第21章 一元二次方程（单元复习课件）数学沪教版五四制2024八年级上册

该初中数学单元复习课件聚焦一元二次方程，通过单元知识图谱系统梳理概念、解法、判别式、根与系数关系及应用等核心内容，构建“概念—方法—应用”的知识网络，清晰呈现知识点内在逻辑与联系。 其亮点在于融合考点串讲与题型剖析，如通过根的判别式题型培养数学推理能力，结合增长率、面积等实际问题发展模型意识，针对训练分层设计基础与综合题，助力学生巩固知识，教师高效开展针对性复习教学。

单元复习课件 第21章 一元二次方程 沪教版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能准确判断方程是否为一元二次方程，并规范整理为一般形式。 3.掌握一元二次方程的实际应用模型，能从实际问题中抽象出等量关系，建立一元二次方程模型，求解并检验结果的实际意义，实现 “从生活到数学” 的转化 2.掌握一元二次方程的四种解法，能根据方程特点选择最优解法，且保证解题过程的规范性与结果的准确性；理解多项式在实数范围内因式分解的意义，利用一元二次方程的求根公式在实数范围内分解因式；通过将简单的分式方程转化为一元二次方程进行求解，领会分式方程“整式化”的化归思想。 单元学习目标 一元二次方程 一元二次方程的有关概念 一元二次方程的应用 一元二次方程的解法 一元二次方程的判别式 一元二次方程根与系数的关系 配方法 公式法 因式分解法 二次三项式因式分解 可化为一元二次方程的分式方程 列方程解应用题 单元知识图谱 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是 ax2+bx +c=0 (a，b，c是已知数，a≠0) 对于一元二次方程ax2+bx +c=0 (a，b，c是已知数，a≠0) ，其中a， b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项. 考点一、 一元二次方程的概念 考点串讲 一元二次方程ax2+ bx +c =0 (a≠0)的根的情况可由Δ = b2- 4ac来判断: 当Δ >0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为 当Δ =0时，原方程有两个相等的实数根，其根为 当Δ <0时，原方程没有实数根. 考点二、 一元二次方程的判别式 考点串讲 即 当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系: 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比. 韦达定理 考点三、 一元二次方程根与系数的关系 考点串讲 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤： 实际问题 建立一元二次方程模型 解一元二次方程 一元二次方程的根 实际问题的解 分析数量关系 设未知数 检验 考点四、 一元二次方程的应用 考点串讲 1.可化为一元二次方程的分式方程 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解； 解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根. 2.增根产生的原因： 在解分式方程或无理方程时，将方程转化成整式方程或有理方程时，扩大了未知数的取值范围，从而产生了增根 3.如何检验是否增根 将解分式方程转化成整式方程的根代入最简公分母，若使最简公分母为零的根为原方程的增根，否则为原方程的根 将解无理方程转化成有理方程的根代入原方程的左右两边，若使方程左右两边的值不相等的根为增根，否则为方程的根 考点五、 分式方程及其应用 考点串讲 1. （2023秋•闵行区期中）下列方程中一定是一元二次方程的是( ____ ) A.x2+1=0 B. +2x=5 C.2x2+3x=2(x-2)2+1 D.ax2+2x+1=0(a为常数) 解：A、x2+1=0，是一元二次方程，故A符合题意； B、 +2x=5，不是一元二次方程，故B不符合题意； C、2x2+3x=2(x-2)2+1，整理得：11x-9=0，是一元一次方程，故C不符合题意； D、ax2+2x+1=0(a为常数，a≠0)，是一元二次方程，故D不符合题意；故选：A． A 题型一、 一元二次方程的概念 2. （2023秋•青浦区校级期中）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+k2+2k-3=0有一个根为0，那么k的值只能是( ____ ) A.1 B.1，-3 C.-3 D.以上都不对 解：把x=0代入得：k2+2k-3=0，解得：k1=1，k2=-3， ∵(k-1)x2+x+k2+2k-3=0是一元二次方程，∴k-1≠0，解得：k≠1，∴k=-3，故选：C． C 题型剖析 3.(1) x (2 x ＋3)＋2 x ＋3＝0. 解：因式分解，得(2 x ＋3)( x ＋1)＝0. 于是，得2 x ＋3＝0或 x ＋1＝0.解得 x1＝－ ， x2＝－1. 题型二、 一元二次方程的解法 (2) x2－3 x ＋2＝0. 解：因式分解，得( x －1)( x －2)＝0， 于是，得 x －1＝0或 x －2＝0，解得 x1＝1， x2＝2. (3)2( x －3)2＝ x2－9. 解：2( x －3)2＝ x2－9可以变形为2( x －3)2－( x ＋3)( x －3)＝0， 即( x －3)( x －9)＝0，于是，得 x －3＝0或 x －9＝0， 解得 x1＝3， x2＝9. 题型剖析 4.解方程 (1)( x －2)2－3＝0. (1)解：移项，得( x －2)2＝3.直接开平方，得 x －2＝± ， 解得 x1＝2＋ ， x2＝2－ . (2)4(2 y －3)2＝9( y －1)2. (2)解：方程可化为[2(2 y －3)]2＝[3( y －1)]2， 直接开平方，得2(2 y －3)＝3( y －1)或2(2 y －3)＝－3( y －1)， 解得 y1＝3， y2＝ . 题型二、 一元二次方程的解法 题型剖析 5. （1）（2023秋•闵行区期中）用配方法解方程：3x2+6x-1=0． 解：把方程x2+2x- =0的常数项移到等号的右边，得x2+2x= ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+2x+1= +1 配方得(x+1)2= ，开方得x+1=± ，解得x=± -1． （2）（2023秋•嘉定区期末）用配方法解方程：2x2-4x-1=0． 解：2x2-4x-1=0，2x2-4x=1，x2-2x= ， 配方得：x2-2x+1= +1，(x-1)2= ，开方得：x-1= ， 解得：x1= ，x2= ． 题型二、 一元二次方程的解法 题型剖析 6.解方程 (1)5 x2－2 x ＋1＝0. 解：在方程5 x2－2 x ＋1＝0中，∵ a ＝5， b ＝－2 ， c ＝1， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－2 )2－4×5×1＝0，∴ x1＝ x2＝ ＝ . (2)( x －2)(3 x －5)＝1. 解：原方程化为一般式为3 x2－11 x ＋9＝0，其中 a ＝3， b ＝－11， c ＝9. ∴Δ＝ b2－4 ac ＝(－11)2－4×3×9＝13，∴ x1＝ ， x2＝ . 题型二、 一元二次方程的解法 题型剖析 题型三、 一元二次方程根的判别式 7.（2023秋•黄浦区期末）关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ____________ ． 解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且Δ＞0，即(-2)2-4×k×1＞0，解得k＜1且k≠0． ∴k的取值范围为k＜1且k≠0．故答案为：k＜1且k≠0． k＜1且k≠0 一元二次方程的根与的关系： ①当 时，方程有两个不相等的实数根； ②当 时，方程有两个相等的实数根； ③当 时，方程无实数根.反之，也成立. 方法技巧 题型剖析 15 8.关于的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围 是( ) D A. B. C.且 D.且 【解析】根据题意得 解得且 .故选D. 9.若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为___. 2 【解析】由题意得，解得 ,故答案为2. 题型三、 一元二次方程根的判别式 题型剖析 16 10.若，是方程的两个根，则 的值为( ) C A. B.2 C. D.3 【解析】，是方程的两个根，， ， .故选C. 题型四、 一元二次方程根与系数的关系 11.已知，是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是____. 14 【解析】，是一元二次方程的两个实数根， ， ， ．故答案为14． 题型剖析 题型五、 二次三项式因式分解 12.在实数范围内因式分解：3x2-xy-y2=　　． 解：3x2-xy-y2=3(x2- xy- y2)=3(x2- xy+ y2- y2- y2) =3[(x- y)2- y2]=3(x- y+ y）（x- y- y）=3(x- y)(x- y） ． 故答案为：3(x- y)(x- y）． 13.在实数范围内分解因式：x2-2x-1=　 　． 解：x2-2x-1=x2-2x+1-2=(x-1)2-2=(x-1+ )(x-1- )． 故答案为：(x-1+ )(x-1- )． 14.在实数范围内因式分解：2x2-3x-1=　　． 解：令2x2-3x-1=0，解得：x= ，则原式=2(x- )(x- )． 故答案为：2(x- )(x- )． 题型剖析 18 15.（2023秋•宝山区期末）随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x,那么由题意可得方程( ____ ) A.5000(1+x)2=20000 B.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=20000 C.5000+5000×3x=20000 D.5000+5000×2x=20000 解：设该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x 由题意可得方程:5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=20000．故选：B． B 题型六、 一元二次方程的应用 题型剖析 19 16.（2023秋•黄浦区期末）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件．问当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【解析】解：设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为(40-x)元， 平均每天的销售量为(20+2x)件，依题意得：(40-x)(20+2x)=1200， 整理得：x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，故x=10为所求． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 题型六、 一元二次方程的应用 题型剖析 20 17. （2023秋•普陀区期中）如图1，要建一个面积为140平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；在与墙垂直的一边，要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米． (1)这个仓库设计的长和宽分别为多少米； (2)如图2，要在仓库外铺一圈宽为a米、 总面积为76平方米的地砖，求a的值．_______ 解：(1)设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(32+2-2x)米， 根据题意得：x(32+2-2x)=140， 整理得：x2-17x+70=0，解得：x1=7，x2=10， 当x=7时，32+2-2x=32+2-2×7=20＞16，不符合题意，舍去； 当x=10时，32+2-2x=32+2-2×10=14＜16，符合题意． 答：这个仓库设计的长为14米，宽为10米； 题型六、 一元二次方程的应用 题型剖析 21 (2)∵要在仓库外铺一圈宽为a米的地砖， ∴图中大长方形的长为(14+2a)米，宽为(10+a)米． 根据题意得：(14+2a)(10+a)-140=76，整理得：a2+17a-38=0， 解得：a1=2，a2=-19(不符合题意，舍去)． 答：a的值为2． 17. （2023秋•普陀区期中）如图1，要建一个面积为140平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；在与墙垂直的一边，要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米． (1)这个仓库设计的长和宽分别为多少米； (2)如图2，要在仓库外铺一圈宽为a米、 总面积为76平方米的地砖，求a的值．_______ 题型六、 一元二次方程的应用 题型剖析 22 18.甲乙两队要限期完成某工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为x天，那么可列方程为( ____ ) A. B. C. D. 解：设工作总量为1，工程期限为x天，那么甲工程队的工作效率为 ， 乙工程队的工作效率为 ． 根据题意，所列方程为 ， 化简得 ．故选：C． C 题型七、 分式方程及其应用 题型剖析 23 19.已知关于x的方程 有增根，那么k=　　． 解： ，去分母得：1=k(x+2)， 由分式方程有增根，得到x2-4=0，即x=±2， 把x=2代入整式方程1=k(x+2)，解得 ． 把x=-2代入整式方程1=k(x+2)，无解．故答案为： ． 20.解方程： ． 解：去分母得：(x+2)2-16=x-2，整理得：x2+4x+4-16=x-2，即x2+3x-10=0， 分解因式得：(x-2)(x+5)=0，解得：x=2或x=-5， 检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0，当x=-5时，(x+2)(x-2)≠0， ∴x=2是增根，分式方程的解为x=-5． 题型七、 分式方程及其应用 题型剖析 24 21.近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？ 解：设甲计划每年缴纳养老保险金x万元，则乙计划每年缴纳养老保险金(x-0.1)万元，根据题意得： - =4， 整理得：10x2-11x+3=0，解得：x1=0.5，x2=0.6， 经检验，x1=0.5，x2=0.6均为所列方程的解，x1=0.5不符合题意，舍去，x2=0.6符合题意． 答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元． 题型七、 分式方程及其应用 题型剖析 25 1．（24-25八年级下·上海金山·期末）学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（  ） A． B． C． D． 解：设这个班级共有名同学，根据题意可得方程， 故选：B． B 针对训练 2．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）用换元法解方程，如果设，则原方程可化为y的整式方程是 解：设，则原方程可变形为：， 即为；故答案为： 3．（24-25八年级上·上海·期中）设、是方程的两个有理根，已知，那么的值为 ． 解： 、是方程的两个有理根， ，，， ，，解得：，， ，，，故答案为： 针对训练 4．（25-26八年级上·上海·阶段练习）如果方程是一元二次方程，那么m的值为 ． 解：方程是一元二次方程， 所以且，解得．故答案为：2． 5．（24-25八年级下·上海松江·阶段练习）解方程：． 解：方程两边同乘以，得， 去括号，得，移项、合并同类项，得， 因式分解，得，解得或， 经检验，或都是分式方程的解，所以方程的解为或． 针对训练 6．（25-26八年级上·上海·阶段练习）解方程 (1)； (2)；（用公式法） 解： 或 或 解： 或 针对训练 7．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知没有实数根，化简：． 解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， 解得，， ∴ ． 针对训练 8．（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ （1）解：（件），故答案为：45； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：，整理得：， 解得：，．又∵降价不能超过15元，∴舍去，故． 答：每件衬衫应降价10元． 针对训练 9．（24-25八年级下·上海长宁·期末）某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 解：设原计划医疗队每分钟检测x人，由题意得，， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解，且符合题意， 设现在每分钟还要多检测y人，由题意得，，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：现在每分钟还要多检测10人才能去增援另一小区． 针对训练 感谢聆听! $