专题06 一元二次不等式中的恒成立问题（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题06 一元二次不等式中的恒成立及有解问题 目录 1 类型一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 1 类型二、一元二次不等式在区间上的恒成立问题 3 类型三、一元二次不等式在区间上的有解问题 8 11 类型一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 1.求解一元二次不等式中的恒成立问题的常用方法 ⑴判别式法 ①ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 ②ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 注：当不等式未说明为一元二次不等式时,要对a是否为0进行讨论. ⑵数形结合法 1、在R上恒成立：对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方； 2、在给定区间恒成立：可结合二次函数的图象进行求解,设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）： ①a＞0时，f（x）＜0在α≤x≤β时恒成立⇔ ②a＜0时，f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔ ③在时恒成立⇔. ⑶转化为函数的最值 1 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． ② 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． ⑷分离参数法 通过代数变形,将参数与变量分离开来,转化为“参数与关于变量的函数的不等关系”,再通过分析函数的最值或取值范围,间接求出参数的取值范围. 例1．已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据参数是否等于零分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】由题意，命题“，”是真命题， 当时，不等式，解得，不满足题意； 当时，，解得 综上所述，实数的取值范围是 故选：A. 变式1-1．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 变式1-2．函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得恒有成立，结合二次不等式恒成立性质对进行分类讨论进行求解即可. 【详解】由题意得恒成立，当时, 恒成立，满足题意； 当时, ,解得,综上. 故选:C. 变式1-3．，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解. 【详解】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，取的最小值为. 故选：B. 类型二、一元二次不等式在区间上的恒成立问题 例2．若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主元变换，构造关于的函数.根据函数性质，只需与都大于即可. 【详解】由题意知，，恒成立， 设函数， 即，恒成立. 则，即， 解得，或. 故选：C. 例3．设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)转化自变量，为参数，根据已知条件列方程式即可求解； (2)若存在，使得成立，经变形后，只需要其最小值满足条件即可，根据不等式性质求出最小值，即可求出的取值范围. 【详解】（1）对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 因为是关于的一次函数， 所以 所以实数的取值范围是； （2）存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为 所以（当且仅当时等号成立）， 则， 所以， 综上得实数的取值范围是：. 变式2-1．已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合函数函数性质，得到函数的函数性质，由此建立等式得到的关系，然后借助基本不等式求出的最小值. 【详解】∵，∴在区间上单调递增， ∴当时，当时， 令， 要想关于x的不等式在区间上恒成立， 则当时，当时， ∴，则，即， ∴，当且仅当，即时取等号. 故选：B. 变式2-2．已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由必要条件定义可得，由此可得在恒成立，结合二次函数性质列不等式可得的关系，结合不等式性质求结论. 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以成立. 令，得在恒成立， 所以，所以， ，又， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：D. 变式2-3．已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围. 【详解】由题意，在中，对称轴，函数在上单调递减，在上单调递增， ∵对于，均有成立， 即对于，均有恒成立，设，则对称轴，函数在上单调递减，在上单调递增， 当即时， 函数在上单调递减，函数在上单调递减， ，， ， 当，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减， ，， ， 当，即时，， 函数在上单调递增，函数在上单调递减， ，， ，故不符题意，舍去. 当即时， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， ， 当即时， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 此时，，所以符合题意. 当时， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， ，， 此时，，所以符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题，关键在于熟练掌握二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性. 变式2-4．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在实数 (2) (3) 【分析】（1）根据条件，分和两种情况，利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据条件得到，令，得到，再求出的最小值，即可求解； （3）设，将问题转化成时，恒成立，从而得到，即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，得到， 所以，不存在实数，使不等式对恒成立． （2）因为，所以，，则， 令，则，得到， 设，，显然在单调递增， 当时，，当时，，所以，则， 所以，即的取值范围是． （3）设，当时，恒成立． 即成立，即， 由，得到， 由，得到或， 所以，所以实数的取值范围是． 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（3）问，构造一次函数，将问题转化成在区间上恒成立，从而得到，即可求解. 类型三、一元二次不等式在区间上的有解问题 例4．方程在区间[1,3]内有解，则实数的取值范围是（   ） A．[2,5] B．[1,7] C． D．[1,5] 【答案】B 【分析】问题化为在上有解，利用二次函数性质求右侧的值域，即可确定参数范围. 【详解】由题设在内有解，即在上有解， 令，，则在上递增， 所以，故. 故选：B 变式3-1．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解. 【详解】由使得不等式成立是真命题， 即不等式在有解， 因为，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 变式3-2．若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的图象及根的分布计算即可. 【详解】易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在区间上有解， 所以只需， 解得，所以实数m的取值范围是． 故选A． 变式3-3．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【详解】（1）不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. （2）由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3）由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 1、 单选题 1．“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解. 【详解】当时，则有，解得，不合题意； 当时，则，解得. 综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为， 所以一个必要不充分条件是. 故选：A. 2．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【详解】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：C 3．已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解即可； 【详解】命题：，为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点， 由图可知：或， 命题：，为真命题， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 4．若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 5．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由两个正实数满足，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式有解，可得，解得或， 所以实数的取值范围为或. 故选：B. 二、多选题 6．使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出不等式对一切实数都成立时的取值范围，然后再看各个选项是否在这个取值范围内. 【详解】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立. 当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即. 与轴无交点：判别式.此种情况，解得.   综合两种情况 不等式对一切实数都成立时的取值范围是. 分析各个选项： A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件. C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件. 故选：ACD. 7．下列说法正确的有（   ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】ABC 【分析】讨论的取值，结合一元二次不等式恒成立可得的范围，选项A正确；利用分离参数的方法可得选项B正确；利用分离参数的方法得到关于的不等式，恒成立问题转化为小于（或小于等于）函数的最小值，结合基本不等式可得选项C正确，选项D错误. 【详解】A.当时，恒成立， 当时，，解得， 综上得，k的取值范围是，选项A正确. B．由得， 由得，，在上恒成立，故，即实数k的取值范围是，选项B正确. C.由题意得，恒成立，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项C正确. D. 由题意得，，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项D错误. 故选：ABC. 8．若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对分类讨论，当时，由可得，由一次函数的图象知不存在；当时，由，利用数形结合的思想可得出的整数解. 【详解】当时，由可得对任意恒成立， 即对任意恒成立，此时不存在； 当时，由对任意恒成立， 可设，，作出的图象如下， 由题意可知，再由，是整数可得或或 所以的可能取值为或或 故选：BCD 三、填空题 9．关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用判别式法求解. 【详解】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为空集， 所以，对恒成立， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为， 故答案为： 10．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 11．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 12．已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 13．已知，； (1)解关于x的不等式； (2)若任意的恒成立，试求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据条件得到，利用一元二次不等式的解法，对分类讨论即可求解； （2）原不等式等价于对任意实数恒成立，当时，不等式恒成立；当时，分与两种情况讨论，当时，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】（1），则，即， 令，解得或， 当时，即时，原不等式的解集为， 当时，即时，原不等式的解集为， 当时，即时，原不等式的解集为. （2）由题知对任意实数恒成立， 当时，由得，满足题意； 当时，当时，不等式成立， 当时，可变形为， 即在上恒成立， 当时，， 当时，即在上恒成立， 所以，解得， 所以满足题意； 当时，当时，不等式成立， 当时，令，， 当，即，，显然不满足题意； 当时，由，得， 即，显然在上不恒成立， 当时，由，得， 即，即在上恒成立， 所以，解得； 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：一元二次含参不等式的解法（二次项系数不含参数）： （1）利用十字相乘法等因式分解，不能因式分解则利用求根公式求根； （2）比较两根的大小，由于根含参数，则需分类讨论，先让两根相等，找分界点，分成：①小于分界点；②等于分界点；③大于分界点来讨论即可. 14．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）,即，即， 当时,原不等式解得; 当时，原不等式无解; 当时,原不等式解得; 综上所述：当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. （2）,即， 即， ， ， 由题意可知只需即可, 令， 则 当且仅当即时，等号成立. ， 15．已知关于x的函数，其中为实数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； (3)对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）化简不等式，对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解集不是空集列不等式，由此求得的取值范围. （3）化简恒成立的不等式，利用换元法，结合基本不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）由， 得， 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为或. （2）若关于的不等式的解集不为， 即关于的不等式的解集不为， 当时，不等式即，解集为，不为，符合题意. 当时，不等式的解集不为，符合题意. 当时，要使不等式的解集不为， 则需， 解得. 综上所述，的取值范围是. （3）若对恒成立， 则对恒成立， 由于， 所以则对恒成立， 设，则，， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元二次不等式中的恒成立及有解问题 目录 1 类型一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 1 类型二、一元二次不等式在区间上的恒成立问题 2 类型三、一元二次不等式在区间上的有解问题 4 5 类型一、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 1.求解一元二次不等式中的恒成立问题的常用方法 ⑴判别式法 ①ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 ②ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 注：当不等式未说明为一元二次不等式时,要对a是否为0进行讨论. ⑵数形结合法 1、在R上恒成立：对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方； 2、在给定区间恒成立：可结合二次函数的图象进行求解,设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）： ①a＞0时，f（x）＜0在α≤x≤β时恒成立⇔ ②a＜0时，f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔ ③在时恒成立⇔. ⑶转化为函数的最值 1 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． ② 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． ⑷分离参数法 通过代数变形,将参数与变量分离开来,转化为“参数与关于变量的函数的不等关系”,再通过分析函数的最值或取值范围,间接求出参数的取值范围. 例1．已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 类型二、一元二次不等式在区间上的恒成立问题 例2．若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．设二次函数. (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 变式2-1．已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 变式2-2．已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2-4．已知关于的不等式． (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立； (2)若不等式对于恒成立，求的取值范围； (3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 类型三、一元二次不等式在区间上的有解问题 例4．方程在区间[1,3]内有解，则实数的取值范围是（   ） A．[2,5] B．[1,7] C． D．[1,5] 变式3-1．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 1、 单选题 1．“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 3．已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 5．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（  ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 6．使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的有（   ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 8．若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 10．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 11．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 四、解答题 12．已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 13．已知，； (1)解关于x的不等式； (2)若任意的恒成立，试求实数a的取值范围. 14．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 15．已知关于x的函数，其中为实数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； (3)对恒成立，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$