第一章 1.3 第1课时 交集与并集-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 学习目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集.　2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数学抽象的核心素养. 任务一　交集 问题1.观察下列各个集合，集合C与A，B之间有什么关系？ (1)集合A＝{x｜x是6的因数}，B＝{x｜x是8的因数}，C＝{x｜x是6和8的公因数}； (2)集合A＝{x｜－1≤x≤2}，B＝{x｜x≥0}，C＝{x｜0≤x≤2}. 提示：集合C是由集合A与集合B的所有公共元素组成的. 交集 [微思考]　(1)当集合A，B无公共元素时，A与B有交集吗？(2)若A∩B＝A，则A与B有什么关系？ 提示：(1)有，交集为空集.(2)若A∩B＝A，则A⊆B. (1)(2024·天津卷)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(　　) A.{1，2，3，4} B.{2，3，4} C.{2，4} D.{1} (2)(链教材P9例6)设集合M＝，N＝，则M∩N等于(　　) A. B. C. D. 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3，4}.故选B. (2)集合M，N在数轴上表示如图所示：由图可得M∩N＝.故选B. 求两个集合的交集的方法 1.直接法：对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可. 2.数形结合法：对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍. 对点练1.(1)已知集合M＝{－2，0，2}和N＝{x｜x2－x－2＝0}的关系如右图，则阴影部分所表示的集合为(　　) A.∅ B.{2} C. D.{－2} (2)设A＝{x｜x＜a}，B＝，且A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(　　) A.a＜1 B.a≤1或a≥2 C.a＜1或a＞2 D.a≤1 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)因为N＝＝，又M＝{－2，0，2}，所以M∩N＝{2}，又图中阴影部分表示的为M∩N，所以阴影部分所表示的集合为{2}.故选B. (2)因为A∩B＝∅，且A＝{x｜x＜a}，B＝{x｜1≤x≤2}，所以a≤1.故选D. 学生用书⬇第9页 任务二　并集 问题2.观察下列集合： ①A＝{－1，0}，B＝{1，3}，C＝{－1，0，1，3}； ②A＝{x｜x是偶数}，B＝{x｜x是奇数}，C＝{x｜x是整数}； ③A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，C＝{1，2，3，4}. (1)你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？ (2)①中集合C的元素个数等于集合A，B的元素个数的和吗？③中的呢？ 提示：(1)集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的. (2)在①中，集合C中有4个元素，集合A，B中各有2个元素，集合C的元素个数等于集合A，B的元素个数的和； 在③中，集合C中有4个元素，集合A中有2个元素，集合B中有3个元素，集合C的元素个数不等于集合A，B的元素个数的和. 并集 [微思考]　(1)在什么条件下，集合A∪B的元素个数等于集合A与B的元素个数之和？ (2)若已知A∪B＝B，则集合A与B之间有何关系？ 提示：(1)A∩B＝∅.(2)A⊆B. (1)已知集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B＝(　　) A.{5} B.{5，8} C.{3，4，5，8} D.{3，4，5，6，7，8} (2)(链教材P9例6)已知集合A＝，B＝，则A∪B＝(　　) A. B. C. D. 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)因为A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，所以A∪B＝{3，4，5，6，7，8}，故D正确.故选D. (2)因为集合A＝{x｜－1＜x＜1}，B＝{x｜0≤x≤2}，如图，可知A∪B＝{x｜－1＜x≤2}.故选B. 求两个集合的并集的方法 1.直接法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解. 2.数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解. 对点练2.(1)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x｜－1＜x＜4}，则A∪B＝(　　) A.{1，2} B.{1，2，3} C.{x｜－1＜x＜4} D.{x｜－1＜x≤4} (2)(多选题)已知集合M＝，M∪N＝，则集合N可能为(　　) A.{1，4，6} B.{3，4，6} C.{1，3，5，6} D.{1，3} 答案：(1)D　(2)AC 解析：(1)因为A＝{1，2，3，4}，B＝{x｜－1＜x＜4}，所以A∪B＝{x｜－1＜x≤4}.故选D. (2) 因为M∪N＝{1，3，4，5，6}，M＝{3，4，5}，所以1，6∈N，选项AC符合题意.故选AC. 任务三　根据并集与交集运算求参数范围 (链教材P12B组T5)已知集合A＝{x｜－3＜x≤4}，集合B＝{x｜k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求实数k的取值范围. 解：①当B＝∅时，即k＋1＞2k－1，k＜2时，满足A∪B＝A. ②当B≠∅时，要使A∪B＝A，即B⊆A，只需解得2≤k≤. 综合①②可知，实数k的取值范围是. [变式探究] 1.(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求实数k的取值范围. 解：由A∩B＝A可知A⊆B， 所以所以k∈∅. 所以实数k的取值范围为∅. 学生用书⬇第10页 2.(变条件)把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x｜－3＜x≤5}”，求实数k的值. 解：由题意可知 解得k＝3. 所以实数k的值为3. 　　在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况. 对点练3.(开放题)已知集合A＝，B＝. (1)在①A∪B＝A，②A∩B＝B两个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答. 问题：当集合A，B满足　　　　时，求实数t的取值范围. (2)若A∩B＝∅，求实数t的取值范围. 解：(1)若选①：A∪B＝A，则B⊆A， 当B＝∅时，－t＋1＞2t－2，解得t＜1， 当B≠∅时，解得1≤t≤4， 故实数t的取值范围是(－∞，4]. 若选②：A∩B＝B，则B⊆A， 当B＝∅时，－t＋1＞2t－2，解得t＜1， 当B≠∅时， 解得1≤t≤4， 故实数t的取值范围是(－∞，4]. (2)A∩B＝∅， 若B＝∅，则－t＋1＞2t－2，解得t＜1， 若B≠∅，则不成立，解集为∅. 综上，实数t的取值范围是(－∞，1). 任务 再现 1.交集、并集的概念及运算.2.交集、并集的性质.3.由交集、并集的关系求参数值或范围 方法 提炼 分类讨论、数形结合法 易错 警示 由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论 1.若集合A＝{x｜0＜x≤2}，B＝{x｜－1＜x＜3}，则A∩B＝(　　) A.[－1，3] B.(0，2] C.(0，1] D.(1，2] 答案：B 解析：由集合A＝{x｜0＜x≤2}，B＝{x｜－1＜x＜3}得，A∩B＝{x｜0＜x≤2}.故选B. 2.已知集合M＝，N＝，则M∪N＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为N＝，M＝，所以N＝，所以M∪N＝.故选D. 3.(多选题)已知集合M，N满足M∪N＝{1，2，3，4，5，6}，M∩N＝，则集合M，N可能是(　　) A.M＝，N＝ B.M＝，N＝ C.M＝，N＝ D.M＝，N＝ 答案：BD 解析：对于A，若M＝{1，3，5}，N＝{2，4，6}，则M∩N＝∅，故A错误；对于B，若M＝{1，3，5，6}，N＝{1，2，3，4}，则M∩N＝{1，3}，M∪N＝{1，2，3，4，5，6}，故B正确；对于C，若M＝{1，3，4}，N＝{1，3，6}，则M∪N＝，故C错误；对于D，若M＝{1，2，3，5}，N＝{1，3，4，6}，则M∩N＝{1，3}，M∪N＝{1，2，3，4，5，6}，故D正确.故选BD. 4.(2024·九省适应性测试改编)已知集合A＝，B＝，若A∩B＝A，则实数m的最小值为　　　　. 答案：5 解析：由A∩B＝A，故A⊆B，故有即m≥5，即实数m的最小值为5. 课时分层评价3　交集与并集 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9题，每小题5分，共45分) 1.若集合A＝{x｜－1≤x＜2}，B＝Z，则A∩B＝(　　) A.A＝{x｜－1≤x＜2} B. C. D. 答案：B 解析：集合A＝{x｜－1≤x＜2}，B＝Z，所以A∩B＝.故选B. 2.已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　) A.{0，1} B.{0} C.{－1，2，3} D.{－1，0，1，2，3} 答案：D 解析：由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.故M∪P＝{－1，0，1，2，3}.故选D. 3.(多选题)已知集合A＝，B＝{x｜－1≤x＜1}，则(　　) A.A∩B＝ B.A∩B＝ C.A∪B＝ D.A∪B＝ 答案：BD 解析：因为A＝，B＝，由题意可得：A∩B＝，A∪B＝，故A，C错误，B，D正确.故选BD. 4.已知集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，C＝{2，4}，则(A∩B)∪C＝(　　) A.{1，2} B.{2} C.{2，4} D.{1，2，3，4} 答案：C 解析：因为A＝{1，2}，B＝{2，3}，C＝{2，4}，所以(A∩B)∪C＝.故选C. 5.已知数集A，B满足：A∩B＝，A∪B＝，若1∉A，则一定有(　　) A.1∈B B.1∉B C.4∈B D.4∉A 答案：A 解析：因为A∩B＝，A∪B＝，且1∉A，所以必有1∈B，可能4∈B且4∉A，也可能4∈A且4∉B，故A正确，B，C，D错误.故选A. 6.(多选题)下列结论正确的是(　　) A.若∩＝∅，则a的取值范围是a＜－3 B.若∩＝∅，则a的取值范围是a≤－3 C.若∪＝R，则a的取值范围是a≥－3 D.若∪＝R，则a的取值范围是a＞－3 答案：BD 解析：对于A和B，＝，{x｜x－a＜0}＝{x｜x＜a}，若{x｜x＞－3}∩{x｜x＜a}＝∅，则a的取值范围是a≤－3，所以A错误，B正确；对于C和D，若∪＝R，则a的取值范围是a＞－3，所以D正确，C错误.故选BD. 7.(开放题)若集合B＝，集合A∪B＝，写出一个符合条件的集合A＝　　　　. 答案：(答案不唯一) 解析：由题意知，集合A中必含有元素3，7，可能含有元素4或5或6，所以集合A＝(答案不唯一). 8.设集合A＝{x｜－1＜x－a＜1}，B＝{x｜1＜x＜5}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(－∞，0]∪[6，＋∞) 解析：A＝，B＝，若A∩B＝∅，则a－1≥5或a＋1≤1，解得a≥6或a≤0，所以实数a的取值范围是(－∞，0]∪[6，＋∞). 9.已知集合A＝{a，b，c，d}，B＝{b，c，d，e}，C＝{a，d，f}，则(A∪B)∩C与(A∩C)∪(B∩C)的关系是　　　　　　　　. 答案：(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C) 解析：(A∪B)∩C＝{a，b，c，d，e}∩{a，d，f}＝{a，d}；(A∩C)∪(B∩C)＝{a，d}∪{d}＝{a，d}.所以(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C). 10.(15分)设全集U＝R，集合A＝，集合B＝. (1)若a＝4，求A∪B，A∩B； (2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围. 解：(1)当a＝4时，B＝{x｜－9≤x≤2}， A∩B＝{x｜1≤x≤5}∩{x｜－9≤x≤2}＝{x｜1≤x≤2}，A∪B＝{x｜1≤x≤5}∪{x｜－9≤x≤2}＝{x｜－9≤x≤5}. (2)因为A∩B＝A，所以A⊆B， 又因为A＝{x｜1≤x≤5}≠∅，所以B≠∅，即 解得a≥7， 故实数a的取值范围为. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.(多选题)设A为全体质数的集合，B＝，则(　　) A.7∈A∩B B.13∈A∩B C.27∉A∪B D.32∉A∪B 答案：AD 解析：对于A，因为7∈A，7∈B，所以7∈A∩B，故A正确；对于B，由4x＋3＝13，得x＝∉N，所以13∉B，所以13∉A∩B，故B错误；对于C，由4x＋3＝27，得x＝6∈N，所以27∈B，所以27∈A∪B，故C错误；对于D，因为32为合数，所以32∉A，由4x＋3＝32，得x＝∉N，所以32∉B，所以32∉A∪B，故D正确.故选AD. 12.已知集合A＝，B＝，若A∩B中有且仅有一个元素，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：易知0∈A，0∈B，所以A∩B中有且仅有一个元素一定为0，所以a∉A，因此可得a≤－1或a≥3，即实数a的取值范围为，或a≥.故选B. 13.(新定义)(多选题)对于非空集合A，B，我们把集合{x｜x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，如果A－B＝∅，集合A与B之间的关系为(　　) A.A∩B＝A B.A∩B＝B C.A∩B＝∅ D.A∪B＝B 答案：AD 解析：根据差集的定义，且A－B＝∅，可得A⊆B，所以A∩B＝A，A∪B＝B，故选AD. 14.(15分)(开放题)在①A∪B＝B；②A∩B＝∅，这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题. 问题：已知集合A＝{x｜a－1＜x＜a＋1}，B＝. (1)当a＝2时，求A∪B和A∩B； (2)若　　　　，求实数a的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：(1)当a＝2时，A＝{x｜1＜x＜3}， 而B＝， 所以A∪B＝{x｜－1≤x＜3}， A∩B＝. (2)选①，由A∪B＝B，得A⊆B，显然A≠∅， 于是解得0≤a≤， 所以实数a的取值范围是. 选②，A∩B＝∅，显然A≠∅，则a＋1≤－1，或a－1≥，所以a≤－2，或a≥， 所以实数a的取值范围是. (15、16题，每小题5分，共10分) 15.(新情境)(多选题)中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知A＝{x｜x＝3n＋2，n∈N＋}，B＝{x｜x＝5n＋3，n∈N＋}，C＝{x｜x＝7n＋2，n∈N＋}，若x∈(A∩B∩C)，则下列选项中符合题意的整数x可以为(　　) A.9 B.23 C.128 D.233 答案：BCD 解析：对于A，9＝3×3，则9∉A，所以9∉(A∩B∩C)，故A错误；对于B，23＝3×7＋2＝4×5＋3，满足A，B，C的描述，所以23∈(A∩B∩C)，符合题意，故B正确；对于C，128＝3×6×7＋2＝5×25＋3，满足A，B，C的描述，则128∈(A∩B∩C)，符合题意，故C正确；对于D，233＝7×3×11＋2＝5×46＋3，满足A，B，C的描述，则233∈(A∩B∩C)，符合题意，故D正确.故选BCD. 16.(新定义)定义集合P＝{x｜a≤x≤b}的“长度”是b－a，其中a，b∈R.已知集合M＝{x｜m≤x≤m＋1}，N＝{x｜n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x｜2≤x≤4}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是　　；若m＝，集合M∪N的“长度”大于，则实数n的取值范围是　　　　　　　　　. 答案：　∪ 解析：因为M＝{x｜m≤x≤m＋1}，N＝{x｜n－≤x≤n}都是集合{x｜2≤x≤4}的子集，所以解得2≤m≤3，≤n≤4，要使集合M∩N的“长度”最小，则当m取最小值、n取最大值或m取最大值、n取最小值时才成立，当m＝2，n＝4时，M∩N＝，“长度”为3－＝；当m＝3，n＝时，M∩N＝，“长度”为－3＝，所以集合M∩N的“长度”最小值是.若m＝，则M＝{x｜≤x≤}，要使集合M∪N的“长度”大于，则n－＜－，或n＞＋，即n＜或n＞，又≤n≤4，则实数n的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $