精品解析：江西省赣州市第三中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

赣州三中2025-2026学年第一学期第一次检测练习 高一数学 命题人：邱小伟 审题人：王齐鹏 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 2. 命题p：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题即可写出. 【详解】命题p：，，可得是，. 故选：A. 3. 已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断D；举例说明即可判断ABC. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 4. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数图像左右平移与上下平移特征，即得结果. 【详解】抛物线向左平移2个单位得到抛物线， 再向上平移3个单位得到抛物线. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数图像的平移，属于基础题. 5. 已知集合，则A的所有真子集的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得，再根据真子集个数公式求解. 【详解】∵，∴， 解得，又，∴，共4个元素， ∴其真子集有个. 故选：D 6. 对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用基本不等式可算出，再将最小值代入，解一元二次不等式即可求解. 【详解】由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：C 7. 当时，关于x的不等式有解的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】参变分离得到，换元，利用基本不等式求出，从而得到答案. 【详解】，， 关于x的不等式有解，故即可， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故充要条件为. 故选：B 8. 非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（     ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合题设中集合的性质，结合特例和性质的运算方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，假设，令，则， 令，则；令，不存在，不符合题意， 所以，所以A正确； 对于B，由题意知：，则， 所以，所以B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确； 对于D，由，则，所以D错误. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 命题“，”的否定是真命题 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】是自然数可判断A；写出命题的否定，利用赋值法可判断B；解得的解可判断C；利用作差法比较数的大小可判断D. 【详解】对于A，是自然数，所以，故A正确； 对于B，命题“，”的否定是“，”， 又时，，所以“，”是真命题，故B正确； 对于C，当时，， 所以“”是“”的充分条件， 由，得，解得或， 所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，， 因为，，所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若集合，则 B. 若，则 C. ，不等式恒成立，则k的取值范围是 D. 若，则函数的最小值为2 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，推出，，A正确；B选项，由不等式的性质进行求解；C选项，分和两种情况，结合根的判别式进行求解；D选项，由基本不等式进行求解，等号成立的条件不成立，D错误. 【详解】A选项，因为，又， 故，则，A正确； B选项，若，则，所以， 则，B正确； C选项，，不等式恒成立， 当时，恒成立，满足要求； 当时，需满足，解得， 综上，k的取值范围是，C错误； D选项，， 当且仅当时，即等号成立， 但无解，故等号取不到，D错误. 故选：AB 11. 已知正数满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】CD 【解析】 【分析】由条件等式得且，再代入、中，利用二次函数性质求最值判断A、C，应用基本不等式求最值判断B，应用“1”的代换及基本不等式求最值判断D. 【详解】A：由，可得，则， 当且仅当时取等号，故的最大值为，错， B：由，则， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为，错， C：由A知，且， 当且仅当时取等号，故的最小值为，对， D：由， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为6，对. 故选：CD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知集合，且，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 13. 已知，，，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，结合不等式性质，可得答案. 【详解】令，则，即， 由，即，可得，则. 故答案为：. 14. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人，观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有______人． 【答案】120 【解析】 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案． 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有120人． 故答案为:120. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）解出绝对值不等式后利用交集、补集与并集定义计算即可得； （2）由题意可得，再利用集合间关系计算即可得解. 【小问1详解】 当时，， 由可得或， 故或， 故或， ； 【小问2详解】 由，则，故， 由“”是“”的充分不必要条件，故， 则有，解得，故. 16. 已知函数． （1）若，求函数y在上的最小值； （2）若函数y在上的最大值为0，求实数a的值． 【答案】（1） （2）1或2 【解析】 【分析】（1）由函数的单调性求最小值； （2）讨论函数对称轴与区间的位置关系，结合单调性由最大值求实数. 【小问1详解】 当时，， 函数对称轴为，在单调递增；在单调递减， 当时，；当时，， 所以函数在上的最小值是. 【小问2详解】 函数， 对称轴为， 当，即时，函数在单调递增，当时取得最大值， 由解得，故此时无解； 当，即时，函数在单调递增，在单调递减， 当时取得最大值，由解得或（舍）; 当，即时，函数在单调递减，当时取得最大值， 由解得. 综上，实数的值为1或2. 17. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】（1）100个，30万元 （2）每月生产不小于70个人形机器人 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 【小问2详解】 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 18. 已知关于的函数． （1）若的解集为，求实数，的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集． （3）若实数，满足，且不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 当时，该不等式的解集为， 当时，该不等式的解集为， 当时，该不等式的解集为， 当时，该不等式的解集为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据方程与不等式的关系进行求解； （2）因式分解法求解一元二次不等式； （3）先解不等式，再根据的解集中恰有三个整数解，建立不等式，求的取值范围. 【小问1详解】 由题可知和是方程的解， 所以，解得； 【小问2详解】 当时，函数可化为，令， 则， ， 若，不等式两边同时除以得，解得或， 若，不等式两边同时除以得， 当，即时，解得， 当，即时，不等式无解， 当，即时，解得， 综上所述，当时，该不等式的解集为， 当时，该不等式的解集为， 当时，该不等式的解集为， 当时，该不等式的解集为； 【小问3详解】 若，则, 令，则， 因为不等式的解集中恰有三个整数解， 所以，且，所以， 解得， 所以三个整数解为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．也即：若，则有，，，当且仅当时取等号，利用此结论解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最大值，并求取得最大值时的x的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以证明． 【答案】（1） （2） （3） 大小关系为. 证明如下：当时，左式，右式，且； 当时， ， 显然，所以等号不能取，所以； 综上可知，恒成立. 【解析】 【分析】（1）利用结论直接计算出最小值； （2）将变形为，再根据结论求解出最大值以及对应的值； （3）根据结论得到，然后化简变形可完成证明. 【小问1详解】 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； 【小问2详解】 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，取最大值时； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州三中2025-2026学年第一学期第一次检测练习 高一数学 命题人：邱小伟 审题人：王齐鹏 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题p：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，则A的所有真子集的个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 6. 对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 当时，关于x的不等式有解的充要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，错误的是（     ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 命题“，”的否定是真命题 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若且，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若集合，则 B. 若，则 C. ，不等式恒成立，则k的取值范围是 D. 若，则函数的最小值为2 11. 已知正数满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知集合，且，则实数的值为______. 13. 已知，，，则的取值范围是____________. 14. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人，观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有______人． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）若，求函数y在上的最小值； （2）若函数y在上的最大值为0，求实数a的值． 17. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 18. 已知关于的函数． （1）若的解集为，求实数，的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集． （3）若实数，满足，且不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 19. 教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．也即：若，则有，，，当且仅当时取等号，利用此结论解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最大值，并求取得最大值时的x的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $