精品解析：广西南宁市2026届高中毕业班第一次摸底测试数学试题

南宁市2026届高中毕业班摸底测试 数学 试卷 （考试用时120分钟，试卷满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的运算法则求出，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由，则， 则在复平面内对应点的坐标为. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解. 【详解】依题意，，则或， 而，所以. 故选：B 3. 若向量，，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以， 故选：D 4. 下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是. A. 在上单调递增,在上单调递减 B. 在上单调递增,在上单调递减 C. 在及上单调递增,在上单调递减 D. 在上单调递增,在及上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正弦函数的单调性分析判断得解. 【详解】因为,， 所以函数的单调性和正弦函数的单调性相同， 所以函数在及上单调递增,在上单调递减. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5. 已知双曲线C：，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出双曲线的标准方程，求得，即可求出渐近线方程. 【详解】由题可得双曲线的标准方程为：，所以，，则双曲线的渐近线方程为：； 故选：C 6. 已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数性质以及时的解析式求解即可. 【详解】由于是定义在R上的奇函数，则， 由于当时，则， 所以， 故选：B. 7. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱和圆锥的底面半径均为，侧面积分别为，由侧面积公式，求出，从而解得，最后由圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径均为，侧面积分别为， 则圆锥的母线 所以，， 又因为， 即，解得， 所以圆锥的体积. 故选：A. 8. 已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同构的思想可知，若有两个零点，则有两个解，即有两解，分离变量求导即可 【详解】若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解，因为，，所以， 令，原式等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解. 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，的图象如图： 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A 【点睛】方法点睛：当两个函数可以构造成相同的形式时，常用同构的思想，构造函数，将两个函数看成自变量不同时的同一函数，若函数有交点，转化为自变量有交点求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. 的外接圆面积为 D. 若M为中点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦定理判断A，B；利用正弦定理求出的外接圆的半径，即可判断C；利用向量判断D. 【详解】对于A，由余弦定理可得， 所以，故A正确； 对于B，由余弦定理可得， 所以，故B错误； 对于C，由正弦定理可得， 所以， 所以的外接圆面积为，故C正确； 对于D，因为M为中点， 所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 10. 已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（ ） A. B. 若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C. 若，则直线恒过点 D. 若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 【答案】ABD 【解析】 【分析】由点到点F的距离根据抛物线定义可以求得，判断A选项；点差法即可得直线的斜率，判断B选项；利用数量积为0表示垂直关系，得到，根据斜率写出直线的方程，代入化简可得定点，判断C选项；根据直线的方程，代入点F可得，代入化简即可判断D选项. 【详解】对于A，由题意可知，点到点F的距离为，解得，故A正确； 则； 对于B，若中点M的纵坐标为2，则AB斜率存在， 设，则，两式作差得， 所以直线的斜率为，故B正确； 对于C，设， 若，则，， 当AB斜率存在时，直线：，过定点， 当斜率不存在时，，，过点， 故C错误； D选项，设，当斜率存在时，直线：， 代入点可得， 则， 当AB斜率不存在时，，此时，D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列叙述正确的是（ ） A. 有四个单调区间 B. 存在最小值 C. 有三个极值点，从小到大依次为，则成等差数列 D. 有三个极值点，从小到大依次为，则成等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过求解函数的导数以及二阶导判断函数单调性ABCD四个选项皆可得. 【详解】函数的定义域为 ，令，， 令或， 若，；若，， 所以函数在单调递增，在单调递减， 即在单调递增，在单调递减， 又，所以存在，使得. 所以函数在单调递减，在单调递增，最小值在，所以AB正确； 对CD，，又，所以可知， 所以成等比数列，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等差数列，若，，则数列的公差______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式列方程组求解． 【详解】是等差数列，公差为， ， ，解得． 故答案为：2． 13. 若直线l：被圆C：截得的弦长为，则______. 【答案】10 【解析】 【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得， 所以圆心到直线的距离，解得或. 因为，所以， 故答案为：10. 14. 一个3×3的正方形花坛被划分为9个1×1小方格（如图），计划种植4种花卉（玫瑰、月季、百合、郁金香）每个小方格种1种花卉.要求：花坛中任意2×2的小区域内，4种花卉必须全部种植且不重复，则不同的种植方案共有______种. 【答案】72 【解析】 【分析】根据分类加法以及分步乘法计数原理求解即可. 【详解】如图对正方形每个方格编号： 不妨记玫瑰、月季、百合、郁金香分别为：， 第一步在方格中种植4种不同花卉，有种方法； 第二步：不妨取一种种植情况如图： A B 3 D C 6 7 8 9 （1）当方格种植花卉时，则方格种植D花卉，方格只能种植B花卉， 方格种植A花卉， 方格种植D花卉，只有种方法； （2）当方格不种植花卉时，则方格中种植花卉，方格种植A花卉， ①当方格种植花卉时，则方格种植B花卉，方格种植花卉，只有种方法； ②当方格种植B花卉时，则方格中只能种植花卉，方格种植B花卉，只有种方法； 因此根据分类加法计数原理和分步计数原理可知，共有种方法. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（，）的最小正周期是，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数．求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）先利用函数的最小正周期求出，再根据给定的值及求出即可； （2）先结合的解析式化简，再利用正弦函数的性质求出在区间内的最大值和最小值． 【小问1详解】 的最小正周期是， ，解得， ， ， ， ， 或，， ，时，或（舍去）， ． 【小问2详解】 ，， ， ，则， 又在上单调递增，在上单调递减． 当，即时，，取得最大值，最大值为2， 当时，即，，， 当时，即，，， 在上的最大值为2，最小值为． 16. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. （1）求椭圆C的方程； （2）已知过点的直线l交椭圆C于，两点，当的面积最大时，求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆离心率的意义及对称性列式求出即可. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出三角形面积的函数关系，再利用基本不等式求解最值，即可求得直线方程. 【小问1详解】 设椭圆C的半焦距为，由过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1，得点在椭圆上， 于是，由离心率为，得，而，因此，， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 由题意，，直线不垂直于轴，设其方程为， 由，得，设， 则，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以直线的方程为或． 17. 如图，在斜三棱柱中，，，侧面为菱形，且，点D为棱的中点，平面平面.设平面与平面的交线为l. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：分别延长，设，连接，如图， 则即为平面与平面的交线， 因为为棱的中点,，则是的中点， 因为中，，所以，从而, 因为平面平面且交线为，平面， 所以平面，即平面； （2） 【解析】 【分析】（1）分别延长交于E，连接，则即为平面与平面的交线，利用面面垂直的性质可得平面，从而有平面； （2）以C点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出面与面的法向量，用空间向量求二面角的余弦值，再转化为正弦值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点, 因为侧面为菱形，且，所以BC， 由（1）知平面，所以，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，侧面为菱形，且， 所以， 则, 设平面的法向量为， 则，所以，可取， 设平面的法向量为， 则，所以，可取， 所以， 所以二面角的正弦值为. 18. 流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. （1）若有某种治疗方案M，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； （2）若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ （3）已知某种药物C能治愈疾病S的概率为.设针对药物C的次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为，且每次治疗结果相互独立.求证：. 【答案】（1） （2）先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短 （3）设针对药物C的n次临床试验中未出现连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为， 因此有，从而，从而， 由可得，所以有， 这表明随增大而增大，随增大而减小，所以有， 另一方面，由， 可得，即， 注意到，所以有， 即， 因为，所以有， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）分别求药物A，B能治愈疾病S的概率，再求出分别使用两种药物痊愈的分布列，再求期望，比较即可得解； （3）由题意得出，利用作差法得出， ，再由累乘法得出，整理即可得证. 【小问1详解】 设使用治疗方案M治愈疾病S为事件D，使用治疗方案M能杀灭致病菌为事件E， 则， 因为事件发生则事件必发生，故 . 【小问2详解】 设表示药物A能治愈疾病S的概率，表示药物B能治愈疾病S的概率. 则有， 设先用药物A再用药物B来治愈疾病S所需的天数为，先用药物B再用药物A来治愈疾病S所需的天数为， 则，，， 所以 . 同理得，， 则有. 从而有， 因此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短. 【小问3详解】 略 19. 已知数列满足（b为常数），为可导函数. （1）若且，求数列的通项公式（结果用表示）； （2）若. （ⅰ）证明：当时，为单调函数； （ⅱ）若数列为正项数列且，证明：. 【答案】（1），； （2）（ⅰ）证明：由，则， 令，，则， 所以函数在上单调递增，则，即， 所以函数在上单调递增，即为单调函数. （ⅱ）证明：设，， 则 所以函数在上单调递减，则， 所以，即. 设，， 则 ， 由（ⅰ）知，当时，，而，则， 所以函数在上单调递增，则， 则，即， 综上所述，， 令，则， 而，所以， 因为函数在上单调递增，所以. 【解析】 【分析】（1）由题设易得，进而得到，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，进而求解即可； （2）（ⅰ）求导，利用导数分析单调性即可求证； （ⅱ）设，，利用导数分析两个函数的单调性，可得，令，可得，进而结合函数的单调性即可求证. 【小问1详解】 由，则， 由，则，即， 则，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即，. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市2026届高中毕业班摸底测试 数学 试卷 （考试用时120分钟，试卷满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 4. 下列关于函数,的单调性的叙述,正确的是. A. 在上单调递增,在上单调递减 B. 在上单调递增,在上单调递减 C. 在及上单调递增,在上单调递减 D. 在上单调递增,在及上单调递减 5. 已知双曲线C：，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 7. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设内角的对边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. 的外接圆面积为 D. 若M为中点，则 10. 已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（ ） A. B. 若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C. 若，则直线恒过点 D. 若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 11. 已知函数，则下列叙述正确的是（ ） A. 有四个单调区间 B. 存在最小值 C. 有三个极值点，从小到大依次为，则成等差数列 D. 有三个极值点，从小到大依次为，则成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列是等差数列，若，，则数列的公差______． 13. 若直线l：被圆C：截得的弦长为，则______. 14. 一个3×3的正方形花坛被划分为9个1×1小方格（如图），计划种植4种花卉（玫瑰、月季、百合、郁金香）每个小方格种1种花卉.要求：花坛中任意2×2的小区域内，4种花卉必须全部种植且不重复，则不同的种植方案共有______种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（，）的最小正周期是，且满足． （1）求函数的解析式； （2）设函数．求在区间上的最大值和最小值． 16. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. （1）求椭圆C的方程； （2）已知过点的直线l交椭圆C于，两点，当的面积最大时，求直线l的方程. 17. 如图，在斜三棱柱中，，，侧面为菱形，且，点D为棱的中点，平面平面.设平面与平面的交线为l. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 18. 流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. （1）若有某种治疗方案M，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； （2）若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ （3）已知某种药物C能治愈疾病S的概率为.设针对药物C的次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为，且每次治疗结果相互独立.求证：. 19. 已知数列满足（b为常数），为可导函数. （1）若且，求数列的通项公式（结果用表示）； （2）若. （ⅰ）证明：当时，为单调函数； （ⅱ）若数列为正项数列且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $