专题02 线段上的动点问题的四种模型（高效培优专项训练）数学北师大版2024七年级上册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02线段上的动点问题的四种模型 题型归纳 目录 题型一：线段上含动点求线段长问题… 题型二：线段上含动点求定值问题… .7 题型三：线段上含动点求时间问题… .15 题型四：线段上含动点的新定义型问题… .21 题型专练 题型一：线段上含动点求线段长问题 1.如图，AB=12,C为线段AB上一动点，点D在线段CB上且满足CD:DB=1:2. CD B (I)当C为线段AB的中点时，求CD的长 (2)若E为线段AD的中点，当DE=2CE时，求AC的长. 2.已知线段AB=6cm,点C是线段BA延长线上一个动点，D是线段BC的中点. A D B (I)如图，若AC=4cm,求线段AD的长： (2)若AC的长逐渐增大，则AD的长的变化趋势是 ①变小：②变大：③先变大，后变小：④先变小，后变大 (3)若AD=2cm,画出所有符合条件的图形并求线段AC的长. 3.已知，AB=I6,点C为射线AB上一个动点，点E,F分别是AC,BC的中点. AE C B A B 备用图 (I)如图，若点C在线段AB上，且AC=6,求BF的长度： (2)若点C在线段AB的延长线上，求EF的长度. 4.按下列要求完成回图和计算： 1/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b ADC E B ()题图 (2)题图 (I)已知线段a和b,求作线段OM,使OM=a+b(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)已知线段AB=12cm,点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点. 若：①点C恰好是AB中点，则DE= cm, ②AC=4cm,求DE的长， 5.如图，直线1上有AB两点，点O是线段AB上的一点，OA=2OB. A (1)若AB=18cm,则OA= cm,OB= cm (2)在(1)的条件下，若动点P,Q分别从A,B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s,点Q的速 度为lcm/s,设运动时间为s,当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动.当t为何值时，20P-OQ=6, 09 3)o为直线，上一点，且满足|40-Bg=00,直接写出 的值 题型二：线段上含动点求定值问题 6.应用题：如图，已知线段AB=12Cm,点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中 点 A D C E B (1)若AC=4,求DE的长 (2)若C为AB的中点，则AD与AB的数量关系是 (3)试着说明，不论点C在线段AB上如何运动，只要不与点A和B重合，那么DE的长不变 7.如图，已知数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,满足Q-16+b+12=0.动点P从点A出发 以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， B 0 A (I)数轴上点A表示的数是 ,点B表示的数是 BA+BP (②)若点。从A点出发向左运动，点Q为p的中点，在点p到达点。之前，求证：B0为定值， A 8.如图，M是线段AB上一动点，沿A→B→A以lCms的速度往返运动1次，N是线段BM的中点， AB=5cm,设点M运动时间为t秒(0≤t≤10)」 M N B (I)当t=2时，①AM=cm,②此时线段BN的长度=cm: 2/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)用含有t的代数式表示运动过程中AM的长； (3)在运动过程中，若AM中点为C,则CN的长度是否变化？若不变，求出CN的长；若变化，请说明理 由. 9.如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且AC=8.动点P从点B 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为(t>0)秒. A B 014x (I)直接写出数轴上点C表示的数： (2)当点C在数轴的负半轴上时，用含t的代数式表示线段CP的长度： (3)当点C在数轴的负半轴上时，设M是AP的中点，N是CP的中点，点P在运动过程中，线段MW是否 发生变化？若有变化，请说明理由；若不变，请求出MN的长度 10.A,B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为-4，且AB=10.动点P从点A出发， 以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒(t>0). P- -4 0 ①)直接写出当t=1时，AP的长是，此时点P在数轴上对应的有理数是； (2)请用含t的代数式表示线段AP的长为 一，此时数轴上点P所对应的数表示为 (3)在(1)的条件下，点M是线段AP的中点，点N是线段BP的中点，求此时线段MN的长度. (4)M为线段AP的中点，N为线段PB的中点.在点P从点A出发沿数轴正方向运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变求出线段MN的长度， 11.如图线段AB=24,动点P从A出发，以2个单位长度/秒的速度沿射线AB运动，M为AP中点. AM P B B 备用图 (I)当点P在线段AB上运动时， ①出发多少秒后，PB=2AM? ②试说明2MB-BP为定值： (2)当点P在线段AB延长线上运动时，设N为BP的中点，有下列两个结论： ①MN长度不变： ②MN+PN的值不变. 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选出一个正确的结论，并求其值： 12.综合与实践 已知数轴上A、B两点所表示的数分别为-3和9. y 0 图1 0M P N B 图2 PMA B 图3 (1)观察发现： 直接写出线段AB= (2)情境探究： 情境①：当点P为线段AB的中点时，且M为PA的中点，N为PB的中点，请你借助直尺在图1中画出相 应的图形，并写出线段MW= 情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为PA的中点，N为PB的中点，试通过计算判 断MW的长度是否发生变化？ (3)迁移类比： 当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为PA的中点，N为PB的中点，直接写出线段MW 的长 题型三：线段上含动点求时间问题 13.如图，在数轴上，点A,B表示的数分别为-5,2，点P,Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动， 点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度. B 2 (I)计算点A,B表示的数之和： (2)设运动时间为s,当点P是QB的中点时，求t的值 14.A,B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为-8，点B对应的有理数为4.动点P 从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒(t>0)· A 0 (I)若点P为AB的中点，则点P对应的有理数为 (2)当t=3时，AP的长为 ,点P表示的有理数为 4/7 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (③)当PB=AB时，求，的值. 6 15.如图，点A,C是数轴上的点，点A在原点，AC=8.动点P,Q分别从A,C出发沿数轴正方向运 动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒1个单位长度. M P C N Q 设运动时间为1秒(1>0)，解答下列问题： (I)点C表示的数是：点P表示的数是_，点Q表示的数是_·（点P,点Q表示的数用含t的式子表 示) (2)若点M是AP的中点，点N是CQ的中点，求MW的长， (3)直接写出1为何值时，点P与点Q相距4个单位长度. 16.如图①，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M,N分别是AC,BC的中点. L CN B A O B 图① 图② (1)求线段MN的长度： (2)根据第(1)题的计算过程和结果，设AC+BC=a,其他条件不变，求MN的长度： (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿AB向右运动，终点为B,点Q以1厘米/ 秒的速度沿BA向左运动，终点为A,当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段CQ的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 17.如图，数轴上点A表示的数为-5，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速 度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动.设点C运动 时间为t秒(t>0)」 B 0 (1)①A,B两点之间的距离为 ,线段AB的中点表示的数为 ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为，点D表示的数为 (2)当t=4时，描述C、D两点的位置关系. (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：CE-CD的 值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由. 18.A,B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为-4，且AB=10.动点P从点A出 发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为1秒(t>0). A B 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)当t=1时，AP的长为，点P表示的有理数为_： (2)当PB=2时，求t的值： (3)M为线段AP的中点，N为线段PB的中点.在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若 变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段MW的长. 题型四：线段上含动点的新定义型问题 PA+PB I9.对于线段AB'点P是线段AB所在直线上任意一点，将B的值定义为点P关于线段AB的理想 值，记作g,即0。=P4+PB AB (I)若点G在线段CD上，则点G关于线段CD的理想值0。= (2)若点H在射线EF上，EF=6,点H关于线段EF的理想值H=3,求线段EH的长， (3)数轴上的三个点M,N,Q,点M、N、Q在数轴上分别表示有理数m、n、t,且m、n满足 m+1+(n-5)=0,点Q关于线段MN的理想值0o=2,求t的值. 20.定义：在同一直线上有A,B,C三点，若点C到A,B两点的距离呈2倍关系，即AC=2BC或BC=2AC, 则称点C是线段AB的“倍距点” P> MN→ 0A C 0A C 图1 图2 (I)线段AB的中点该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知AB=9,点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC=_ (3)如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点. ①现有一动点P从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为t秒(t>0), 求当t为何值时，点P为AC的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段MN(如图2，点M起始位置在原点)，从原点O出发，以每秒1个单位的速度 沿数轴向右匀速运动.当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值. 21.在数轴上，把原点记作点O,表示数a的点记作点A.对于数轴上任意一点P(不与点O、点A重合)， 将线段p0与线段p4的长度之比定义为点P关于点A的K值，记作kAa,即k(P,@)-%, PA,例如： 点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为0=1'p4=2’所以KP,a=P=) ()当点P是线段OA的中点时，点P关于点A的K值k(P,a=: 6/7 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点P表示的数为P,点A表示的数为a,OA=4OP,求点P关于点A的K值k(P,a: (3)点？、点为数轴上两个不同的点，并且点？与P所表示的数互为相反数，点？表示的数为P,点A. 点B分别表示数a、-2,若k(B,a=k(B,-2),请直接写出a、p需满足条件：-· 22.定义：数轴上的二个点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的2，则称该点是其他两个点的 “倍分点”.例如数轴上点4、B、C所表示的数分别为1小0、2，且满足4B=8C,则点g是点人C的 “倍分点”.已知多项式x+2xy2-3x的一次项系数是m,次数是n.若m、n两数在数轴上所对应的点 为M、N. A B C -5-43-2i012345678 (I)点M与点N之间的长度是= (2)①在AB、C三个点中，点 是点M、N的“倍分点”： ②若数轴上点M是点A、D的“倍分点”，则点D在数轴上对应的数有 个 (3)若数轴上点N是点P、M的“倍分点”，求点P在数轴上表示的数， 23.定义：若点A,B,C在同一直线上，且AB=mAC,则dABc=m.例如AB=6,AC=3,则 d4ac=2】 0 -2 4 图1 B 图2 B 备用图 (I)如图1，O为数轴的原点，点P,Q表示的数分别为4和-2，则o№= (2)如图2，已知线段AB=12cm,点P从点A出发向右运动，点Q从点B出发向左运动，若点P运动速度为 lcm/s,点Q的运动速度为2cm/s.设运动时间为t. ①请用含有t的代数式分别表示d4Ps和dAos. 1 ②当，为何值时，do-dm=2: @若线段P0的中点为M,直接写出4。时，的值。 7/7 专题02 线段上的动点问题的四种模型 目录 题型一：线段上含动点求线段长问题 1 题型二：线段上含动点求定值问题 7 题型三：线段上含动点求时间问题 15 题型四：线段上含动点的新定义型问题 21 题型一：线段上含动点求线段长问题 1．如图，，C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当C为线段的中点时，求的长． (2)若E为线段的中点，当E时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【详解】（1）解：∵点C为中点， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图， ∵E为中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．已知线段，点是线段延长线上一个动点，是线段的中点． (1)如图，若，求线段的长； (2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是____________； ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． (3)若，画出所有符合条件的图形并求线段的长． 【答案】(1)线段的长为 (2)④ (3)画图见解析，的长为或 【分析】本题主要考查了线段之间的和差关系，线段中点的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意进行分类讨论． （1）先根据题意求出的长度，再根据中点的定义求解即可； （2）根据题意将的长度表示出来，即可进行解答； （3）分两种情况画出图形，讨论即可：当点D在上时，当点D在延长线上时． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴ ∴线段的长为； （2）解：∵随着的变长，越来越靠近点，当是点与重合，然后点离点越来越远， 故选：④； （3）解：当点在上时， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； 当点在延长线上时， ∵，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴． 综上所述：的长为或． 3．已知，，点C为射线上一个动点，点E，F分别是的中点． (1)如图，若点C在线段上，且，求的长度； (2)若点C在线段的延长线上，求的长度． 【答案】(1) (2)8 【分析】(1)根据AC=6，AB=16可得BC，再根据线段中点的定义可得BF的长； (2)当C为射线AB上一点，且E，F分别是AC，BC的中点，可表示线段EC、CF的长度，再利用EF=CE一CF． 【详解】（1）∵E是线段的中点， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， 若点C在线段上，且， ∴， 则； （2）如图，若点C在线段的延长线上， ， 故EF的长度为：8． 4．按下列要求完成回图和计算： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 若：①点C恰好是中点，则___________， ②，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①6；② 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）①由线段中点的定义得到的长，进而得到的长即可得到答案；②先求出的长，再由线段中点的定义得到的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解；①∵，点C恰好是中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． 5．如图，直线上有两点，点是线段上的一点，． (1)若，则___________，___________． (2)在（1）的条件下，若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，、两点停止运动．当为何值时，． (3)为直线上一点，且满足，直接写出的值___________． 【答案】(1)12；6 (2)或12 (3)或或1 【分析】（1）根据，且，代入计算即可． （2）根据题意，得，，此时 ，当点与点重合时，，此时 根据，得，解答即可． （3）分点Q在上，上，点的左侧，点的右侧，结合，分类求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12，6． （2）解：∵动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为， 得，，此时 ， 当点与点重合时，，此时， 解得， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 都符合题意， 故当为或时，． （3）解：当点Q在上时，，， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 此时或； 当点Q在上时，，， ∵， ∴， ∴或， 解得（舍去）或， 此时； 当点Q在点左侧时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 此时； 当点Q在点右侧时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 此时． 综上所述，的值为或或1． 故答案为：或或1． 题型二：线段上含动点求定值问题 6．应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．    (1)若，求的长； (2)若为的中点，则与的数量关系是______； (3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． （1）首先根据线段的和差关系求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求和可解； （2）根据线段中点的概念求解即可； （3）根据线段中点的概念求解即可． 【详解】（1）， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ， ()； （2）为的中点， ， 点是的中点， ； （3）点是的中点， ， 点是的中点， ， ()， 的长不变． 7．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2)证明见解析 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，点表示的数是，再求出，然后根据线段中点的定义可得，则可得，代入计算即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 8．如图，M是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，N是线段的中点，，设点M运动时间为t秒． (1)当时，①______，②此时线段的长度______； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若中点为C，则的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①2，②； (2)当时，，当时，； (3)的长度不变，为 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义，列代数式： （1）①根据路程等于速度乘以时间进行求解即可；②根据线段的和差关系和线段中点的定义可得答案； （2）分当时，当时，两种情况讨论求解即可； （3）根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系可得． 【详解】（1）解；①由题意得，； ②∵，， ∴， ∵N是线段的中点， ∴； （2）解：当时，， 当时，； （3）解：∵点C和点N分别是的中点， ∴， ∴， ∴的长度不变，为． 9．如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且．动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)当点C在数轴的负半轴上时，用含t的代数式表示线段的长度； (3)当点C在数轴的负半轴上时，设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段是否发生变化?若有变化，请说明理由；若不变，请求出的长度． 【答案】(1)或12 (2) (3)不发生变化， 【分析】题目主要考查线段的中点计算． 解题关键点是运用数形结合思想和分类思想分析问题． （1）根据数轴上两点之间的距离即可得出点的坐标； （2）分两种情况：若点P在线段上，这时；若点P在线段的延长线上，这时；分别求解即可； （3）分两种情况分析：①如图1，当点P在线段上运动时，②如图2，当点P在的延长线上运动时，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为4，C是数轴上一点，且． ∴当点C位于点A左侧时，点C表示的数为：， 当点C位于点A右侧时，点C表示的数为：， ∴点C表示的数为或12； （2）当点C在数轴的负半轴上时，点C表示的数是， ①若点P在线段上，这时， 则； ②若点P在线段的延长线上，这时， 则； 综上可得：； （3）线段的长度不发生变化.理由如下： ①如图1，当点P在线段上运动时， ； ②如图2，当点P在的延长线上运动时， ； 由上可知，线段的长度不发生变化，其值为4． 10．，两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，且．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)直接写出当时，的长是______，此时点在数轴上对应的有理数是______； (2)请用含的代数式表示线段的长为______，此时数轴上点所对应的数表示为______； (3)在（）的条件下，点是线段的中点，点是线段的中点，求此时线段的长度． (4)为线段的中点，为线段的中点．在点从点出发沿数轴正方向运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变求出线段的长度． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由见解析． 【分析】（）由题意得，再根据两点间的距离可得点表示的有理数为，得到答案； （）根据题意列出代数式即可； （）由（）得，则，然后利用线段中点和线段和差即可求解； （）分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵点表示的有理数为，从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴时，，点表示的有理数为， 故答案为：，； （2）解：线段的长为，此时点在数轴上对应的有理数是， 故答案为：，； （3）解：由（）得， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴； （4）解：点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， 当点在点的左侧时， ， 当点在点的右侧时，， 综上，点在运动过程中，线段的长度保持不变，为． 11．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 12．综合与实践 已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．    (1)观察发现： 直接写出线段__________． (2)情境探究： 情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________； 情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？ (3)迁移类比： 当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长． 【答案】(1)12 (2)情境①：图见解析，6；情境②：的长度不变． (3)6 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的中点，理解中点的定义是解答本题的关键． （1）根据两点间的距离求解即可； （2）情境①：先根据点P为线段的中点求出，再根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可； 情境②：根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可； （3）根据中点的定义得，，然后根据求解即可． 【详解】（1）． 故答案为：12； （2）情境①：如图，    ∵点P为线段的中点， ∴． ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． 故答案为：6； 情境②：∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． ∴， ∴的长度不变； （3）∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． 题型三：线段上含动点求时间问题 13．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． (1)计算点A，B表示的数之和； (2)设运动时间为，当点P是的中点时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，中点定义，一元一次方程的应用，是解题的关键． （1）A、B两点表示的数相加即得； （2）根据，写出．根据P是的中点，得，解方程即得． 【详解】（1）解：． （2）解：， ． 当点P是的中点时，， ∴， 解得． 14．，两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，点对应的有理数为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)若点为的中点，则点对应的有理数为_________； (2)当时，的长为_________，点表示的有理数为_________； (3)当时，求的值． 【答案】(1)-2 (2)9，1 (3)或 【分析】（1）先求出AP的长，然后根据中点的定义求出AP的长，进而可求出点对应的有理数； （2）根据路程=速度×时间可求出AP的长，进而可求出点对应的有理数； （3）分点P在点B的左边和点P在点B的右边两种情况求解． 【详解】（1）解：∵点A对应的有理数为，点对应的有理数为， ∴AB=4-（-8）=12， ∵点为的中点， ∴AP=， ∴点表示的有理数为-8+6=-2， 故答案为：-2； （2）解：AP=3×3=9， 点表示的有理数为-8+9=1， 故答案为：9，1； （3）解：∵点A对应的有理数为，点B对应的有理数为4． ∴ AB=12． ∴ PB==2． 当点P在点B左侧时，如图①所示， ， ∴． 当点P在点B右侧时，如图②所示， ， ∴． ∴当时，或． 15．如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点，AC＝8．动点 P，Q 分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度． 设运动时间为t秒（t＞0），解答下列问题： （1）点C表示的数是 ；点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ．（点P，点 Q 表示的数用含 t 的式子表示） （2）若点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点，求 MN 的长． （3）直接写出 t 为何值时，点P与点Q相距4个单位长度． 【答案】（1）8，3t，8＋t；（2） ；（3）2或6 【分析】（1）由题意可知，AP=3t，CQ=t，AC=8，A在原点，则点C表示的数为8，P表示的数为3t，Q表示的数为8+t； （2）根据题意，得，，，AQ=8+t则 ，，则求解即可； （3）由题意得 ，AQ=8+t，则，求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知，AP=3t，CQ=t，AC=8，A在原点， ∴点C表示的数为8，P表示的数为3t，Q表示的数为8+t， 故答案为：8，3t，8+t； （2）根据题意，得，，，AQ=8+t ∵点M是AP的中点，点N是CQ的中点， ∴， ， ∴， ∴； （3）由题意得 ，AQ=8+t， ∴， 解得t=2或6． ∴当t=2或6时点P与点Q相距4个单位长度． 16．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 17．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)①12，1；②， (2)C、D 两点重合，理由见解析； (3)不随着时间t的变化而变化，理由见解析． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；②根据点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案； （2）将代入（1）②中代数式，得到点，点所表示的数，即可解答； （3）根据题意表示出秒后，点所表示的数，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为7， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； 故答案为：，； ②t秒后，点C表示的数为；点D表示的数为； 故答案为：，； （2）解：当时， 点所表示的数为， 点所表示的数为， 则C、D 两点重合； （3）解：点C运动4秒后，点E表示的数为， ∴， ∴． ∴的值不随着时间t的变化而变化． 18． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 题型四：线段上含动点的新定义型问题 19．对于线段，点P是线段所在直线上任意一点，将的值定义为点P关于线段的理想值，记作，即． (1)若点G在线段上，则点G关于线段的理想值_______． (2)若点H在射线上，，点H关于线段的理想值，求线段的长． (3)数轴上的三个点M，N，Q，点M、N、Q在数轴上分别表示有理数m、n、t，且m、n满足，点Q关于线段的理想值，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或8 【分析】本题考查了对题干的理解，线段的和差，绝对值和平方式的非负性，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意可得，再由点G在线段上即可解题； （2）根据题意可得，从而得到点H的位置，再根据即可得出，从而求得线段的长； （3）根据即可得出m、n的值，再根据推出点Q不在线段上，再分类讨论当点Q在点M的左侧时和当点Q在点N的右侧时两种情况即可解题． 【详解】（1）解：由题可得：，   点G在线段上，即， ， 故答案为：1； （2）解：如图1，   ，， ， ， ， ； （3） ， ，， ， 又， ， 点Q不在线段上， ①如图2，当点Q在点M的左侧时， ， ，，， ， 点Q在轴的负半轴， ； ②如图3，当点Q在点N的右侧时， ， ，，， ， 点Q在轴的正半轴上， ． 或8． 20．定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 21．在数轴上，把原点记作点O，表示数a的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P关于点A的K值，记作，即，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为，，所以 (1)当点P是线段的中点时，点P关于点A的K值 ； (2)若点P表示的数为p，点A表示的数为a，，求点P关于点A的K值； (3)点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，点表示的数为p，点A．点B分别表示数a、，若，请直接写出a、p需满足条件： ． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查数轴、新定义、绝对值、数轴上两点间的距离公式，理解新定义并灵活应用相关知识解决问题即可． （1）根据点P是线段的中点，得出，再利用定义求出的值即可． （2）分两种情况进行讨论：当点P、A在点O的同侧时，当点P、A在点O的异侧时，分别求出结果即可； （3）点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，得出，根据，得出，即可得出，从而得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点P是线段的中点， ∴， ∴ ， 故答案为：1； （2）解：当点P、A在点O的同侧时， ∵， ∴ ∴； 当点P、A在点O的异侧时， ∵， ∴ ∴； 综上分析可知，或． （3）解：∵点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当，解得：； 当，解得：； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 22．定义：数轴上的三个点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点所表示的数分别为、0、2，且满足，则点是点的“倍分点”．已知多项式的一次项系数是，次数是．若两数在数轴上所对应的点为．    (1)点与点之间的长度是=_____________． (2)①在三个点中，点_____________是点的“倍分点”； ②若数轴上点是点的“倍分点”，则点在数轴上对应的数有_____________个． (3)若数轴上点是点的“倍分点”，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1)9 (2)①；②4 (3)、、或 【分析】（1）根据、分别是多项式的一次项系数和次数，可得到的值 ，从而得到在数轴上所对应的点，进而得到的长度； （2）①由三个点和点的位置，再根据题中“倍分点”的定义，即可得到答案；②由点和点的位置，再根据题中“倍分点”的定义对点的位置分类讨论，即可求出点在数轴上对应的数的个数； （3）由点是点的位置，根据题中“倍分点”的定义对点的位置分类讨论，即可得到点在数轴上表示的数． 【详解】（1）解：∵、分别是多项式的一次项系数和次数， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：①∵，， ∴ ∵根据题中“倍分点”的定义可得：点是点的“倍分点”， 故答案：． ②由题可得：，则设点坐标为， 当时，，则 解得：， 当时，，则 解得：， 综上所述：点在数轴上对应的数分别是、、、，共4个． 故答案为：4． （3）解：， 当点在点的左侧时， ∵点是点、的“倍分点”， ∴，， ∴此时点表示的数为， 当点在点、之间时， ∵点是点、的“倍分点” ∴此时点表示的数为， 当点在点的右侧时，有两种情况： ①当时，， ∴此时点表示的数为， ②当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 综上所述，点表示的数为、、或． 23．定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $