第一章 4.3 一元二次不等式的应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

4.3　一元二次不等式的应用 学习目标 1.熟练掌握分式不等式的解法，培养数学运算的核心素养.　2.理解一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式之间的关系.　3.构建一元二次函数模型，解决实际问题，培养数学建模的核心素养. 任务一　简单分式不等式的解法 问题1.＞0 与(x＋3)(x－1)＞0等价吗？≤0 与(x＋2)(x－3)≤0等价吗？ 提示：＞0 与(x＋3)(x－1)＞0等价；≤0 与(x＋2)(x－3)≤0不等价，前者的解集中不含－2，后者的解集中含有－2. 简单分式不等式的解法 [微提醒]　形如＞a(a≠0)的分式不等式，可变形为＞0，故可转化为解y2(y1－ay2)＞0. 求下列不等式的解集： (1)≥0；(2)＜3. 解：(1)原不等式可转化为 解不等式组可得x≤－1，或x＞3. 即原不等式的解集为(－∞，－1]∪(3，＋∞). (2)移项并整理，可将原不等式转化为＜0， 即2(x－1)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜1. 所以原不等式的解集为(－1，1). 简单分式不等式的解法 1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. 对点练1.(1)不等式≤4的解集为(　　) A. B.{x｜x＜2，或x≥} C. D.{x｜x≤2，或x≥} (2)不等式＜0的解集为(　　) A.R B.{x｜x＞1} C.{x｜x＜1} D.{x｜x＜－1} 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)不等式≤4化为4－≥0，即≥0，整理得解得x＜2，或x≥，所以不等式≤4的解集为{x｜x＜2，或x≥}.故选B. (2)由x2－2x＋3＞0，得＜0⇔x－1＜0⇔x＜1.故选C. 任务二　三个“二次”之间的关系 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为. (1)用字母a表示出b，c； (2)求关于x的不等式bx2＋ax＋c＞0的解集. 解：(1)由不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解为x＜2，或x＞3，可知a＞0且ax2＋bx＋c＝0的两根为2和3， 由韦达定理得－＝5，＝6，所以b＝－5a，c＝6a. (2)由(1)可得bx2＋ax＋c＞0可变为－5ax2＋ax＋6a＞0，因为a＞0，所以－5x2＋x＋6＞0， 整理得5x2－x－6＝(x＋1)＜0，解得－1＜x＜，所以不等式bx2＋ax＋c＞0的解集为. 　　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0，a≠0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般解题步骤为： 第一步：根据解集来判断二次项系数的符号； 第二步：根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； 第三步：约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 学生用书⬇第41页 对点练2.(1)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(－1，6)，则不等式cx2－bx－a＜0的解集为(　　) A.(，) B.∪ C. D.∪ (2)若关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是∪，则关于x的不等式ax2＋cx＋2b≥0的解集是　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)由不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为，则－1，6是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a＞0，则所以b＝－5a，c＝－6a，所以不等式cx2－bx－a＜0等价于－6ax2＋5ax－a＜0，即6x2－5x＋1＞0，解得x＜或x＞，所以不等式cx2－bx－a＜0的解集为∪.故选B. (2)由题意，方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－1和3，且a＜0.则解得b＝－2a，c＝－3a.将上式代入不等式ax2＋cx＋2b≥0，整理得ax2－3ax－4a≥0，因为a＜0，故得x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4，即不等式ax2＋cx＋2b≥0的解集是. 任务三　一元二次不等式的实际应用 问题2.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一条限速为30 km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交通事故.经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m.已知该种车型的刹车距离s(单位：m)与刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下函数关系：s＝v2＋v，要判断该汽车是否超速，你能写出需要求解的不等式吗？ 提示：因为汽车的刹车距离大于10 m，所以v2＋v＞10，所以v2＋v－10＞0. 利用一元二次不等式解决实际问题的步骤 第一步：选取合适的字母表示题中的未知数； 第二步：由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； 第三步：求解所列出的不等式(组)； 第四步：结合题目的实际意义确定答案. (链教材P39例6)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x) ＝(0.2－0.1x)(1＋0.6x)×1 000(0＜x＜1)， 整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1). (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加， 当且仅当 即 解不等式组，得0＜x＜，所以为使本年度的年利润比上年度有所增加， 投入成本增加的比例x的范围为. 解不等式应用题的步骤 对点练3.某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间，而用户期望的电价为0.4元/(kW·h).经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h). (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y(单位：元)关于实际电价x(单位：元/(kW·h))的函数解析式；(收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)) 学生用书⬇第42页 (2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％. 解：(1)依题意知用电量增至＋a， 电力部门的收益为y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75). (2)依题意有 整理得解此不等式组得0.60≤x≤0.75. 故当电价最低定为0.6元/(kW·h)时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％. 任务 再现 1.简单的分式不等式的解法.2.一元二次不等式的应用.3.一元二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 方法 提炼 分类讨论与转化的思想方法 易错 警示 1.解分式不等式要等价变形.2.利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义 1.不等式≥2的解集为(　　) A. B. C. D.(－2， 答案：A 解析：因为≥2，所以－2≥0，即≤0，则解得－2≤x＜0，所以原不等式的解集为.故选A. 2.已知不等式ax2＋bx－1＜0的解集是{x｜－2＜x＜1}，则a＋b的值为(　　) A.－2 B.0 C.1 D.2 答案：C 解析：因为不等式ax2＋bx－1＜0的解集是{x｜－2＜x＜1}，所以x＝－2，x＝1是方程ax2＋bx－1＝0的两根，所以所以a＋b＝1.故选C. 3.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意得，·x＞400，即x2－30x＋200＜0，解得10＜x＜20，又因为x≥15，所以15≤x＜20，即这批台灯的销售单价x的取值范围是.故选C. 4.已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是　　　　. 答案：(2，3) 解析：因为不等式ax2－bx－1≥0的解集是，所以x1＝－，x2＝－是方程ax2－bx－1＝0的两根，且a＜0，所以所以不等式x2－bx－a＜0为x2－5x＋6＜0，解得2＜x＜3，所以所求不等式的解集为(2，3). 课时分层评价14　一元二次不等式的应用 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.不等式≤2的解集为(　　) A. B.{x，或x＜2} C. D.{x，或x≤2} 答案：B 解析：由≤2得－2＝＝≤0，所以解得x≥或x＜2，所以不等式的解集为{x，或x＜2}.故选B. 2.关于实数x的不等式x2＋bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－2，或x＞5}，则关于x的不等式cx2＋bx＋1＞0的解集是(　　) A.∪ B.∪ C. D. 答案：C 解析：由条件可知，方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根是x＝－2和x＝5，所以得b＝－3，c＝－10，则不等式－10x2－3x＋1＞0，即10x2＋3x－1＜0，得＜0，即－＜x＜，所以不等式的解集为.故选C. 3.若关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x｜x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为(　　) A.{x｜x＞1，或x＜－2} B.{x｜1＜x＜2} C.{x｜x＞2，或x＜－1} D.{x｜－1＜x＜2} 答案：C 解析：因为ax－b＞0的解集为{x｜x＞1}，所以a＞0，且a＝b，故＝＞0，等价于(x＋1)(x－2)＞0，所以x＞2，或x＜－1.故选C. 4.下列不等式中，解集为{x｜x＜1，或x＞3}的不等式是(　　) A.x2－4x＋3≥0 B.x2－4x＋3＜0 C.≥0 D.｜x－2｜＞1 答案：D 解析：由x2－4x＋3≥0可得(x－1)(x－3)≥0，解得x≤1或x≥3，故A错误；由x2－4x＋3＜0可得1＜x＜3，故B错误；由≥0可得(x－1)(x－3)≥0(x－3≠0)，解得x≤1或x＞3，故C错误；由｜x－2｜＞1可得x－2＜－1或x－2＞1，即x＜1或x＞3，故D正确.故选D. 5.(多选题)已知关于x的不等式ax2－bx＋c＜0的解集为，则(　　) A.a＜0 B.a＋b＋c＝0 C.c＜0 D.b＞0 答案：BC 解析：由题意可知：a＞0，所以A不正确；因为二次不等式解集的端点是对应方程的两根，所以x＝－1代入不等式左边＝a＋b＋c＝0，所以B正确；因为－1×a＝＜0，所以c＝－a2＜0，所以C正确；因为－1＋a＝，所以b＝a2－a，无法判定b与0的大小关系，所以D不正确.故选BC. 6.已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜1＜x＜3}，则不等式＞0的解集为(　　) A. B. C.{x｜x＜－，或x＞4} D.{x｜x＜－4，或x＞－} 答案：C 解析：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜1＜x＜3}，得a＜0，且1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则－＝1＋3，＝1×3，即b＝－4a，c＝3a，a＜0，不等式＞0化为＞0，即＞0，于是(x－4)(3x＋1)＞0，解得x＜－，或x＞4，所以原不等式的解集为{x｜x＜－，或x＞4}.故选C. 7.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是　　　　　　　　. 答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，可得函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为－2，1，即方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－2，1；结合函数的图象，可得不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞). 8.某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售8万件，现该公司在该城市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额r％的代理费.为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润.由于提价，每年将少销售0.62r万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，则r的取值范围是　　　　. 答案：{r｜≤r≤10} 解析：由题可知，提价后每年可销售万件，所以0＜r＜，所以··r％≥16，整理得3.1r2－41r＋100≤0，解得≤r≤10. 9.若关于x的不等式0≤ax2＋bx＋c≤2(a＞0)的解集为，则的值为　　　　. 答案：－2 解析：若关于x的不等式0≤ax2＋bx＋c≤2(a＞0)的解集为，则x＝－1和x＝3是ax2＋bx＋c＝2(a＞0)的两根且ax2＋bx＋c≥0恒成立.由根与系数的关系可知：＝－2. 10.(10分)设函数y＝x2＋mx＋n，已知不等式y＜0的解集为. (1)求m和n的值； (2)若y≥ax对任意x＞0恒成立，求a的取值范围. 解：(1)由题意得x1＝1，x2＝4是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个根， 所以－m＝x1＋x2＝5，n＝x1·x2＝4，故m＝－5，n＝4. (2)由(1)得y＝x2－5x＋4，则x2－5x＋4≥ax对任意x＞0恒成立， 即a≤x＋－5对任意x＞0恒成立. 又因为x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时，等号成立)， 所以x＋－5≥－1， 所以a≤－1. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式h＝v0t－gt2，其中g取10 m/s2，v0为初速度.向盼归同学以v0＝11 m/s竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方2 m处及以上的位置最多停留时间为(　　) A.1.8 s B.2.8 s C.3.8 s D.4.8 s 答案：A 解析：由题意得，h＝11t－5t2，令h＝11t－5t2≥2，即5t2－11t＋2≤0，解得0.2≤t≤2，所以排球在抛出点上方2 m处及以上的位置最多停留时间为2－0.2＝1.8 s.故选A. 12.(多选题)不等式ax2－bx＋c＞0的解集是，则下列选项正确的是(　　) A.b＜0且c＞0 B.不等式bx－c＞0的解集是{x｜x＞2} C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜－1＜x＜2} 答案：BCD 解析：对于A，a＜0，－2，1是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以1－2＝－1＝，－2×1＝，所以b＝－a，c＝－2a，所以b＞0，c＞0，所以A错误；对于B，bx－c＝bx－2b＝b(x－2)，由b＞0可得不等式解集为{x｜x＞2}，所以B正确；对于C，当x＝－1时，ax2－bx＋c＞0，a＋b＋c＞0，所以C正确；对于D，由题得ax2＋bx＋c＝ax2－ax－2a＞0，因为a＜0，所以x2－x－2＜0，所以－1＜x＜2，所以不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜－1＜x＜2}，所以D正确.故选BCD. 13.(新角度)设关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0与dx2＋ex＋f≤0的解集分别为∪与∅，则不等式(ax2＋bx＋c)(dx2＋ex＋f)≥0的解集为(　　) A.(2，3) B. C.R D.∅ 答案：B 解析：因为dx2＋ex＋f≤0的解集为∅，则dx2＋ex＋f＞0的解集为R.因为ax2＋bx＋c≤0的解集为∪，则ax2＋bx＋c≥0的解集为，所以(ax2＋bx＋c)(dx2＋ex＋f)≥0转化为ax2＋bx＋c≥0，所以不等式(ax2＋bx＋c)(dx2＋ex＋f)≥0的解集为.故选B. 14.(10分)某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物.如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为300平方米，共600平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 解：(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由面积为300平方米，可得y＝， 因为矩形的长比宽至少多5米，所以y＝≥x＋5， 所以x2＋5x－300≤0，解得－20≤x≤15， 又因为x＞0，所以0＜x≤15， 所以草坪宽的最大值为15米. (2)设整个绿化面积为S平方米，由题意可得 S＝＝＝624＋8≥624＋16＝864， 当且仅当x＝即x＝15时，等号成立， 故整个绿化面积的最小值为864平方米. 15.(5分)(新定义)(多选题)对于分式不等式＞0有多种解法，其中一种方法如下：将不等式等价转化为(x＋1)(x－1)(x－2)(x－3)＞0，然后将对应方程(x＋1)(x－1)(x－2)(x－3)＝0的所有根标注在数轴上，形成如图所示的五个区间，并且可得在从右向左的各个区间内(x＋1)(x－1)(x－2)(x－3)的值为正、负依次相间，即可得到所求不等式的解集.利用此法求解下列问题：已知区间的左端点为a，右端点为b，定义区间的长度为b－a，若满足＜0的x构成的区间的长度和为2，则实数t的取值可以是(　　) A.－3 B.－2 C.－1 D.1 答案：ACD 解析：＜0等价于x(x＋1)(x＋2)(x－t)＜0，当t＝－3时满足条件的x构成的区间为(－3，－2)∪(－1，0)，长度和为2，符合题意，故A正确；当t＝－2时满足条件的x构成的区间为(－1，0)，长度为1，不符合题意，故B不正确；当t＝－1时满足条件的x构成的区间为(－2，－1)∪(－1，0)，长度和为2，符合题意，故C正确；当t＝1时满足条件的x构成的区间为(－2，－1)∪(0，1)，长度和为2，符合题意，故D正确.故选ACD. 16.(15分)(新定义)若任意x满足a≤x≤b(a＜b)，都有不等式ax2＋bx＋c≥0恒成立，则称该不等式ax2＋bx＋c≥0为“[a，b，c]不等式”. (1)已知不等式mx＋m≥0为“[0，m，m]不等式”，求实数m的取值范围； (2)判断不等式－x2＋2x＋2≥0是否为“[－1，2，2]不等式”，并说明理由； (3)若－1≤a＜b，b＞0，c＝b－a3，证明：不等式ax2＋bx＋c≥0是“[a，b，c]不等式”. 解：(1)由mx＋m≥0及m＞0，得x≥－1. 因为{x｜0≤x≤m}⊆{x｜x≥－1}，所以m＞0. (2)－x2＋2x＋2≥0不是“[－1，2，2]不等式”.理由如下： 法一：二次函数y＝－x2＋2x＋2图象的对称轴为直线x＝1， 若x∈[－1，2]，则当x＝－1时，二次函数取得最小值，且最小值为－1－2＋2＝－1＜0， 所以－x2＋2x＋2≥0不是“[－1，2，2]不等式”. 法二：由－x2＋2x＋2≥0，得x2－2x－2≤0，解得1－≤x≤1＋. 因为1－＞－1，所以－x2＋2x＋2≥0对－1≤x≤2不恒成立， 所以－x2＋2x＋2≥0不是“[－1，2，2]不等式”. (3)证明：由题意得ax2＋bx＋b－a3≥0， ①当a＝0时，b＞0，则bx＋b≥ab＋b＝b＞0，符合题意. ②当a＞0时，b＞a＞0，研究二次函数y＝ax2＋bx＋b－a3的图象， 该二次函数图象的对称轴为直线x＝－＜0， 则当x＝a时，二次函数取得最小值，且最小值为a3＋ab＋b－a3＝ab＋b＞0，符合题意. ③当－1≤a＜0时，b＞0，由二次函数y＝ax2＋bx＋b－a3的图象可知， 当x＝a或x＝b时，二次函数取得最小值， 当x＝a时，y＝a3＋ab＋b－a3＝ab＋b＝b(a＋1)≥0； 当x＝b时，y＝ab2＋b2＋b－a3＝b2(a＋1)＋b－a3＞0. 故ax2＋bx＋c≥0是“[a，b，c]不等式”. 学科网（北京）股份有限公司 $