1)m－6＜0对满足1≤m≤3的所有m均成立， 只需 解得＜x＜， 所以x的取值范围为. 主参换位法解决恒成立问题的思路 已知参数的取值范围，求变量的取值范围时，常常把变量和参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原参数的取值范围求解. 对点练3.对任意1≤m≤2，函数y＝mx2－mx＋m－6的值恒小于0，则实数x的取值范围为　　　　　. 答案：{x｜－1＜x＜2} 解析：y＝mx2－mx＋m－6＝(x2－x＋1)·m－6，依题意知，当1≤m≤2时，y＜0恒成立.因为x2－x＋1＞0，所以y是关于m的一次函数，且在1≤m≤2上随m的增大而增大，所以y＜0对1≤m≤2恒成立等价于y的最大值小于0，即2(x2－x＋1)－6＜0，则x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2.因此x的取值范围是{x｜－1＜x＜2}. 题型四　简单的能成立问题 设函数y＝－mx2＋mx－1. (1)若命题：∃x∈R，y＞0是假命题，求实数m的取值范围； (2)若存在0＜x＜4，使得y≥x2＋3成立，求实数m的取值范围. 解：(1)若命题：∃x∈R，y＞0是真命题，则∃x∈R，不等式－mx2＋mx－1＞0成立， 当m＝0时，－1＞0，显然不成立； 当m≠0时，函数y＝－mx2＋mx－1为二次函数， 若－m＞0即m＜0，则∃x∈R，y＞0，满足题意； 若－m＜0即m＞0，则Δ＝m2－4m＞0，所以m＞4. 综上，m＜0或m＞4. 所以命题：∃x∈R，y＞0是假命题时，实数m的取值范围为[0，4]. (2)存在0＜x＜4，使得－mx2＋mx－1≥(－m＋1)x2＋3成立， 即对于x∈，使x2－mx＋4≤0有解， 即m≥＝x＋在x∈上能成立， 所以m≥， 因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立， 所以实数m的取值范围为[4，＋∞). 解决简单的能成立问题主要有两种方法 1.分离参数法：可转化为m＞ymin或m＜ymax的形式，然后求ymin或ymax. 2.数形结合法：利用一元二次函数的图象将问题转化为端点值的问题. 对点练4.(1)命题：“∃x∈使得不等式x2－2x－3＋a≥0成立”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. (2)若关于x的不等式x2＋mx－4＞0在区间上有解，则实数m的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)由∃x∈使得不等式x2－2x－3＋a≥0成立是真命题，即不等式a≥－x2＋2x＋3在x∈有解，因为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，当x＝4时，ymin＝－5，所以a≥－5，即实数a的取值范围为.故选C. (2)易知Δ＝m2＋16＞0恒成立，即x2＋mx－4＝0有两个不等实数根x1，x2，又x1x2＝－4＜0，即x2＋mx－4＝0有两个异号实根，所以要满足不等式x2＋mx－4＞0在区间上有解，只需42＋4m－4＞0，解得m＞－3，所以实数m的取值范围是.故选A. 学生用书⬇第44页 1.若不等式－x2＋ax－1＞0有解，则实数a的取值范围为(　　) A.a＜－2，或a＞2 B.－2＜a＜2 C.a≠±2 D.1＜a＜3 答案：A 解析：不等式－x2＋ax－1＞0有解，即不等式x2－ax＋1＜0有解，因此Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2，或a＞2，所以实数a的取值范围为a＜－2，或a＞2.故选A. 2.若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈恒成立，则∀x∈，a≤x＋成立，而x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，因此a≤4，所以实数a的取值范围是.故选B. 3.(新定义)定义运算：x*y＝x.若关于x的不等式(x－a)*＜1恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D.{a｜0＜a＜2} 答案：B 解析：由题意(x－a)*＜1可变形为(x－a)－1＜0，即x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，所以Δ＝1－4×1×＜0恒成立，化简可得＜0，解得－＜a＜，所以实数a的取值范围为.故选B. 4.若存在－1≤x≤1，使4x2－2(m－2)x＋3m＋1＞0，则实数m的取值集合是(　　) A.{m｜m＞－9} B.{m｜m≤1} C.{m｜－9＜m＜1} D.{m｜m≤－9} 答案：A 解析：由题意知：若∀－1≤x≤1，使4x2－2(m－2)x＋3m＋1≤0为真，则所以m≤－9，故若存在－1≤x≤1，使4x2－2(m－2)x＋3m＋1＞0，则m＞－9，所以m的取值集合是{m｜m＞－9}.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $