专题07 一元二次不等式中根的分布问题（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题07 一元二次方程中根的分布问题 目录 1 类型一、一元二次方程的根与零比较 1 类型二、一元二次方程的根与k比较 3 类型三、一元二次方程中的根在区间上的分布 4 6 类型一、一元二次方程的根与零比较 1.一元二次方程根的分布问题需考虑的方面： ①开口方向（若不能判定则需分类讨论,特别要注意二次项系数有可能等于零的情况） ②判别式的符号 ③对称轴的位置 ④给定点处的函数值的正负 2.一元二次方程的根与零比较 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 例1．若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 例3．写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件； 变式1-1．已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（    ） A．-2 B． C． D．1 变式1-2．求关于x的方程至少有一个负实根的充要条件． 变式1-3．已知关于的一元二次方程. (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程无正数根，求实数的取值范围. 变式1-4．“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 类型二、一元二次方程的根与k比较 1.一元二次方程的根与k比较 ①两根都小于； ②两根都大于； ③一根小于，一根大于 例4．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 例5．已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为 . 例6．已知关于x的方.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 变式2-1．已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则可能为（    ） A． B． C．0 D．1 变式2-3．关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 变式2-4．已知命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)命题关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 类型三、一元二次方程中的根在区间上的分布 1.一元二次方程中的根在区间上的分布 ①两根都在内； ②两根仅有一根在内 ③一根在内,另一根在内 例7．已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8．关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例9．方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．方程在区间上有根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．关于x的方程的两根分别在区间和内，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 变式3-3．已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 一、单选题 1．已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 2．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为 ． 5．已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 6．方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为 ． 三、解答题 7．已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 8．求实数的范围，使关于的方程 (1)有两个实根，且一个比大，一个比小； (2)有两个实根，且满足； (3)至少有一个正根 9．已知函数． (1)不等式的解集为，求的取值范围； (2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围． 10．已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元二次方程中根的分布问题 目录 1 类型一、一元二次方程的根与零比较 1 类型二、一元二次方程的根与k比较 5 类型三、一元二次方程中的根在区间上的分布 10 13 类型一、一元二次方程的根与零比较 1.一元二次方程根的分布问题需考虑的方面： ①开口方向（若不能判定则需分类讨论,特别要注意二次项系数有可能等于零的情况） ②判别式的符号 ③对称轴的位置. ④给定点处的函数值的正负 2.一元二次方程的根与零比较 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 例1．若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，判别式及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为关于的方程有两个不同的正根， 所以，解得，故实数的取值范围是. 故选：C 例2．关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据题意可先求得关于的方程没有一个负根时，的取值范围，即可得出满足题意的的范围. 【详解】当方程没有根时，，即， 解得； 当方程有根，且根都不为负根时，可得，解得， 综上可知， 即关于的方程没有一个负根时，， 所以至少有一个负根的充要条件是. 故选：B 例3．写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件； 【答案】 【分析】利用判别式及韦达定理即可得到不等式组，解出即可； 【详解】若方程有一个正根和一个负根， 则，即，． 方程有一个正根和一个负根的充要条件是． 变式1-1．已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（    ） A．-2 B． C． D．1 【答案】B 【解析】由题意可得， 解得或， 设两个为，，由两根为正根可得 ，解得， 综上知，. 故两个根的倒数和为 ， ，，， 故， ， 故两个根的倒数和的最小值是. 故选：B 变式1-2．求关于x的方程至少有一个负实根的充要条件． 【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】①当时，方程为，解得，符合要求． ②当时，方程为一元二次方程，此时有实根的充要条件是 判别式，即，解得， 设方程的两根分别为，则， ①方程有一负根一正根的充要条件为，解得； ②方程有两个负根的充要条件为，解得， 综上所述，方程至少有一个负实根的充要条件是， 即实数的取值范围是. 变式1-3．已知关于的一元二次方程. (1)若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围； (2)若上述方程无正数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）关于关于的一元二次方程有两根， 可得，解得，且 又两根为正根，所以，，即，解得或 故实数的取值范围为； （2）由题意可知：， 若，解得，此时无实数根，满足题意； 若，解得，且， 设此时两实数根分别为，， 则由题意得，，则，解得， 综上：实数的取值范围为. 变式1-4．“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是 ； 【答案】（答案不唯一，即可） 【详解】由解得或， 若一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根， 则，解得， 所以“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是. 故答案为：（答案不唯一，即可）. 类型二、一元二次方程的根与k比较 1.一元二次方程的根与k比较 ①两根都小于； ②两根都大于； ③一根小于，一根大于 例4．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可. 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 例5．已知关于的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构造函数，利用一根大于2，一根小于2，根据二次函数的性质建立不等式，解不等式即可求实数k的取值范围． 【详解】关于x的方程有两个实数根， 且一根大于2，一根小于2， 构造函数， ∵一根大于2，一根小于2，∴， ∴，解得. 则k的取值范围是. 故答案为：. 例6．已知关于x的方.当为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1? (2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3? 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案; （2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案; 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，    故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． （2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象，    由图知， ， 解得．所以的取值范围是． 变式2-1．已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设方程的两根为，依题意有：， 因都大于1，则，且，显然成立， 由得，则有，解得， 由解得：，于是得， 所以的取值范围是. 故选：A 变式2-2．已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布情况，结合一元二次不等式的求解，列式计算即可. 【详解】令， 则， 由题可知，，且， 即，解得， 故所有选项中满足题意的的值是：. 故选：B. 变式2-3．关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 变式2-4．已知命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)命题关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由题意可得，即可解得实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时的取值范围，然后考虑当、均为假命题时实数的取值范围，结合补集思想可求得、至少有一个是真命题，实数的取值范围. 【详解】（1）解：由题意，若为真，则，解得. （2）解：若为真，，方程两根为和，                          则由题意得，所以，      当、均为假命题时，有，可得. 因此，如果、中至少有一个为真时，或. 类型三、一元二次方程中的根在区间上的分布 1.一元二次方程中的根在区间上的分布 ①两根都在内； ②两根仅有一根在内 ③一根在内,另一根在内 例7．已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离可得在区间内有实根，令，，根据二次函数的性质求出的值域，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：因为关于的方程在区间内有实根， 所以在区间内有实根， 令，，所以在上单调递减， 所以，即， 依题意与在内有交点， 所以. 故选：B 例8．关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解. 【详解】方程对应的二次函数设为： 因为方程恰有一根属于，则需要满足： ①，，解得：； ②函数刚好经过点或者，另一个零点属于， 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去 把点代入，解得：， 此时方程为，两根为，，而，故符合题意； ③函数与x轴只有一个交点，，解得， 经检验，当时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内; 综上：实数m的取值范围为 故选：D 例9．方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由二次函数根的分布性质有，，，求得的取值范围. 【详解】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内， 另一根在区间（3，4）内， 只需，即， 解不等式组可得，即的取值范围为， 故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数根的分布性质，属于中档题. 变式3-1．方程在区间上有根，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于方程有解，,设它的两个解分别为x1，x2，则x1⋅x2=−2<0， 故方程在区间[1,5]上有唯一解． 设f(x)=，则有f(1)f(5)0，即(a−1)(5a+23)⩽0， 解得：⩽a⩽1， 故选C. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 变式3-2．关于x的方程的两根分别在区间和内，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据零点分布列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】构造二次函数，其开口向上.依题意，的零点分别在区间和内，所以 ，即，解得. 故选B. 【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 变式3-3．已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，方程有两个不等根、，由题意可得出，利用韦达定理结合，可求得实数的值； （2）分析可知，方程在区间上有个不等根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，方程有两个不等根、， 所以，，解得或， 由韦达定理可得，， 所以，， 即，解得（舍去）或. （2）方程在区间上有个不等根， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 一、单选题 1．已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 【答案】D 【详解】A选项，方程无实数根的充要条件是， 解得，，故必要条件是，故A正确． B选项，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，B正确； C选项，方程有两正实数根的充要条件是， 解得，C正确； D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误； 故选：D． 2．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案. 【详解】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D 3．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 二、填空题 4．已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设方程关于的方程的两根分别为、， 则，解得. 故答案为：. 5．已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 6．方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，即可得到，依题意可得，解得即可； 【详解】解：令，图象恒过点， 方程0在区间内有两个不同的根， ，解得. 故答案为： 三、解答题 7．已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)6. 【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案； （2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 8．求实数的范围，使关于的方程 (1)有两个实根，且一个比大，一个比小； (2)有两个实根，且满足； (3)至少有一个正根. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】设，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定. 【详解】（1）设． 依题意有，即，得． （2）设． 依题意有，解得． （3）设． 方程至少有一个正根，则有三种可能： ①有两个正根，此时可得，即 ②有一个正根，一个负根，此时可得，得． ③有一个正根，另一根为，此时可得 综上所述，得． 9．已知函数． (1)不等式的解集为，求的取值范围； (2)若函数的两个零点在区间内，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得恒成立，分、两种情况讨论； （2）分、两种情况讨论，结合二次方程根的分布得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以恒成立， 当，即时，则，解得，显然不符合题意； 当时，则需满足，解得， 即的取值范围为 （2）若函数的两个零点在区间内， 显然， 当，则需满足，即，解得， 当，则需满足，即，解得， 综上可得. 10．已知a，，，关于x的方程有两个不相等的实根，且均大于小于0，求的最小值． 【答案】10 【分析】根据一元二次方程根的分布的特征得出满足的条件，进而通过取值范围讨论求解即可. 【详解】由题意得，，即， 因为a，， 由，得， 若，则，即，无解； 若，则，即，无解； 若，则，即，则或， 显然时，取最小值10， 若，由，得， 所以的最小值为10. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$